人教版高中数学必修二教材课后习题答案及解析经典

♦教材习题解答

练习(P,)

1.(1)一个圆锥,它可看做是•个直角三角形烧其条直角边旋转而成；

(2)四校柱.它的各个面都是短旅,且俯棱垂直于底面；

(3)一个阴柱与个解锥的组合体.上就分为圈惟.下部分为圈柱；

(I)一个棱柱里面挖去了一个陶柱.

2.(1)止五桎柱；(2)圈惟.

3.略.

习题1.1(H)

A组

1.(DC(2)C(3)D(4)C

2.(1)不是台体.因为几何体的“18枪”不相交于•点.不是由平行「“底而”的平面截

校惟截得的；

(2)(3)也不是台体.因为不是由平行于检健和■雒的底面的平面检出的几何体.

3.(1)由例惟和例台组合而成的荷小组合■体：

(2)由四棱柱和四梭惟倒合而成的尚里坦合体.

4.两个同心的球面围成的几何体(钺在个球体内部挖去•个同心球体得到的简

第组合体).

5.略.

B组

1.轲下的几何体为五棱柱ABFEA'IXGHD".截去的几何体为三校柱

EFK'-H(T.

2.略.

♦教材习题解答

练习(P“)

1.(1)略；(2)略.

2.(1)四棱柱(图略)；

(2)哒锥与半球组成的简单组合体(图略)；

(3)四棱柱与球组成的简单组合体(图略)；

(•“两个嗣日组合而成的简单组合体(图略).

3.(1)五校锥(三视图略).

(2)四个翩柱组成的简单组合体(三视图略).

4.三梭柱.

♦教材习题解答

练习(PM

1.(1)如图】

(2)如图1

(3)如图1

图12-315

点评传查平面图形的直观图面法.

2.(1)^(2)X(3)X(4)v

点评考查直观图的画法理论.

3.A.

4.如图1-2316所示.

点评号查立体图形的直观图画法.

图12-316

5.如图1-23-17所示.

图12377

点评木例考查由三视图画直观图的能力.

习题L2(P“)

A组

1.(1)如图12318所示.

n□

图12318

(2)如图1

(3)如图I23-20所示.

点评本虺5代立体图形的：视图的•法.

2.⑴三枚柱”2)1■台,⑶四校柱,

(4)四松柱与H柱坦合而成的面单组合体.

3.略.

4.略.

5.略.

B组

1.略.2,略.

3.此题答案不唯种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体,如

181-2-321.

♦教材习题解答

练习(P)

1.解殳例侏的底而半隙为r.母线长为/.则由题急得“nr-nr/.①

又留谁的偶而展开图为平歌.所以有2灯一即/=2r.

将②代入①式得"=3x『.

.•.，=2.即，=今运.

故圆锥的底面圆直径为六占

点评号杳侧面展开图与圈惬的不变关系及公式的应用.

2.解：机器零件的&而枳可6做是网柱的偶而枳加上住住的仝而枳.

•Jlfll柱的侧向机Si-2xr•/2«X3X25=150^171(tnn>).

校柱的全面枳SJ2X5X6-2X6XyX12X12X^^1108.25(mm).

,一个机器的全而枳SS.-S；1579.25(mm).

则10000个零件的全面积为15792500mm=15.7925m.

故需锌的重量为15.7925X0.11^1.74kg.

点评本题考查史杂儿何的表面枳求法和解实际问题及运算能力.

♦教材习题解答

练习(P)

1.增大到原来的8倍.

2.解；正方体的对角畿长为打“.球的半径R=§“.

J

»*«VW--1-xR-十x,(§“)-亨K"'cn».

3.%V—9H=IOO.；.R=渭^.

S=IxR：=U•J(胖)'=:300：X4"=<?36O000*=104(cm：).

点评以卜三题考音公式的灵活运用能力.

习建1.3(P..)

A组

1.解：侧面都是等楼梯形.且卜.底为8cm.下底为18cm.侧极长13cm.可得斜高

J=12.S.=5X与X12=780(cm2).

答：侧面积为780cm.

点评本庭考杳棱台中的直角梯形的应用和棱台的侧面面积公式.

2,解；回台的他而枳5・n(八K)•/.圆行底而枳SS■S.K(r;•R).

由已知得M，TR)/(/•RM.，/匚"

r-fK

点评木甩号衣对园介傅面积，底面枳.我而积概念的理解.要将：杵区别开米•

另外考查了解方程的能力.

3.解：设正方体的校长为a.WIV-—先.

a，

剩余几何体的体积v=vtlllivtt.=«-4=4-

oo

所以校推的体积与剩下的儿何体的体积之比为1■5.

点评本题考杳三棱锥体积的求法和“割补法”求儿何体的体积的方法.

4,当三棱柱形容器的侧面AA,8水平放置时.液面部分是四棱柱形.其高为原三

棱柱形容器的高.侧棱AA,—8.设当底面AB('水平放置时.液iflj高为由已知

条件知.四棱柱底而与原三楼柱底面面积之比为3：4.由广两种状态下液体体积

相等，所以3乂8=4*/,./-6.因此A8C水平放置时.液而高为6.

点评本题考查体积变换能力.要注意在几何体粒换过程中.水的体积始终不变.

5.解：由题息,需贴瓷博的部分为四段柱与四校台的侧面枳之和.

SUHHW=4X40X80=12800(cm).

四棱台的斜高IJ10(^4^7-5#(em).

.S11K,„_4X±°j叫X56_1559(cm).

故需要自耕的面积数为12800+1559=14359(cm).

点评本题考查简单组合体的侧面积求法和解决实际问题的能力.

6.提示：先求出等腰梯形的面积.再乘以北京到上海的铁路线长即可.请同学们白己

完成.

B组

1.解：由三视图画出它的直观图如图13216所示.

且A,B=GG=A'8'=C'D'=8cm.

A/Z=GBLA'D'-(''B'=4cm.

球的直径为4cm.AB=CD-20cm.

EFT；"-12cm.AD—B('=16cm.E//FG-8cm.

A,A'=8,B'=CC'=DQ'=20cm.

先求出四棱台A8EF面上的斜高

ht'+2,=24cm.

再求出四校台BFGC面上的斜高人'=J(圆工+2--2石cm.

则S"=4KK=4*•2-=16x(cm」).V„=十戒•2,一羊itcm.

S"MM=SUM-=(8+1)X2X20=480cm：.V„W),=4X8X20=640cm,

Sll(<n=S„^：.+S,„+SfB=2(^^)X275+2)X2V5-20X16+

12X8=(112y5'+416)cnr二;(12X8+2OX16+，12X8X2OX16)X2

«>

o

二《(32730+416)cm'.

0

，奖杯的表面积S-S“，S"MM+S“M-=

16K+180-112754416=1193cm；.奖杯的体积V—

0o9

V„+V„NH4-V(IWft640+y(32月+416)*1

067cm.

答：奖杯的表面积约为1193cm：.体积约

为1067cm'.

点评本题考查观察图形想象力,运算能力及解综合

题的能力.

2.证明：如图132-17所示.因为三棱柱的侧面都是矩形,则侧面积为底乘以

高.而高相等.所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.只要证明

三棱柱上底面上任意两边的和大于第三边即可•而这是显然的.

点评本题考查将空间问题转化成平面问题的能力.

3.(1)以斜边为轴的直观图如图13218(1)所示.三视图如图I3218

(2)所示.

图132-18

(2)以直角边为轴旋转而成的几何体的直观图如图13-2-19(1)所示.三视图

如图13219(2)所示.

正视图恻视图俯视图

(1)

图13219

点评本题考隹商直观图和二视图的能力.

♦教材习题解答

复习参考题(P)

A组

1.(1)圆柱体；

(2)三棱柱或是三楼台；

(4)〃♦〃.〃；

(5

2.如图131.

点评考查由三视图还原成实物图和将实物图画成直观图的能力.

4.略.

5.解由题意得三棱柱的底面三角形外接例是阅柱的底面,即三角形外接的直径

是阿柱的底面直径或母线.

设圆柱的底面半径为R,则V—-2R^2nR.：.R

在中.设辿长为a.则亨“•即“MGR.

S皿考…平R.…2R=手•R•2R=.K=挈•

=吗

In

6.解先求出一个接头需要的铁皮S,.然后再计算总量S.

VS,=K(n+r：”一芯(25+10)X35=1225K(cm).

；.S-1()OOOXS,--12250000K-12250000X3.1

—37975000(cnr)=3797.5(nr)七3798(m；).

答制作1万个这样的接头需要3798m的铁皮.

点评本题考查例台侧面积的求法及单位换算.

7.表面积约为387,体积约为176.三视图略.

8.略.

9.(1)64»(2)8»(3)241(4)24|(5)8.48cm.8cm.

10.它们的表面积分别为36Kcm.24Kcm'•把kcm;

°

i.14

体积分别为I6Kcm:12Kcm1.-p-Kcm1；

1o

三视图略.

B组(P“)

1.(1)三视图如图133所示.直观图如图134所示.

点评木题考查空何想象能力和画图能力.

(2)S,;=8X；X30X30Xsin60。=1800G(cm，).

V=2X；S•/,=2X；X30X30X向:~(15女尸=900072(cm).

•>•/

点评本小题考查多面体的表面积和体积求法.

图1-33图1-34

2.解V„--yn/?-yXa.14X25-65H7(cm).

2

水中球的体积为V,^V„Xy=43611(cm).

匕“"=80X60X55=264OOO(cm').

.'.V…-200000=264000200000=64OOO>43611.

故水槽中水不会溢出.

点评本题考查体枳公式的求法和弊实际问题的能力.

3.解它是由图135所示的图形L烧线/旋转而成的.其中I.

与/不相交.

点评本厩号查观察图形的能力和想望能力.

4.如图136.由翻总用./，(,rcm.EF5门《.且四边形八8(江)

为正方形・•••()「'^"(cm).OE/EF，25-亍

.'.V一十.S^t,•OE=y.f-4/100-.»

-^-.1,r:.

o

点评号住四慢锥的体枳求法和平面图形与立体图形

之间的关系.

♦教材习题解答

练习(P“)

l.h解设直线网两相交.交点分别为A.H.C.如图21122.

IWA.B.C三点不在一直线匕

.•.AWa./，Ga..\CUa,同理uUa.bUa.

.,.由•三直线可确定一平面.

点评本题考查公理2.

2.U)不共面的四点可确定-I个平而.

(2)共点的二条直线可确定I个或3个平面.

点评本题考查公理2的应用.

3.(1)X(2)v(3)/(4)J

(I)1•平而“与平面》相交,则a仃条公共收线....仃无数多个公共点.

(2)在已如直线上取不同两点.再加上直线外一点构成不共线♦点.由公理2知确

定一平面.

(3)在两条直线I;分别取一点(不同T交点).则构成不共线•点.由公理2可知确

定一个平面.

(4)；三个不共线的点.可确定一个平面....两平面重合.

4.如图21123.

点评本虺号介籁图方法.

♦教材习题解答

练习（P“）

1.（1）3条,分别是BB'.CT.DD'（本愿考查公理3）.

（2）相等或足补（等向定理的号畲）.

2.⑴•••BC〃/rC'.J/B'C'A'是异jBllfllA'C'与8C所成的角.

在RtZsA'8'L中.A'B'Z^.li,C2/3.：.^liCA'15°.

；.BCLjA'C'所成仙圮

（2）•••AA'〃B8'....NB'HC'是AA'与伙”所成的角.

在心△B'BC'中.B'C'=AD=2"」，8'二.VV=2.

:.BC'=4.，NB'BC'=60°.；.AA'与BC'所成的角为60°.

点评本题考查异面直线所成角的求法.

♦教材习题解答

炼习（P“）

四为“与平面Q不平行H“Ua.则”与a的位置关系为相交.叫“与a。f

公共点,所以＜A）.（D）两选项排除.若a内存在一条线/，与“平行.则不妨设“与a

交广。点.在a内.过。点作直栈，〃/，.则由公理I可知a〃r.这与“与,交于。点

不旃.所以选答案（B）.

点评此牌考企直找与平面的位置关系.同时为将来判断出线与平面平行蜕

定了基础.

♦教材习题解答

练习（Pg）

三个平面两两相交,那么它们的交线有一条或三条，如图2119.

图21-4-9

点评本题考查空间平面的位置关系及空间作图能力.

习题2.1（1、）

A组

1.如图21410.

2.(1)如图21I11.(2)如图21412.

3.（12（梯形的上、下底平行,由平行线定义知共面）

（2）X（当网上两点恰好为直径两端点时.过这三点不能确定平面）

（3）3（由平行公理4可得结论）

（4）X（当”〃〃时,”，，也无公共点）

（5）X（“.6可能平行.也可能相交）

点评本题考查平面的性质.空间两直线的位置关系.

4.（1W（由异而直线所成角定义或等角定理）

（2）8（由异而直线所成角和平ifli内线线垂直的判定）

（3）2（由公理2可得结论）

（4）平行或在平面内

（5）平行或相交

（6）相交或异面

点评本题考查空间两直线的位置关系.

5.共面

点评本题考查公理2的应用.

6.证明，YAA%BB'且AA'=HB'.

：.四边形AA'HB'为平行四边形.

二ABJLA'B'.同理BJB'C.

.,•NABCJ/A'B'C'.

点评本题考查公理4及其应用.

7.三条直线两两平行且不共面.一共确定三个平面.如果二条直线交于一点则最多

确定三个平面.

8.正方体各面所在平面分空间成27部分.

点评本题考查学生的空间想象能力.

B组

1.（DC（2）D（3）C

点评本题考查空间想象能力.异面直线所成角的求法.

2.证明：因为A8na=P.A/SU平面ABC.

所以P6平面ABC.Pea.

所以P在平面A8C与平面°的交线上.

同理可证.Q和R均在这条直线匕

所以P.Q.R三点共线.

点评先确定釜直线.再证明其他点也在这条直线上.

3.证明：如图2II13.连接

♦EF分别为AB.BC中点.

：.EF1-AC.

..IX；I)H1

,DC/MT-

+A。

：.EF//ll(i11

，四边形EFGH为悌形.

J.梯形WWEH.FG相交.设交点为K.

VE//C平而A/〃人

.•.;<£平而八/“).

FGUfffiCBD.

.••K£平面CBD.

而平面ABDA平面「8D=BD.

:.KeBi).

：.EH，FG.BD交于一点K.

点评本题考查公理2和公理3.

♦教材习题解答

练习(P“)

1.(1)平面OTD'D.平面A'B'C'D'；(2)平面BB'C'C.平面CC'D'D；(3)平面

BCC'8'.平面A'B'C'D'.

点评考查直线与平面平行的判定定理.

2.直线8d〃平面AEC.

证明，如图2-2116.连接8D交AC}().连接

CE.在△DBQ中")E为三角形中位线.

.,.OEZ/BD,.XVBD.r平面AECOEU平面AEC.

二8口J平面AEC.

点评号代H线与平面平行的判定定珅•充分利用三

角形中位线性质.

♦教材习题解答

练习（P“）

1.(1)错误.以长方体为模型.如图22213.E.

F分别为A'B'.LD'的中点.A'D'U平面A'B'C'

D'.EFU平面A'B'C'D'.A'D'〃平面BCCU'.

EF〃平而BCC'B做平面8CCB'与平面AH'

C'D'相交.

(2)11:06.

点评本邂考代平面与平面平行的定义和判定定珅的条件.

2.提示：容易证明MN〃EF.NA〃EB.进而可证千面AMN//平面EFDB.

3.（A）不正确.以长方体为模型.如图222-

11.则ft平面AHCD内与*f-的所有直线都

与平面BCC'B'平行.但平面AHCD与平面

BCC'8'是相交的.

（B）不正确.以长方体为模型.如图2-22

M.A'D'〃平面ABCD.A'D'平而作1

而ABCD与面BCC'B'相交.

（C）不正确.以长方体为模型.如图22-2M.A'D'〃平面次、C'B'.8C〃

平面A'8'C'。'.但平面BIX”'与A'8'C'D'相交.

（D）平面与平面平行的定义.二应选（D）.

点评本题通过时两中而平行判定的分析.培R学生W密分析何，的能力.

♦教材习题解答

练习(P")

(1)X同时过两直线的平面不符合条件.

(2)X。与a内直线有平行和异面的两种位置关系.

(3)X”与/＞可能出现三种位置关系：平行.相交、异面.

(l)x/；，，〃a.过，，作平面尸交aPr.KlJa//c.：.b//c.：./,//a.

点评本题考查线面的平行关系的判定和性质.

习题2.2(13)

A组

1.(A)以长方体为模型•如图22414.则平面

ABCD与平面ABB'A'都与直线D'C'平行,但两平

面相交.

点评本题考查两平面平行的判定.

(2)(D)直线a不与a平行，则aUa或a与立相交.

点评本题考查直线与平面的位置关系.

(3)(0Vfl//a.Pea.

.•.由P和直线“可确定一平而氏则SCIa—/.P£/.，存在一条直线/Ua且/〃a.

假设/不唯一.不妨设还存在一直线/'Ua且/'〃a.则与过一点且平行于一直线

的直线有且只有一条矛盾....只有一条符合条件的直线.

点评本题考直直线与平面平行.

2.(】)平行或相交.如图22-4-15.

图22415

（2）相交或异面.如图2•2416.

点评本题考查空间直线与平面的位置关系.

3.证明：（1）；E.F.G分别是AB.BC.CD的中点.

：.FG//HD.

又：FGU平IffiEFG.HD<Z平面EFC.二BD//

平面EFG.

（2）同理AC〃平面EFG.

点评本题考查直线和平面的判定定理.

4.解：在直线”上任取点。.过（）作/，'〃/，.则由“与/，'确

定的平面a即为所求.如图2-2-417sb'Ua.

••!>//a.

点评本题考查线而平行的判定.

5.证明：•，由AC.BD可确定平面小则ABU

仇且8与a交广CD.-：AB//a.：.AH//CD.

四边形ABCD为平行四边形....AC=BD.

6.证明：：A8〃a.A8U⑶aA8=（力.二A8〃CD.同理A8〃EF.，（、D〃EF.

点评本题考查线而平行的性质.

7,证明：,••AA'/B/'..•.四边形AA'B'B为平行四边形.

；ABU平面.ABC.A'B'a平面ABC.

〃平面ABC.同理B'C'〃平面ABC.

；A'B'r\Ii'C'=-8'..•.平面A'a'c1//平面AHC.

点评本题考查平面与平面平行的判定定理.

8.证明：B'C./AOB=/A'O8'.

：.^A（.：.ZA'B'O-^ABn.：.A'H'//AH.

平面ABCA'B'U平面ABC.二A'B'〃平面AHC.

同理B'C'〃平面ABU

•••A'B'flB'C-B'..•.平面A'B'（、'〃平面ABC.

点评本题考查平面与平面平行的判定定理.

B组

1,过P点作MN〃A「交VA广M.交W于N.过M点作MC//V8.交ABpP.

过N作NQ〃VB.殳坟、J：Q.连接（Q则平面即为所求.

点评本题考查线面平行的判定.

2,过〃作平面y交a尸直线/，'.；/，〃&....〃〃6'.过“作平面6交0于直线“'，

与，，相交....a/A

点评本题考查平面与平面平行的判定定理.

3.连接AF交§于M点.则MB〃CF....芸一节.同理ME//AD.

.AMDE.曲—匹

"MF~EF'''liC~EF'

点评木虺考黄平面与平面平行的性质定理.

4.正确俞愚序号a'：,：I-4平面.4HB.A〃平而（7）。C,.

••"j水的部分和无水的部分始终“两个而平行.而及余各而都切证是平f1四边

形（水面与两T行平面的交线）.；.①。是正确的.

血从图中很明显力出在图（1）中.水面而枳$EF•FGEF・BC.在曲（3）中

S.，EF・BC.ffif⑴中的EF小于⑶中的EF.；.S,<S.二0足播的.

由①.②的正确性知©是正■的.

因为水的体枳一定.形成柱体的离始终是加二二底面AEFB的面枳是定值.

AyBE•EF-sinZBEF为定值.而/BEF为定值.

...8E・EF为定值.二3是正确的.

♦教材习题解答

练习（P“）

1.如图23121.取AC中点（）.

"4=.AC.

同理8（）.ACVV7）nW>-O.

...AC_L平而VC/L

又VVHU平而V（）n.：.AC.VH.

点评本麴考育线而垂宜的定义和判定定理.

2.（1）AB边的中点M2）点C是△A8C的外心；

（3）点O是△八次'的垂心.

3.不一定平行.

♦教材习题解答

练习（P“）

分析：折叠后的四面体S-EFG（如图2-32-34）.

♦.,在折登前SG,.GE.SG一CF.

.,.在折叠后SGJLGE.SGJ_GF.

又•.•在折登后GEHGFG.

••••*；!_而6EF.

二应选A.图23-2-34

♦教材习题解答

练习（P”）

（参％桩础知识部分的一个瞋要结论）

（2）3（性顺定理）

（32（直线与平面平行的定义）

2./,与a的位置关系自两种SUa或〃〃a.

点评本鹿考查直线与平面垂直性质定理的应用和空间想象能力.

♦教材习题解答

族习（P”）

1.A是钳谡的•因为假设a。。八则由两平面《t真的性质知.若平面。内的所行直

晚都市比卜外财这些直线都与直.而在平面a内的直线与，的位置关系不仅

仅是垂直关系.

2.⑴错误.k平面的上知直线垂直「分个中面的任意直线♦则ti如直线就垂直

r-另千面,而一个平面内的直线与另•平面存在平行和相交两种情况.

2）正确.在另一平面内存在无数条，两平面的交线垂目的直线.加这些直纹都与

35•个平面的已配直线垂直.③错误.（参考第1跑答案）④正确.（参号性随定

理）故选B.

A组

1.U）铜误.如图23420.以长方体为模型.平面

A'B'BA［平面ABCD.平面D'B'BD_l平面ABCD.

但平面.A'8BA与平IAJDHHU小垂fit.

（2）正确.（参照长方体的的相对侧面和底面的位

直关系）

图23420

2.证明：如图23I21.设aDy八在平面7内作直

线山

因为aLy.

所以"_La.

过“作一个平面6与平面8相交上直线人.

由月〃y•得a〃儿

所以/，！_«.

又AC8•所以84

3.解：平面VBA和平面V8C垂直.如图2-3422.

；/VA8=/VA('-90°.，VA_1.平面A故,,

.,.VA1BC.

又：/AB('=90C,HV.VAVnBV-V.

，故'一平面VAB.又一BCU平面VBC.

，平面V8A_L平面VBC.

点评本题主耍考查线面垂直和面面垂直的相互转化.

4.如图2-3423.

取AB边中点O.连接VO.CO.

由条件VCJMB.CCIAB.

：，ZV(X'为二面角VAHC的平面角.

易求VO=OC=I.；./“：=60°.

...二面角V.4B('的大小为60°.

点评本题主要考查二面角平面角的作法和求法.

5.略.

6.已知VA.VB.V('两两垂直.

求证；平面VAH.平面VBC.平面VAC也两两垂直.

证明：如图234-24.

'：VA.VH,VA.vc.vnnvc^v.

J.VAJ_平面VBC.又VAU平面VAC.

，平面VAC.平面VHC.

同理平面VAC一平面VAB.平面V8C1平面VAB.

点评本题主要考查线面垂直.面面垂直的判定和性

质•以及两种位置关系的相互转化.

7.解：平面A/O与平面A8('D、平面A'8'C'D'、平面

AEB'A'、平面CC'D'D成角45".平面ABC'D'与平面

ADD'A'、平面BCC'B'都垂直.

8.证明：./1I，，.，”.”相交垂Ei干，确定

的平面a.

同理—/..•.Nl—/2.

9.已知:“〃b.ana-A»ria-与a.分别是a./，与（»所

成角.

求证抠=&.

证明：如图23425.在U.A上分别取点A.B.这西点

在平面a的同偶.且AA,=BB,.连接AH和A.B,.因为

AA,//BH,.AA,-BB,.所以四边形8.8是平行四边

形.所以A8〃A,%.又A|B,Ua.ABUa.所以AB//a.

设A.〃分别是平而a的垂线\.\.HH的垂足•在接AA.B,H.则AA

HH.

在Rt/SAAA..和中.因为AAHH,A.\川，,.所以RtzlAAA

♦RtZU，88.所以/AA,ANBBH.8、4.

B组

1.证明：如图23I26.

•••正方体的性JUni)..\/；(//.

：.A'A.HD.VACnA/AA.

：.lit),平面—又•：BDU平面A'Hl).

平面ACC'A'」f®A'HD.

2.解；如图23I27.

WO.,^ifiiABC.AVOLAB.

：.VAVH.ADBD.AVD.AH.

v<)r\vi)V.：.AIi.平80VDO.

Y「DU平而VDO.一CD.

■:D为AB>1•/*>..,.ACHC.

3.己知a.J?»a./•/?./»aA/?-u•

aCy-b.Rny—.

求证：一c/,..r.

证明：如图2-3428.

y.0_L，.an户“.

参考典型例遨2知

乂•••afV—%•

^Ay-f..,.rC/.

...u.同理b.<.

点评上述三题均是直线和平面，平面和平面垂直的判定

和性质的考查,同时注重考查了转化的数学思想.

4.解：如图23I29.

VVC.平面A/3C.ACU平面ABC.

：.VCjAC.

；('为例周上一点.AB是直径.

.,./VJBC,.

wenHC=C.：.AC1平iftiVHC.

VD.E分别为VA.VC中点.，DE〃AC.

，DE」平面VBC.

♦教材习题解答

复习参考题(PU)

A组

1.三个平面将空间分成I或6或7或8个部分.

2.连接GE,在上底面过点E作直线CE即可.

因为(。一底而A,BCD,.所以('('」/•

根据作法知/_!GE.又因为CEJ_CC=G.

所以/,平面CCE.因此UCE.

3.己知直线”./，.，两两相交且不共点.如图2-12.交点分

别为A.B.C.

求证：直线在同一个平面内.

证明三点不共线.

.•.由A.8.C三点可确定一平面.设为a.

•.,AGa.8ea，A£6,8-»Ua.

同理“Ua-.eCa.

：.a.b.C在同一个平面a内.

4.(1)证明：如图2-13.在正方体MNPQM'N'P'Q'

中♦连接Q'N'•则

•；Q'N'〃A8.

四边形ABCD为梯形.

(2)连接MP.连M'P'交CDf-H.交Q'N'JO'.

设MP交A8]'■。.连(X)'.则(X)'_平面MN'P'Q'.

：.(X)'rCD.

•：CDLM'P'.()()'[}M'P'-

平面MPP'M'.而OHU平面MPP'M'.

.•.CL)_()/I.：.()H为梯形的高.

易求0次一串.

点评本题考查公理I和初中知识的综合应用.解法1中利用的是线面垂直的判

定和性质.

5.证明：如图2-14.连接E&.F居.

由正方体性质AE〃A,E,.

又「AE—A禺.

二四边形AEE,A,为平行四边形.

.".AAI=£EE,.

同理AA^FF,.

•,.EE/FB.

四边形EFF.E,为平行四边形.

：.EF//E,F,且EF-£F，.

6.解：设A8=.r.AD=N.AA'=z.

则AL=—+之；.

又

，「-b。，-V•;“+1.

>24-xa=优,

W—等/―+/.

点评本题考查线面垂直的性质.

7.解：如图215.作\〃)一平面ABCD,垂足为O.

则VOIAB.取AB中点H.连VH.OH,则VH.AH.

,：VHr\v<)=v-

：.AB.平面VF").

.•.NVHO为二面角VA81'的平面角.

易求VH=VAAH-5-1=4.

：.VH=2.

而OH—AB—1.

60°.图2-M

点评本题考存二面角平面角的作法和求法.

8.证明“.（）£h.'：ar\j}-u.：.（）ea

•.•an为万与y的公共点.又：前了

：.a.b,t三线共点.

9.a//b//c.

证明：由条件“〃/，・•••”〃3

乂Ta过“且与平面8交f，•

点评本题号花线向平行的划定和性Mi.

10.证明VaA^AH.：.Alida.AlifZfi.

".'PC,a.：.PCLAH.VPl).ft.：.PD.AH.

VPC'nPD-P..*.AB_fffiPCD.

VCDCTffiiPC®./.AB.CD.

B组

1.⑴折叠IW.AQ.AE.CD..CF.折发后.

A'I)1A'E.A'D一A'F.乂A'ECIA'FA'.

所以A'".而A'EF.因此ADEF.

2.(1)证明：如图2B/>..««,/J,.A,C,.

又•••EB」TiSAB,C,D,.

ABB,1A.C,.

又,.,8片n8,0-8-

；.AC.平面BB,D,D.

又•••HJJU平面BB,D,D.

:.B、D一AC.

图216

同理B,D±A,B.

又

平面A：（\B.

（2）证明：由（1）知AC-BH.A8_CH.

二〃为△A（1B的高的交点.

又为正三角形.

J.BH.CH.AJI为三条中线.

AH为△△（、出的弱心.

♦教材习题解答

练习(P“)

1,解:(1)—§i(2)A-tnn45*-11

•9

(3)&二tan120—tan(180"―60')--tan60*——73：

(4)4:—tan135—tan(180°15°)—tan45'—1.

点评直接利用小一求斜率.

2.帽（1七一41Io•帧/斜角°是锐帕

（2）&z=—，/"〈二。.二帧斜角a是钝角.

点评利用四点的坐标求斜率人利用A，;ma判断角的大小.

3.解(1)•.飞一尸一()..\a—0°;

b-a

(2)直线CD_•/轴.・・・a-90,

S♦r)

**>)•K(I.

a-h

itlktana-1WaY5°.

点评利用Atuna求帧斜加a.注意特殊情形斜格

不存在的情况.

4.解：如图3•1113.

♦教材习题解答

练习（P“）

1.解(DX--\,-：k&.•••/,I.

(2)A,=V=4"X(—52-1..•・/」/,.

4J。0

点评利用斜率的关系判断两直线的平行I，事宜是桂本方法.

2.解入牛'a卓

3•

(1)若AB〃PQ,则—=&•则二.解得，”一；.

(2)若AB.PQ•则3”•黑》—1.即一与I.；=1•解得，"一-2.

~1—?/13

习题3.1(P“)

A组

1.解：M=l..M=±l.rt|tana=Mma=15".rfltana--1得135°.

.•.倾斜角为45°或135".

3.解："。一匕1=2,解得,一4.仙二一『三=2,解得＞，=3.

1—3—1-3

点评：直线的斜率的大小不随直线上的点的坐标的改变而改变.

4.解：（1）［3'；:“一12.解得，"二一2.

（2）1■-辿-―=-6。。=/•解得”，二吟山.

-m~~m4

21

5.解:3“=r^=1.Aar=3，

又•••A&BC都经过点B.，A,B.C三点在同一条直线上.

点评利用斜率相等证明三点共线.是最基本的方法之一.

6.解：（1）大一修=2—后・・・・。〃乙♦或。与/重合.

（2乂〃/轴•/二〃/轴.人过点P.Q4不过点P.Q,

:H

（3）/!|==、~~（~i5=T**-^o~（-t）=T,Xr,="•在

同一个坐标系中画出•如图3126.由图可知，

Z,与I.不重合..■4〃/：.

点评本题在「提醒我们注意公式/,〃/?0*,一4成立的条件是：A,.A存在.且

/.与I不重合.

24/2\3

7.（1次-八一一方小瓦—（丁）x——

—,6,•~（11）

（2）Z?i—tan450-1———j—-----l.£i&：=-1*•*•Zi±/..

-5—05,3—03......

（、＞4=4_]=_彳出=zyy二百一7•4&一】•••/1•

8.解：设D（”」'）.则就,=沿=居/M=EF=3.4M=Wf=-2.A*,=

b（-1）_〃・]

。—1a-1

V（'D±AB.=-1.即3=-1.①

小一1

•"B〃AD..%=%,即-2=台.②

由①、②联立.解方程组得“=0.〃1.工1）的坐标为（0.1）.

点评本题综合考查了平行与垂直的基本公式.

B组

1.解：设P点坐标为Q.0）.Ar-沼一一J/“二t一㈠2一3.

a-2a—2a-。a-5

1.；.（1,解得“―1•或“-6.

；.P点的坐标为（1.0）或（6.0）.

点评直角的两边垂直.因此可以使用-1解题.

2•解内一品；..（w-Hl）HlJ_

5=T=ri'2"

21

当。〃/时♦&1=&♦即_3一〃/—丁♦解得，〃二3♦

当0_!_/时出2=T•即（一_）.（与）—1.解得〃i=

3.解入=^^与1^^=-区

,_2（2-2伍）里卜_2（2+2虑~）_再

R4-6YM—

♦・・及“一心,・・・・A8〃（'D•同理BC//AD.：.四边形A8CD是平行四边形.

又•居「=¥•(-V2)=1..,.AB1BC..,.OABCD是矩形.

点评根据矩形的定义解题.首先证明四边形是平行四边形.其次.有一个角是直

角的平行四边形是矩形.

4.解：依据直角梯形的定义,有一组对边平行,另一组对边不平行.且有一个角为直

角的四边形为直角梯形.利用定义来解题.

1n,3-12,_5~3

Afi76---〃-i43-67=亏3•乩一2-3

1〃.5~~/1__〔

6~m,解得

(D当八8一AD.AB〃D('时

1一〃_

2.it—

6Hl

5-孥

此时限＞=一1•即AD不平行于BC.

2~~5

1-”_86

,(-V)--1.

6-m

(2)当A8,8(',AD〃BC时.有"解得《

_225

〃——

2m一丁.13,

此时k即AB与CD不平行.

w卷86

6一诃

._18_29__