历年全国高中数学联赛试题及答案(98-06)

1988年全国高中数学联赛试题

第一试(10月16日上午8:00——9：30)

选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：

1.设有三个函数，第一个是y=°(x),它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的

图象关于x+)，=0对称，那么，第三个函数是()

A.y=—(p{x}B.y=­(p(—x)C.y=~(p1(x)D.y=­(p\-x)

2.已知原点在椭圆户*2+y2-4日+26+必一1=0的内部，那么参数上的取值范围是()

A.因>1B.因C.-KR1D.0<|用<1

3.平面上有三个点集M,N,P：

M={(x，训因+1乂<1}，

N={(x,)')|yl(x-^+(y+^)2+yl(X+1)2+(^-1)2<2V2},

P={(x，y)l|x+y|<L|x|<l,|y|<l).则

A.MPNB.MNPC.PNMD.A、8、C都不成立

4.己知三个平面a、p、y,每两个之间的夹角都是仇且aC)S=a,0c尸b,yQa=c.若有

命题甲：

命题乙：a、b、c相交于一点.

则

A.甲是乙的充分条件但不必要B.甲是乙的必要条件但不充分

C.甲是乙的充分必要条件D.A、B、C都不对

5.在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用/表示所有直线的集合，M表示恰好通过

1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达

式(1)MUNUP=/；(2)NW0.(3)M^0.⑷尸片0中，正确的表达式的个数是

A.1B.2C.3D.4

二.填空题(本大题共4小题，每小题10分)：

1.设且两数列X,0，上，“3,y和仇，X，①，仇，y，仇均为等差数列，那么上也=.

2.(G+2产+1的展开式中，x的整数次基的各项系数之和为.

DE

3.在△ABC中，已知NA=a,CD、BE分别是AB、AC上的高，则行=.

4.甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘

汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.那

么所有可能出现的比赛过程的种数为.

三.(15分)长为啦，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积.

四.(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为同一Zo|=|Z||,Z)为定点，ZoWO,另一个动点Z满足Z|Z=-1,

求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置.

五.(15分)已知a、£>为正实数，且1+t=1，试证：对每一个

(,a+b)n-an-bn>22n-2n+l.

1988年全国高中数学联赛二试题

一.已知数列｛斯｝,其中0=1,。2=2,

J5〃〃+1—1为偶数)，

“"2一〔。〃+1—a〃(斯・恁+i为奇数).

试证：对一*切a〃WO.

二.如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：沁丝条

3ABCy

三.在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线/”12,……，/“，…的直线族，它满足条件：

(1)点(1,1)£/„,(n=l,2,3,……)；

(2)kn+i=a„-bn,其中就।是端的斜率,即和力分别是/“在x轴和)，轴上的截距，(〃=1,2,3,……)；

(3)/扁+i20,(n=l,2,3,...).

并证明你的结论.

1992年全国高中数学联赛试卷

第一试

选择题(每小题5分，共30分)

1.对于每个自然数〃，抛物线夕=(〃2+〃)*一(2〃+1)/+1与才轴交于4,氏两点，以|力£|表示该两点的距离，则|4/

十|+…+|力1992忌Kttl的值是()

1991199219911993

(A)1992(B)1993©1993(D)1992

2.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()

(A)(x+Vl-yXy+Vl-X2)=0(B)(X-A/1-/)(y_Vl-X2)=0

(C)(x+J1-V)(y-"1—炉)=0⑻6-戊一丁)(y+41—声)=0

4

(£E)

3.设四面体四个面的面积分别为S,$,S,S,,它们的最大值为S,记力=<='/S,则4一定满足()

(A)2<%<4(B)3<^<4(C)2.5<XW4.5(D)3.5<^<5.5

CiiB

4.在△4式"中，角48,。的对边分别记为a",c(近1),且A'CA都是方程l°g〃X=iog“(4A4)的根，则△/1%()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5.设复数z”乃在复平面上对应的点分别为4B,且31=4,4k-2©&+苏=0,0为坐标原点，则△046的面积为()

(A)8^3(B)4^(06石(D)12石

6.设f(x)是定义在实数集"上的函数，且满足下列关系/UO+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+M,则f(x)是

(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数

(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数

二.填空题(每小题5分共30分)

X,J-,1-X--,1--Z

1.设X,y,z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且“yZ成等差数列，则zX的值是___.

2.在区间［0,文］中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是.

3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是

4.设火都是复数，且|zj=3,|z2l=5|z1+勿|=7,则arg(4)3的值是.

5.设数列a,…，备，…满足a=企=1,a=2,且对任何自然数n,都有司温”+i&+2工1,又4&+1劣+2&+3=&+%十】

+&+2+品+3,则国+/+…+400的值是____.

6.函数f(x)=Jx"-3d—6x+13_JP+1的最大值是__.

801

三、(20分)求证：kA7K

四、(20分)设/,0是两条异面直线，在/上有4B,C三点，且/庐比；过4B,C分别作0的垂线4ftBE,CF,垂足依

7

次是〃，E,F,已知4方m，BE=2C产小小，求/与初的距离.

”7皿j_

五、(20分)设〃是自然数，f“(x)=X-X-i(脐0,±1),令尸x+X.

1.求证：£*M=yf„(x)-fn-x(x),(〃)1)

2.用数学归纳法证明：

fn

>"一0"2+—+(_1)匕1尸"..+(_1)2,«=1,2「..疗,〃为偶数)

y"-。3尸+...+(_1)以产，+...+(_］产喧,《=1,2「-,叼1,〃为奇数)

fAx)=22

1993年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

选择题（每小题5分，共30分）

y）\?+/W2},则/N的元素个数是（）

1.若必={(%y)!|tg7ry\+sirfrrx-0},N={(x,

(A)4㈤5(08(功9

2.已知f(A)=asinx+b^-4(a,6为实数），且fQg/o与10）=5,则加的值是（）

(A)-5(而-3（03（9随a,6取不同值而取不同值

3.集合小〃的并集/UB={&，/，&},当时,（力，而与（8,⑷视为不同的对，则这样的（力，0对的个数是（）

(A)8(皮9(O26(〃)27

7T

4.若直线x=4被曲线a(X—arcsina)(x—arccosa)+(y—arcsina)(yd-arccosa)=0所载的弦长为d,当a变化时

"的最小值是（)

兀71n

(A)4I(02(〃)兀

sinC-A+coS£.±A

5.在△力旗中,角4B,。的对边长分别为a,b,若c-a等于"'边上的高4则22的值

是（）

(A)l

(A)(B)(C)(D)

6.设。，〃为非零复数,了为虚数单位，zwC,则方程Iz+ni\4-1z—加|=〃与|z+ni\—z—加|=-m在同一复平

面内的图形（£,区为焦点）是（）

二.填空题（每小题5分，共30分）

1.二次方程（1—。4+（4+1）彳+（1+"）=0（/为虚数单位，/le心有两个虚根的充分必要条件是4的取值范围为

士+十二

2.实数必y满足4y—5盯+4/=5,设S=V+/，则°max°min

5万匹_

3.若ZGC,argG_4)=6,*g(^+4)=3,则z的值是.

"1093"

4.整数Ll°3+3」的末两位数是.

log、199升log、,1993+logVi1993Zs-log,1993

5.设任意实数即>为>网>两>0,要使司石兀》石恒成立，则4的

最大值是.

6.三位数(100,101,…，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，

倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡

IES

二用，于是至多可以少打印张卡片.

三.(本题满分20分)

三棱锥S—45C中，侧棱相、SB、SC两两互相垂直，〃为三角形，及7的重心，。为4〃的中点，作与SC平行的直线加.证

明：⑴"5与SM相交；⑵设如与SV的交点为。'，则。'为三棱锥5—被?的外接球球心.

四.(本题满分20分)

设0Va<&,过两定点4(a,0)和8(6,0)分别引直线/和如使与抛物线/=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，

求这种直线1与/〃的交点尸的轨迹.

五.(本题满分20分)

设正数列斑，a,金，…，a”,…满足’4,4-27a,1%=2a,i(〃,2)且a=a=l.求｛&｝的通项公式.

1994年全国高中数学联赛试题

第一试

选择题(每小题6分，共36分)

1.设a,6,c是实数，那么对任何实数%不等式asinx+bcosx+c>°都成立的充要条件是

(A)a,。同时为0,且c>0⑻加+(2=C

(C)V<72+b2<c(D)4a1+b2>c

2.给出下列两个命题：

(1)设a,b,C都是复数，如果。2+。2>。2,则。2+.2_。2>0；

(2)设a,b,C都是复数，如果〃2+〃2―。2>0,则〃2+52>。2.

那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题⑴正确，命题⑵错误

(C)命题(1)错误，命题⑵也错误(D)命题⑴错误，命题⑵正确

+a

3.已知数列｛〃〃)满足3a〃+1n=4(九之1),且卬=9,其前n项之和为s〃，则满足不等式""〃6"125

的最小整数刀是

(A)5(B)6(07(D)8

71

0<Z><l,0<a<—V_rSnz/J"oSin"、，一/cnc0gHe0517

4.己知4,则下列三数：x-(sina),y-(cosa),z-(sma)的大

小关系是

(A)x<z<y(B)yVzVx(C)z<x<y(D)x<y<z

5.在正〃棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

(--Z兀用)(---7T,7T)(0,3)(---7T,---^)

(A)〃(B)〃(C)2(D)nn

\x+y\[\x-y\

6.在平面直角坐标系中,方程2a2b(a,8是不相等的两个正数)所代表的曲线是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.已知有向线段闻的起点P和终点。的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线/：x+wy+〃=O与园的延长线相交，则w

的取值范围是

x3+sinx-26f=0

x,y一■eR

2.已知44II[4)广+siny8sy+。=0则cos*+2y)

222

A={(x,y)|(x-3)2+(y-4-4(1)2}B={(x,y)|(x-4)+(y-5)>(|)}AnR

3.已知点集2,2，则点集々I万

中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为

0

sin—(1+cos。)

4.设°<e〈万，则2的最大值是

5.己知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a,则sina=

6.已知95个数4,42，°3，",，°95,每个都只能取+1或一1两个值之一，那么它们的两两之积的和

”294。95的最小值是.

a]a2+

1995年全国高中数学联赛

第一试

选择题(每小题6分，共36分)

1.设等差数列｛“"｝满足3a8=5a”且4&为其前项之和，则$中最大的是(

)

(A),io(B)S“(C)^20(D)S21

则复数2吗2的，•••，乙『5所

2.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z|，Z2「・、Z2O,

对应的不同的点的个数是()

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如，果某人不亚于其他99人，就称

他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l个(B)2个(050个(D)100个

4.已知方程次一2川=公正("CN)在区间(2厅1,291]上有两个不相等的实根，则立的取值范围是()

0<A:<.1

(A)k>0(B)V2n+1

1,1

-------<k</

(02〃+1"2〃+1(D)以上都不是

5.10811405110&汨/1,10&0);肉111,10取向1用的大小关系是()

(A)1。-nlCOSl<lo&0slsin1<lo.nl吆1<10gMsJgl

(B)lo&osisin1<lo&g/gl<loanicosl<lo&mtgl

(C)lo&initgl<I。3tgl<1。—sin1<lo&nIcosl

(D)loaositg1<lo&nitgl<lo&njcosl<lo&0slsin1

6.设。是正三棱锥底面三角形4%的中心，过。的动平面与产。交于5,与必，阳的延长线分别交于Q,R,则和

_L+_L+_L

式TPQ匕PRPS

(A)有最大值而无最小值(8有最小值而无最大值

(C)既有最大值又有最小值，两者不等(D)是一个与面8s无关的常数

二、填空题(每小题9分，共54分)

a

1.设久△为一对共加复数，若心一川=26，且夕为实数，贝"口=

2.•个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为

3.用3表示不大于实数x的最大整数，方程怆一》一［思幻一2二°的实根个数是

、x

4.直角坐标平面上，满足不等式组I”+y4100的整点个数是.

5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方

法的总数是.

6.设标｛1,2,3,…，1995｝,/是M的子集且满足条件：当XGA时，15x^A,则/中元素的个数最多是.

一九九六年全国高中数学联合竞赛

一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

1.把圆一+(y-1尸=1与椭圆9/+(y+1尸=9的公共点，用线段连接起来的图形是______.

(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形

2.等比数列｛a。｝的首项&=1536,公比是q=2.用7；表示它的前〃项之积，则刀,(灰心最大的是

(A)T,(B)T„(0T12(D)T,：i

3.存在在整数“，使+"是整数的质数..

(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个，但为有限个(D)有无穷多个

4设xc(-2,0),以下三个数：ai=cos(sinx7r),a：Fsin(cosx7c),a：,二cos(x+1)兀的大小关系是.

(A)a3<a2<ai(B)ai<aYa2(C)ch<ai<a2(D)a2<a,i<ai

5.如果在区间［1,2］±,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+(尸在同一点取相同的最小值，

那么f(x)在该区间上的最大值是.

4+—V2+V44--V2+V41--V2-V4

(A)4(B)2(C)2(D)以上答案都不对

6.高为8的圆台内有一个半径为2的球a,球心a在圆台的轴上.球a与圆台上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一

个半径为3的球a,使得球&与球a、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球a,圆台内最多还能放入半径为3

的球的个数是.

(A)l(B)2(03(D)4

二、填空题（本题满分54分,每小题9分）

1.集合｛x|-1<log（>10<-,xwN｝的真子集的个数是.

1

—71

2.复平面上非零复数0、为在以/为圆心1为半径的圆上，ze的实部为零，zi的辐角主值为6，则z2=

3.曲线C的极坐标方程是p=1+cos。，点A的极坐标是（2,0）.曲线C在它所在的平面内

绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是.

4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六

面体，并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两个基本点顶点的距离是_.

5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种

颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有一一种.

（注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染

色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）.

6.在直角坐标平面上，以（199,0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为

【第二试】

一、（本题满分25分）

设数列数｝的前n项和Sn=2fln—1（"=1,2,…），数列｛久｝满足』=3,尻+1=必+氏2,…）。求数

列｛4｝的前〃项和.

二、（本题满分25分）

求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意6《［0,兀/2］恒有

（x+3+2sin«cosO'）~+（x+asin，+4cos。）1/8.

三、（本题满分35分）

如图，圆01和圆。2与4ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点,并且EG、F”的

延长线交于P点。求证直线也与BC垂直。

四、（本题满分35分）

有n（心6）个人聚会,已知：

（1）每人至少同其中［］］个人互相认识;

（2）对于其中任意［1］个人，或者其中有2人相识，或者余下的人中有2人相识。

1997年全国高中数学联合竞赛试卷

（10月5日上午8:00-10:00）

一、选择题（每小题6分，共36分）

1.已知数列｛七｝满足七+1=工"一x,=a,xi记5=用+论+…+x“则下列结论正确的是

（/I）a,Soo=28a（7^）Jfioo"-b、5oo=2ba

（6）X］（n=­b,5）oo=Z?-a（勿Xioo=—a,So（）=b——3

2.如图，正四面体力及力中，£在棱月6上，尸在棱CD上,使得

第=喋=2（0</1<+8）

JC£>rU,

记/（乃=%+外其中%表示即与〃■所成的角，乩表示"与劭所成的角，则

（力f⑷在（。,+8）单调增加

出/（丸）在（°，+8）单调减少

（。/（2）在（0,1）单调增加，而在（1,+8）单调减少

(。)/(2)在(0,+<»)为常数

3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为9"则这样的数列共有

（⑷2个（面3个（。4个（95个

4.在平面直角坐标系中，若方程根（天+好+2丁+1）=（%一2卜+3）2表示的曲线为椭圆，则用的取值范围为

U)(0,1)⑷(1,+00)(0(0,5)(0)(5,+8)

f(\一"』0=arctgj,/=arccosG1),3=arcctg—?)

5,设八Xx)-X叫7rxa=arcsin3,434,则

(J)/(«)>f(B)>/3)>/(7)㈤/⑷>/⑻>f(/3)>f(r)

(°/(^)>/(«)>/(/7)>/(7)(〃)/(5)>/0)>/(7)>/(万)

6.如果空间三条直线a,/）,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有

（J）0条（面1条（。多于1的有限条（。）无穷多条

二、填空题(每小题9分，共54分)

\X-1)3+199XX-1)=-1

<

设X,y为实数，且满足［(>一1)3+199"'一1)=1,则x+y=.

过双曲线X2-1的右焦点作直线/交双曲线于48两点,若实数％使得|"|=%的直线/恰有3条，则九=.

|2Z+-L|=1

已知复数Z满足Z,则Z的幅角主值范围是.

已知三棱锥S-4笫的底面是以46为斜边的等腰三角形，SA=SB=SC=2,AB=2,设S、4、B、。四点均在以0为球心的某个

球面上，则点。到平面4町的距离为.

设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点力处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到。点，则停止跳

动；若5次之内不能到达"点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.

设a=lgz+1g[x(yz)4-1]"=lg尸+lg(xyz+l),c=1gy+1g[[xyz)-l+1]，记a,b,c中最大数为机则材的最小值为.

一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷

(10月11日上午800—1000)

一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

1.若且lg(a+A)=lgKlg。，则lg(a-D+lg(5D的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是与无关的常数

2.若非空集合4={J2於1W启3a-5},庐{x|3WxW22},则能使/勺/0占成立的所有且的集合是()

(A){a|lWaW9}(B){a|6这a近9}(C){a|aW9}(D)0

3.各项均为实数的等比数列{aj前〃项和记为S,,若S0=10,S0=70,则S°等于()

(A)150(B)-200(0150或-200(D)400或-50

幺=且=4

4.设命题户：关于x的不等式与a*+a户Q>0的解集相同；命题Q：出瓦02。则命题。

(A)是命题户的充分必要条件(B)是命题户的充分条件但不是必要条件

(C)是命题户的必要条件但不是充分条件

(D)既不是命题。的充分条件也不是命题户的必要条件

5.设£,£6■分别是正四面体4及力的棱4氏比；勿的中点，则二面角占林£的大小是()

.V6

arcsin--—+arccos--

(A)3(B)23

--arctgv2^--arcctg-；—

(02(D)2

6.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中,

共线的三点组的个数是()

(A)57(B)49(043(D)37

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

上f(丝)〃⑼)〃鹿)

1.若/(x)(xeR)是以2为周期的偶函数，当xe[0,l]时，f(x)=xl99S,则'19,17,15由小到大

的排列是.

2.设复数2=8s6+isine(°°w°W180°),复数％(i+f)z,2z在复平面上对应的三个点分别是q。衣，当RQR不

共线时，以线段户。,/火为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点s到原点距离的最大值是.

3.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有种.

4.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有—―项.

5.若椭圆》?+4(»—a/=4与抛物线=2y有公共点，则实数a的取值范围是.

6.中，NB90°,N庐30°."是4?的中点，将△4。/沿折

起，使43两点间的距离为2&,此时三棱锥4-5。/的体积等于

(本题满分20分)

<0<71-

已知复数2=l-sin"+fcos"(2)，求z的共匏复数Z的辐

角主值。

四、(本题满分20分)

设函数/(幻="厂+8x+3(aV0),对于给定的负数a,有一个最大的正数/(a),使得在整个区间［0,/(a)］上，不

等式If31W5都成立。

问：a为何值时1(a)最大？求出这个最大的/(a),证明你的结论。

五、(本题满分20分)

已知抛物线=2〃%及定点4(0力)，8(_a0),(a6*。，"*2〃a),M是抛物线上的点，设直线儿仪序/与抛物线

的另一交点分别为M,必

求证：当“点在抛物线上变动时(只要M,.吆存在且麻片,%)，直线机必恒过一•个定点，并求出这个定点的坐标。

1999年全国高中数学联合竞赛

一.选择题(满分36分，每小题6分)

1.给定公比为g(q#l)的等比数列{a.},设8=ai+a：+a”&=a,+a5+a,-»+a)Q+a”…，则数歹!I{4}()

(力是等差数列(0是公比为g的等比数列

(0是公比为"的等比数列(。)既非等差数列也非等比数列

2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(Ix-D2+(ly|-1产<2的整点(*,

y)的个数是()

(4)16㈤17(018(0)25

3.若(［侬3),-(/。颉3尸》(［。庚3)7-(/。去3)7,贝4()

(J)x-y^O(0x+y20(6)(9

4.给定下列两个关于异面直线的命题：

命题I：若平面a上的直线a与平面尸上的直线人为异面直线，直线。是a与尸的交线，那么，。至多与包。中的一条

相交：

命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，（）

储）命题i正确，命题n不正确（⑸命题n正确，命题।不正确

（。两个命题都正确（〃）两个命题都不正确

5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部

比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）

（4）0（面1（02⑵3

6.已知点1（1,2）,过点（5,-2）的直线与抛物线y=4%交于另外两点氏C,那么，△/吃"是（）

（4）锐角三角形（囱钝角三角形（。直角三角形（功答案不确定

填空题（满分54分，每小题9分）

1.已知正整数〃不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的〃的个数是.

_5_zc_o__s_M___+__i_s_i_n__M__

2.已知6=arctgl2,那么，复数239+Z的辐角主值是

ctgC

3.在△48。中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9//-19<?2=0,则力84+戊8鸟=__

上一£=1

4.已知点/,在双曲线169上，并且产到这条双曲线的右准线的距离恰是户到这条双曲线的两个焦点的距离的

等差中项，那么，户的横坐标是.

5.已知直线ax+6y+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,,3｝中的3个不同的元素，并且该直线的

倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.

6.已知三棱锥94K1的底面是正三角形"点在侧面$比1上的射影〃是△眦'的垂心,二面角心4以。的平面角等于30。,

S4=2石。那么三棱锥64%:的体积为_____.

三、（满分20分）已知当检血1］时，不等式—x）+（l—x）2sine>°恒成立，试求的取值范围.

fV_J5

四、（满分20分）给定水-2,2）,己知8是椭圆2516上的动点，尸是左焦点，当|4例+3|跖|取最小值时，求

8的坐标.

22

五、（满分20分）给定正整数〃和正数M对于满足条件/+a"+iWM的所有等差数列a,魅备，….，试求S=&+,+a,+2

H---b&2“+i的最大值.

2000年全国高中数学联合竞赛试卷

(10月15日上午8:00-9:40)

一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

1.设全集是实数,若人={对4-2WO},B={x|I*’1吟,则百是()

(A){2}(B){-1}(C){x|x近2}(D)°

aaa

2.设sina>0,cosa<0,且sin3>COs3,则3的取值范围是()

灾至2kfrJT2tor灾