2022-2023学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）期末数学试卷（含详细答案）

2022-2023学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）期末数学

试卷

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）将一元二次方程3/+1=6X化为一般形式后，常数项为1,二次项系数和一次项

系数分别为（）

A.3,-6B.3,6C.3,1D.3?,-6x

2.（3分）下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是（）

Z4

3.（3分）某批羽毛球的质量检验结果如下：

抽取的羽10020040060080010001200

毛球数。

优等品的931923805617529411128

频数b

优等品的0.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940

b

频率一

a

小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94.下列说法中,

正确的是（）

A.如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动

B.从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品

C.从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只

D.从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940〜0.941的范围内

4.（3分）圆的直径是14,若圆心与直线上某一点的距离是7,则该直线和圆的位置关系是

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

5.（3分）关于尤的一元二次方程（a-l）/+x+a2-1=o的一个根是0,则°的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.0

6.（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度a得到△A9C,且点8刚好落在A8

A.37°B.38°C.39°D.40°

7.(3分)如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、8(-2,-2)、C(4,

8.（3分）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不

能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（）

1112

A.—B.-C.一D.一

6323

9.（3分）如图所示，以AO为直径的半圆。经过斜边的两个端点，交直角边

AC于点是半圆弧的三等分点，弧BE的长为弓，则图中阴影部分的面积为（）

D0A

Ti37r3A/337r3y[32TI

A.-B.一C.——--D.——-一

992223

10.（3分）若x2—W^x+l=0,则％4+4等于（）

111218927

A.—B.------C.—D.—

416164

二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）从遮,0,V4,ir,3.2这五个数中，随机抽取一个,则抽到无理数的概率是.

12.（3分）某村种的水稻前年平均每公顷产7200打，今年平均每公顷产8450口.设这两

年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为％,根据题意，所列方程为.

13.（3分）。。的半径为1,弦45=是在异于A、8圆上的点，则NAC8的度数为.

14.（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米.相

邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为米.

15.（3分）已知二次函数（〃#0）的图象经过点（1,2）,且与x轴分别交于

（xi,0）,（X2,0）,其中-IVxiVO,1<X2<2,下列结论：@a-b+c>0；②2〃+bV0；

1

③6>1；④点M（m,yi）,N（m+1,y2）在此函数图象上，当机时，yi<yi,其中正

确的有.（只填序号）

16.（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2次，点。、E分别是边8C、AC的动点，且

AE=CD,连接A。、BE交于点F,G为AC的中点，连接尸G,则线段尸G长的最小值

为

三.解答题（共8小题，共72分）

17.（8分）已知3,f是方程2x2+2wu-3Ml=0的两个实数根，求加及/的值.

18.（8分）AB、CD是。。的弦，OC、OD分别交48于点E、F,且OE=OF.求证:AC=BD.

19.（8分）在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全

相同），其中白球2个，红球、黄球各1个.

（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是；

（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分.甲同学随机从纸盒中一次

摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率.

20.（8分）如图，4B是。。的直径，点C、。在上，8C平分NASD,E是弧AB的中

点，连接交BC于？

（1）求证：CD=CF；

（2）若8尸=2,EF=5V2,求CF的长.

21.（8分）如图，在6X6的正方形网格中，A,B,C为OO与网格线的交点，其中8,C

为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

（1）在图1中，先画出圆心。，再在。。上画点。，使

（2）在图2中，先画油的中点E,再画弦AF=BC.

22.（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每

件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的

售价上涨x元（尤为正整数），每个月的销售利润为y元，

（1）求y与x的函数关系式并直接写出龙的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）若在销售过程中每一件商品有a（a>2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低

于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出。的取值范围.

23.（10分）在菱形A8CZ）中，ZABC=60°

（1）如图1,尸是边8。延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE,连接BE、CE.

①求证：CE_LA。；

②若AB=@,BE^V19.求AE的长；

（2）如图2,尸是边C。上一点，点。关于AP的对称点为E,连接BE并延长交AP的

延长线于点尸，连接。£、DF.若BE=ll,DE=5,求△AOF的面积.

图1图2

24.（12分）已知抛物线>="2+法+2经过点A（1,0）和点B（-3,0）,与y轴交于点C,

P为第二象限内抛物线上一点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当8C平分NPC。时，求点尸的横坐标;

125

(3)将抛物线平移至顶点(-，一)，得到抛物线C2,如图2,抛物线C2交无轴于点A,

26

B',与y轴交于点C,P是第一象限内抛物线上的一点.连B尸，A'C,是否存在点P,

使得若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

图1图2

2022-2023学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）将一元二次方程37+1=6X化为一般形式后，常数项为1,二次项系数和一次项

系数分别为（）

A.3,-6B.3,6C.3,1D.3/,-6x

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax1+bx+c=0（a,b,c是常数且aWO）.在一般

形式中办2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次

项系数，常数项.

【解答】解：一元二次方程3?+l=6x化为一般形式是3/-6x+l=0,各项的系数分别

是：3,-6.

故选：A.

2.（3分）下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是（）

I4

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论.

【解答】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

3.（3分）某批羽毛球的质量检验结果如下：

抽取的羽10020040060080010001200

毛球数a

优等品的931923805617529411128

频数b

优等品的0.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940

频率2

a

小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94.下列说法中，

正确的是（）

A.如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动

B.从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品

C.从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只

D.从这批羽毛球中任意抽取H00只，优等品的频率在0.940〜0.941的范围内

【分析】根据频率估计概率逐一判断即可.

【解答】解：A.如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆

动，此表述正确，符合题意；

B.从这批羽毛球中任意抽取一只，优等品的可能性较大，但不确定其一定是优等品，原

表述错误，不符合题意；

C.从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品约有50X0.94=47（只），原表述不准确，不

符合题意；

D.从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940附近，原表述错误，不符

合题意；

故选：A.

4.（3分）圆的直径是14,若圆心与直线上某一点的距离是7,则该直线和圆的位置关系是

（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

【分析】根据圆心到直线的距离7等于圆的半径7,则直线和圆相切.

【解答】解：的直径为14,

圆的半径为7,

当圆心O到一条直线的距离为7时，直线和圆相切；

当圆心与直线上某一点的距离是7时，直线与圆相交.

故选：D.

5.（3分）关于尤的一元二次方程（a-l）/+x+a2-1=o的一个根是0,则°的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.0

【分析】将x=0代入方程可得：a2-1=0,解之求得。的值，在根据一元二次方程的定

义求解可得.

【解答】解：根据题意将x=0代入方程可得：屋-1=0,

解得：a=l或a=-1,

Va-17^0,即aWl,

•・ci~~-1,

故选：B.

6.（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度a得到△ABC,且点8刚好落在A8

上.若NA=26°,NBCA'=44°,则a等于（）

CA

A.37°B.38°C.39°D.40°

【分析】先利用旋转的性质得/A'=ZA=26°,ZABC=ZB',CB=CB',再利用

等腰三角形的性质得/夕=ZCBB',则根据三角形外角性质得/CBB'=70°,所以

ZB'=70°,然后利用三角形内角和定理计算的度数即可.

【解答】解：：△ABC绕顶点C逆时针旋转得到B'C,且点8刚好落在A'B'

上，

.♦.NA'=NA=26°,NABC=/B',CB=CB',

：.ZB'=ZCBB',

'：ZCBB'=NA'+ZBCA'=26°+44°=70°,

：.ZB'=70°,

：.ZBCB'=180°-70°-70°=40°,

.,.a=40°,

故选：D.

7.(3分)如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、2(-2,-2)、C(4,

)

c.VioD.V13

【分析】根据三角形外心的性质确定△ABC外心，根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：分别作线段48、BC的垂直平分线交于点则0),

根据三角形的外心的性质可知，点〃是△ABC外接圆的外心,

则△ABC外接圆的半径为：V22+32=V13,

故选：D.

8.(3分)有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不

能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是()

【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意

一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率.

【解答】解：根据题意列表得:

锁1锁2

钥匙1（锁1,钥匙1）（锁2,钥匙1）

钥匙2（锁1,钥匙2）（锁2,钥匙2）

钥匙3（锁1,钥匙3）（锁2,钥匙3）

所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，

21

则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是-=

63

故选：B.

9.（3分）如图所示，以为直径的半圆。经过RtaABC斜边的两个端点，交直角边

AC于点£.2,E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为等，则图中阴影部分的面积为（）

【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关

系得出BC,AC的长，利用S^ABC-S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可.

【解答】解：连接2。，BE,BO,EO,

；B,E是半圆弧的三等分点，

AZEOA=ZEOB=ZBOD=60°,

：.ZBAC=ZEBA=30°,

:・BE〃AD,

一2

•「BE的长为f,

3

.607rxr2

/.-----=-71,

1803

解得：R=2,

：.AB=ADcos30°=2亚

：.BC=1AB=V3,

：.AC=7AB2一BC2=（2百/-（V3）2=3,

-1i

：.S^ABC=jxBCXAC=V3x3=号，

：△BOE和△ABE同底等高，

ABOE和△ABE面积相等，

，图中阴影部分的面积为：S^ABC-S扇形BOE=挈-粤桨=挈=

乙DOU乙

故选：D.

10.（3分）若/-孚x+l=。，贝”+箝于（）

再代入完全平方式求值.

11比2+1

【解答】解：：/+/=（/+爰）2_2=[（--）2-2『-2①,

又：%2+]=^^^,于是

将②代入①得，

V19

——X

原式=[（嚎-）2-2]2-2=

故选：C.

二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）从逐，0,V4,m3.2这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是

2

5一

【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案.

【解答】解：7T是无理数，

2

:•从遮、0、V4.11、3.2这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：

2

故答案为：-

12.（3分）某村种的水稻前年平均每公顷产7200依，今年平均每公顷产8450依.设这两

年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x,根据题意，所列方程为7200（1+x）2=

8450.

【分析】由题意得：第一年水稻产量7200（1+x）,第二年水稻产量：7200（1+无）（1+尤），

进而可得方程7200（1+x）2=8450.

【解答】解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x,根据题意得：

7200（1+x）2=8450,

故答案为:7200（1+无）2=8450.

13.（3分）。。的半径为1,肱AB=a，C是在异于A、2圆上的点，则NACB的度数为

45°或135°.

【分析】根据题意画出图形，先判断出/AQB=90°,再分两种情况用同弧所对的圆心

角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可.

【解答】解：/，

：.OA2+OB2^AB2,

是直角三角形，

/.ZAOB=90°,

当点C在优弧彳&上时，ZACB=|ZAOB=45°,

点C在劣弧砂上时，ZAC'B+ZACB=180°,

AZAC'B=180°-45°=135°,

AZACS=459或135°,

故答案为：45°或135°.

14.（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米.相

邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为3.5米.

【分析】根据题目建立直角坐标系，可得从B,C的坐标，用待定系数法求出抛物线的

解析式，令x=5即可求出支柱的长度.

【解答】解：建直角坐标系，如图：

根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（-10,0）、（10,0）、（0,6）.

将8、C的坐标代入y=o?+c,得：

linnn，解得：a=-c=6.

抛物线的表达式是y=-募^+6（-IOWXWIO）；

在尸一磊i2+6（-10W尤W10）中，令x=5得丫=-噂x52+6=4.5,

支柱MN的长度是8-4.5=3.5（米）；

故答案为：3.5.

15.（3分）已知二次函数yuo？+Bx+c（aWO）的图象经过点（1,2）,且与x轴分别交于

（xi,0）,（X2,0）,其中-IVxiVO,IV%2V2,下列结论：®a-b+c>0；®2a+b<0；

③6>1；④点M（加，yi）,N（m+L*）在此函数图象上，当机时，yi<yi,其中正

确的有②③.（只填序号）

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系

数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可.

【解答】解：•..二次函数y=a?+bx+c（aWO）的图象经过点（1,2）,且与x轴分别交

于（XI,0）,（X2,0）,其中-1<X2<2,

•••抛物线开口向下，当X=-1时，y=«-b+c<Q,故①错误；

•..对称轴在0〜1之间，于是有0V—又。<0,所以2a+6<0,故②正确；

当x=-l时，y—a-b+c<0,当x=l时，y—a+b+c—2,所以-2b<-2,即b>l,故

③正确；

h

:抛物线开口向下，对称轴满足0V—6VI，点、M(m,yi),N(m+1,>2)在此函数

图象上，

1

...当机时，点Af(m,yi)到对称轴的距禺小于点N(机+1,”)到对称轴的距禺，

；.yi>y2,故④错误；

综上所述，正确的结论有：②③，

故答案为：②③.

16.(3分)如图，等边三角形ABC的边长为2遮，点。、E分别是边BC、AC的动点，且

AE=CD,连接A。、BE交于点F,G为AC的中点，连接FG,则线段FG长的最小值为

V7-2.

【分析】先证明△ABE四△CA。(SAS),有可知NAE3=120°,故F

的轨迹是以A8为弦，圆心角为120°(ZAOB)的一段弧，设圆心为。，过。作

AB于H,可得OA=2=OF,由/OA8+/BAC=90°,可得OG=y/OA2+AG2=V7,

当。，F,G共线时，FG最小，此时FG=OG-。尸=V7-2.

【解答】解：：△ABC是等边三角形，

：.ZBAE^6Q°=NC,AB=AC,

'：AE^CD,

:.AABE2ACA。(SAS),

：.ZABE^ZCAD,

,：ZCAD+ZBAD=6Q°,

AZABE+ZBAD=60°,

/.ZAFB=120°,

・•・尸的轨迹是以AB为弦，圆心角为120°（NA03）的一段弧，设圆心为O,

过。作0H_LA3于"，如图：

VZAOB=120°,OA=OB,

：.ZOAB=30°,

•「OHLAB,

：.AH=^AB=V3,

,nA—A"——?

cos30°-Z,

O尸=04=2,

VZOAB+ZBAC=90°,

0G=y/OA2+AG2=(22+(V3)2=中,

当。，F,G共线时，FG最小，此时/G=OG-。尸=夕一2,

故答案为：V7-2.

A

三.解答题（共8小题，共72分）

17.（8分）已知3,f是方程2/+2mx-3%=0的两个实数根，求机及r的值.

【分析】利用根与系数的关系可以得到关于机、，的方程组，解方程组即可求解.

【解答】解：•.,3,t是方程2/+2/WL3机=0的两个实数根，

（3+t=­m

•»Tn~~~6,/=3.

18.（8分）AB、CD是O。的弦，OC,OD分别交AB于点E、F,且OE=OF.求证：ACBD.

【分析】过点。作OGLAB于点G,延长OG与。。交于X.先由等腰三角形三线合一

的性质得出NEOG=NFOG,利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知丽=附；然后根

据垂径定理可知初=BH-,最后根据图形易证得结论.

【解答】证明：过点。作0GJ_A8于点G,延长OG与。。交于

'：OE=OF,OGJ_Ef"于点G,

：.ZEOG=ZFOG,

：.CH=DH.

又：0G_LA8于点G,

：.AH=BH,

：.AH-CHBH-DH,

19.（8分）在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全

相同），其中白球2个，红球、黄球各1个.

1

（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是一；

-2-

（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分.甲同学随机从纸盒中一次

摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率.

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：(1)球，事件“摸到白球”的概率是2=

42

1

故答案为：二；

(2)画树状图如下：

U

白白红黄

八/NA\A\

白红黄白红黄白自普白自红

共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，

82

，甲同学至少得4分的概率为一=

123

20.(8分)如图，是。。的直径，点C、。在。。上，BC平分/AB。，E是弧A8的中

点，连接DE交8c于尸.

(1)求证：CD=CF；

(2)若BP=2,EF=5CL求CP的长.

E

【分析】(1)如图，连接A。，OE.证明/COpn/CFD,可得结论；

(2)连接AC,BE.证明尸=5近，AC^CF,利用参数构建方程求解.

【解答】(1)证明：如图，连接AD,OE.

是弧AB的中点，OE是半径，

：.OE±AB,

；./AOE=/BOE=90°,

11

ZADE=iZAOE=45°,ZEDB=^ZEOB=45°,

TBC平分NASD,

/ABC=NCBD,

・.,ZADC=ZABCf

：.ZADC=ZCBD,

,/ZCDF=ZADC+ZADE,ZCFD=ZEDB+ZCBD,

：.ZCDF=ZCFD,

：.CD=CF；

(2)解：连接AC,BE.

•；NCDF=NCFD,NCDF=NEBF,ZCFD^ZEFB,

：./EBF=ZEFB,

：.BE=EF=5^2,

•：AE=BE,OE是半径，

：.EO1AB,

：.OB=OE=5,

,//ABC=NCBD,

：.AC=CD,

J.AC^CD^CF,

设AC=CP=/w,

在RtZXABC中，AB2=AC2+BC2,

1O2=7772+(m+2)2,

tr^+lm-48=0,

解得，m=6(负根已经舍去)，

:.CF=6.

21.（8分）如图，在6X6的正方形网格中，A,B,C为。。与网格线的交点，其中8,C

为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

（1）在图1中，先画出圆心O,再在。。上画点。，AD1AB；

（2）在图2中，先画苑的中点E,再画弦AF=8C.

【分析】（1）根据垂径定理，作弦和CQ的垂直平分线和G〃，和GH交于

点。，点。即为所求，过点8作。。的直径80交。。于点。，连接AD,点

D即为所求；

（2）根据垂径定理，作弦AB的垂直平分线EG,EG交于点、E,点E即为所求，过

点A作。。的弦A尸交。。于点尸，A尸心4,BC=4,即AF=8C,弦AF即为所求.

【解答】解：（1）如图，点。，。即为所求；

(

图1

（2）如图，点E即为所求，弦即为所求.

2

22.（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每

件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的

售价上涨x元（尤为正整数），每个月的销售利润为y元，

(1)求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

(3)若在销售过程中每一件商品有a(a>2)元的其他费用，商家发现当售价每件不低

于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围.

【分析】(1)由题意得：y—(210-10x)(50+尤-40),即可求解；

(2)由(1)中的y与无的解析式配方得：y=-10(x-5.5)2+2402.5,即可求解；

(3)由题意得：y=(210-10尤)(50+尤-40-a)=-10(x-21)(x+10-a),函数的

对称轴为直线(11+a),即可求解.

【解答】解：(1)由题意得：

y=(210-10x)(50+x-40)

=-10?+110x+2100(0〈xW15且尤为整数)；

(2)由(1)中的y与元的解析式配方得：y=-10(x-5.5)2+2402.5,

•.,〃=-10<0,

・,•当％=5.5时，y有最大值2402.5,

V0<x^l5,且次为整数，

当x=5时，50+x=55,y=2400(元)，

当x=6时，50+x=56,y=2400(元)，

・••当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

(3)由题意得：尸(210-10x)(50+x-40-a)=-10(x-21)(x+10-a)=-10?+

(110+10a)x+(2100-210a),

函数的对称轴为直线(21-10+fl),

ll+ct

由题意知-----<7.5,

2

解得a<4,

故：a的取值范围为2<a<4.

23.(10分)在菱形ABC。中，ZABC=60°

(1)如图1,尸是边80延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE,连接BE、CE.

①求证：CELAD-,

②若48=板，BE=V19,求AE的长；

(2)如图2,P是边C。上一点，点。关于AP的对称点为E,连接并延长交AP的

延长线于点R连接。E、DF.若BE=1LDE=5,求△AD尸的面积.

图1图2

【分析】(1)①证△AOC和△ABC是等边三角形，再证△血!「以△CAE,推出NACE=

30°,由NACE+NC4£)=90°即可证明结论；

②如图1,设AC与8。交于点O,证/BCE=90°,由勾股定理求出CE,8尸的长，由

锐角三角函数等分别求出04。尸的长，由勾股定理即可求出AP的长，即AE的长；

(2)如图2,连接AE,过点A作AH_L8尸于点H,证/"AF=*/B4D=60°,再证△

。£产为等边三角形，即可求出“RA”的长，进一步求出的面积，证△AOFgA

AEF即可.

【解答】(1)①证明：在菱形A3CD中，ZABC=60°,

ZADC=60°,^.AB=BC=DA=DC,

：.△ADC和AABC是等边三角形,

：.AB=AC,ZBAC=ZCAD=60°,

又•:△APE是等边三角形，

：.AE^AP,ZEAP=6Q°,

：.ZBAC+ZCAP=ZPAE+ZCAP,

即/BAP=/CAE,

.,.△A4P丝△CAE(SAS),

1

・•・ZACE=ZABP=^ZABC=30°,

VZCAD=60°,

AZACE+ZCAD^90°,

：.CE1AD；

②解：如图1,设AC与8。交于点。，

由①知，ZAC£=30°,且NACB=60°,

AZACE+ZACB^ZBCE^90°,

•.•在Rt^BCE中，BC=AB=V3,BE=V19,

CE='BE?-BC2=4,

由①知，△BAPgZkCAE,

：.BP=CE=4,

在RtZ\80C中，ZACB=60°,

：.BO=^-BC^l，CO=AO=^BC=孚，

：.OP=BP-BO=^,

...在RtZkAOP中，

AP=yjAO2+OP2-］（苧尸+（务2=y/7,

：.AE=AP=V7；

（2）解：如图2,连接AE,过点A作AHLBE于点H,

,/点D关于AP的对称点为E,

：.AP垂直平分DE,

C.AD^AE,FD=FE,

11

ZEAF=ZDAF=^ZEADfNDFA=ZEFA=寺/DFE,

又「在菱形ABC。中，AB=AD,

：.AB=AE,

・,・AH垂直平分BE,

：.EH=BH=^BE=¥，ZBAH=ZEAH=*NBAE,

1

ZHAF=ZEAH+ZEAF=^ZBAD,

VZABC=60°,

.*.ZBAZ)=180o-ZABC=120°,

：.ZHAF=60°,

：.ZAFH=90°-ZHAF=30°,

:・/DFE=60°,

•••△OE尸为等边三角形，

：.EF=DE=5,

1121

：.HF=HE+EF=甘+5=2，

在RtZXAH尸中，ZAFH=30°,

：.AH=,HF=竽，

:.SAAEF=^EF'AH=Jx5x学=

ZZZ4

*：AD=