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文档简介
广西贵港市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-03解答题
一.分式的化简求值(共1小题)
1.(2020•贵港)(1)计算:|五-2|+(3-IT)0-V12+6COS30O;
(2)先化简再求值一I—・二一,其中〃?=-5.
-3m-9
二.解分式方程(共1小题)
2.(2021•贵港)⑴计算:圾+(兀+2)。+(_1产21-2cos45°;
(2)解分式方程:江2+11-.
x-22-x
三.分式方程的应用(共2小题)
3.(2022•贵港)为了加强学生的体育锻炼,某班计划购买部分绳子和实心球.已知每条绳
子的价格比每个实心球的价格少23元,且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的
数量相同.
(1)绳子和实心球的单价各是多少元?
(2)如果本次购买的总费用为510元,且购买绳子的数量是实心球数量的3倍,那么购
买绳子和实心球的数量各是多少?
4.(2020•贵港)在今年新冠肺炎防疫工作中,某公司购买了4、8两种不同型号的口罩,
已知A型口罩的单价比8型口罩的单价多1.5元,且用8000元购买A型口罩的数量与用
5000元购买B型口罩的数量相同.
(1)A、8两种型号口罩的单价各是多少元?
(2)根据疫情发展情况,该公司还需要增加购买一些口罩,增加购买B型口罩数量是A
型口罩数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买A型口罩的数量最多是多少个?
四.一元一次不等式组的应用(共1小题)
5.(2021•贵港)某公司需将一批材料运往工厂,计划租用甲、乙两种型号的货车,在每辆
货车都满载的情况下,若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料;若租
用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料.
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料?
(2)经初步估算,公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型
号的货车共70辆,且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍,该公司一次性将这批
材料运往工厂共有哪几种租车方案?
五.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)
6.(2022•贵港)如图,直线A8与反比例函数>=区(k>0,x>0)的图象相交于点A和点
C(3,2),与x轴的正半轴相交于点B.
(1)求上的值;
(2)连接04,OC,若点C为线段A8的中点,求△AOC的面积.
B\I
7.(2021•贵港)如图,一次函数产九+2的图象与反比例函数产区的图象相交,其中一个
X
交点的横坐标是1.
(1)求k的值;
(2)若将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度,平移后所得到的图象与反比
例函数y=K的图象相交于A,B两点,求此时线段AB的长.
8.(202()•贵港)如图,双曲线yi=Ka为常数,且H0)与直线)2=2%+方交于A(1,m)
和B(」〃,〃+2)两点.
2
(1)求Z,m的值;
(2)当x>0时•,试比较函数值yi与”的大小.
9.(2022•贵港)如图,已知抛物线y=-/+6x+c经过A(0,3)和B(工,-1)两点,
24
直线48与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,轴交48
于点D.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若PE〃x轴交AB于点E,求尸。+PE的最大值;
(3)若以4P,。为顶点的三角形与AAOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,
10.(2021•贵港)如图,己知抛物线y=o?+fev+c与x轴相交于A(-3,0),B两点,与y
轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=-l,连接AC.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若过点B的直线/与抛物线相交于另一点。,当NABD=NBAC时,求直线/的表
达式;
(3)在(2)的条件下,当点。在x轴下方时,连接AD,此时在y轴左侧的抛物线上存
在点P,使SABOP=3SZXABD.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
2
11.(2020•贵港)如图,已知抛物线尸工与x轴相交于A(-6,0),B(L0),
2
与了轴相交于点C,直线/LAC,垂足为C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为求点。的坐标;
(3)设动点尸",")在该抛物线上,当NB4c=45°时,求机的值.
七.三角形综合题(共1小题)
12.(2022•贵港)已知:点C,。均在直线/的上方,AC与都是直线/的垂线段,且
BO在AC的右侧,BD=2AC,A£>与8c相交于点O.
(1)如图1,若连接CD,则△BCO的形状为,3Q的值为;
AD
(2)若将BO沿直线/平移,并以AO为一边在直线/的上方作等边△4OE.
①如图2,当AE与AC重合时,连接。E,若AC=§,求OE的长;
2
②如图3,当NAC8=60°时,连接EC并延长交直线/于点凡连接OF.求证:OFJ_
AB.
13.(2020•贵港)己知:在矩形ABC。中,AB=6,AD=2娓,P是BC边上的一个动点,
将矩形A8C。折叠,使点A与点P重合,点£>落在点G处,折痕为EF.
(1)如图1,当点尸与点C重合时,则线段EB=,EF=
(2)如图2,当点尸与点B,C均不重合时,取EF的中点O,连接并延长PO与G尸的
延长线交于点“,连接PF,ME,MA.
①求证:四边形MEPF是平行四边形;
②当tanNMA£>=工时,求四边形MEPF的面积.
3
图1图2
九.切线的判定与性质(共2小题)
14.(2021•贵港)如图,。。是△ABC的外接圆,AO是。。的直径,尸是AO延长线上一
点,连接CO,CF,且NQCF=NCAO.
(1)求证:CF是。。的切线;
(2)若COSB=3,AD=2,求FQ的长.
5
15.(2020•贵港)如图,在△ABC中,AB=AC,点。在8c边上,KAD=BD,。。是△
AC。的外接圆,AE是。。的直径.
(1)求证:AB是。。的切线;
(2)若AB=2娓,A£>=3,求直径AE的长.
一十.作图一基本作图(共1小题)
16.(2022•贵港)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知线段,w,n.求作△ABC,使NA=90°,AB^m,BC=n.
Im।
I_________2__________I
一十一.作图-旋转变换(共1小题)
17.(2020•贵港)如图,在平面直角坐标系中,已知AABC三个顶点的坐标分别为A(l,4),
B(4,1),C(4,3).
(1)画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点。顺时针旋转90°得到的AA282c2.
18.(2021•贵港)已知在△4BC中,。为BC边的中点,连接AO,将△AOC绕点。顺时针
方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF.
(1)如图1,当/B4C=90°且AB=AC时,则AE与CF满足的数量关系是;
(2)如图2,当N8AC=90°且AB#4c时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请
写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,延长A0到点。,使。£>=0A,连接。E,当A0=CF=5,8c=6时,求
OE的长.
一十三.相似三角形的判定与性质(共1小题)
19.(2022•贵港)如图,在△ABC中,ZACB=90°,点。是A8边的中点,点。在AC边
上,。。经过点C且与AB边相切于点E,ZFAC=1ZBDC.
2
(1)求证:AF是的切线;
(2)若BC=6,sin8=_l,求。0的半径及。。的长.
5
20.(2021•贵港)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知△ABC,且
AB>AC.
(1)在AB边上求作点£>,使DB=DC;
(2)在AC边上求作点E,使△A£)£'S/\ACB.
BC
一十五.特殊角的三角函数值(共1小题)
21.(2022•贵港)(1)计算:|1-V3I+(2022-n)°+(-A)^-tanbO0;
2
<2x-5<0,①
(2)解不等式组:|2X-4/5-XG
o乙
一十六.条形统计图(共2小题)
22.(2022•贵港)在贯彻落实“五育并举”的工作中,某校开设了五个社团活动:传统国学
(A)、科技兴趣(8)、民族体育(C)、艺术鉴赏(D)、劳技实践(E),每个学生每个学
期只参加一个社团活动.为了了解本学期学生参加社团活动的情况,学校随机抽取了若
干名学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图.请根据统计图提
供的信息,解答下列问题:
条形统计图扇形统计图
(1)本次调查的学生共有人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,传统国学(A)对应扇形的圆心角度数是;
(4)若该校有2700名学生,请估算本学期参加艺术鉴赏(。)活动的学生人数.
23.(2020•贵港)某校对九年级学生进行“综合素质”评价,评价的结果分为A(优秀)、B
(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级,现从中随机抽查了若干名学生的“综合素
质”等级作为样本进行数据处理,并绘制以下两幅不完整的统计图.请根据统计图提供
的信息,解答下列问题:
(1)B(良好)等级人数所占百分比是;
(2)在扇形统计图中,C(合格)等级所在扇形的圆心角度数是;
(3)请补充完整条形统计图;
(4)若该校九年级学生共1000名,请根据以上调查结果估算:评价结果为A(优秀)
等级或2(良好)等级的学生共有多少名?
一十七.列表法与树状图法(共1小题)
24.(2021•贵港)某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况,在5月份某天
随机抽取了若干名学生进行调查,调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过
100分钟,现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息,
解答下列问题:
组别锻炼时间频数(人)百分比
(分)
A0WxW201220%
B20<xWa35%
40
C40cxW18b
60
D60cxW610%
80
E80VxW35%
100
(1)本次调查的样本容量是;表中a=,h=;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)已知E组有2名男生和1名女生,从中随机抽取两名学生,恰好抽到1名男生和1
名女生的概率是;
(4)若该校学生共有2200人,请根据以上调查结果估计:该校每天课后进行体育锻炼
参考答案与试题解析
分式的化简求值(共1小题)
1.(2020•贵港)(1)计算:卜m-2|+(3-re)°-V12+6cos30q;
(2)先化简再求值一—4--2其中-5.
-3m-9
【解答】解:(1)原式=2-y+1-2愿+6X亚
2
=2-73+1-273+373
=3;
(2)―—4--2-.
-3m-9
=1•(m+3)(nr3)
m(m-3)2
_m+3
2m
当机=-5时,原式=-5+3=工
2X(-5)5
二.解分式方程(共1小题)
2.(2021•贵港)(1)计算:悯+(冗+2)。+(-]严1-2cos45。;
(2)解分式方程:三3+13_.
x-22-x
【解答】解:(1)原式=2&+1-1-2X返
2
=272+1-1-V2
=近;
(2)整理,得:三工+1=_工,
x-2x~2
方程两边同时乘以(x-2),得:x-3+x-2=-3,
解得:x—\,
检验:当x=l时,x-2^0,
:.x=\是原分式方程的解.
三.分式方程的应用(共2小题)
3.(2022•贵港)为了加强学生的体育锻炼,某班计划购买部分绳子和实心球.已知每条绳
子的价格比每个实心球的价格少23元,且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的
数量相同.
(1)绳子和实心球的单价各是多少元?
(2)如果本次购买的总费用为510元,且购买绳子的数量是实心球数量的3倍,那么购
买绳子和实心球的数量各是多少?
【解答】解:(1)设绳子的单价为x元,则实心球的单价为(x+23)元,
根据题意,得空
xx+23
解得X—1,
经检验可知x=7是所列分式方程的解,且满足实际意义,
."23=30,
答:绳子的单价为7元,实心球的单价为30元.
(2)设购买实心球的数量为m个,则购买绳子的数量为3〃7条,
根据题意,得7X3〃?+30〃?=510,
解得"?=10,
二3根=30,
答:购买绳子的数量为30条,购买实心球的数量为10个.
4.(2020•贵港)在今年新冠肺炎防疫工作中,某公司购买了A、8两种不同型号的口罩,
已知A型口罩的单价比8型口罩的单价多1.5元,且用8000元购买4型口罩的数量与用
5000元购买3型口罩的数量相同.
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少元?
(2)根据疫情发展情况,该公司还需要增加购买一些口罩,增加购买B型口罩数量是A
型口罩数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买A型口罩的数量最多是多少个?
【解答】解:(1)设A型口罩的单价为x元,则B型口罩的单价为(x-1.5)元,
根据题意,得:8000.=5000
xx-l.5
解方程,得:x=4.
经检验:x=4是原方程的根,且符合题意.
所以x-1.5=25
答:A型口罩的单价为4元,则B型口罩的单价为2.5元;
(2)设增加购买A型口罩的数量是根个,
根据题意,得:2.5X2/n+4,W3800.
解不等式,得:mW422Z.
9
因为根为正整数,所以正整数机的最大值为422.
答:增加购买A型口罩的数量最多是422个.
四.一元一次不等式组的应用(共1小题)
5.(2021•贵港)某公司需将一批材料运往工厂,计划租用甲、乙两种型号的货车,在每辆
货车都满载的情况下,若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料;若租
用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料.
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料?
(2)经初步估算,公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型
号的货车共70辆,且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍,该公司一次性将这批
材料运往工厂共有哪几种租车方案?
【解答】解:(1)设甲型货车每辆可装载x箱材料,乙型货车每辆可装载y箱材料,
依题意得:俨x+50y=1500,
l20x+60y=1400
解得:卜=25.
ly=15
答:甲型货车每辆可装载25箱材料,乙型货车每辆可装载15箱材料•.
(2)设租用,/辆甲型货车,则租用(70-,〃)辆乙型货车,
依题意得:(25m+15(70-m)<1245,
I70-m43m
解得:
22
又;,"为整数,
二根可以取18,19,
,该公司共有2种租车方案,
方案1:租用18辆甲型货车,52辆乙型货车;
方案2:租用19辆甲型货车,51辆乙型货车.
五.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)
6.(2022•贵港)如图,直线A8与反比例函数>=区(X>0,x>0)的图象相交于点A和点
X
C(3,2),与无轴的正半轴相交于点艮
(1)求R的值;
(2)连接OA,OC,若点C为线段AB的中点,求aAOC的面积.
【解答】解:(1)•••点C(3,2)在反比例函数),=K的图象上,
X
,K=2,
3
解得:&=6;
(2)・・,点C(3,2)是线段A8的中点,
・••点A的纵坐标为4,
.♦.点A的横坐标为:旦=旦,
42
...点A的坐标为(旦,4),
2
设直线AC的解析式为:y=ax+b,
r2
则付+b=4,
3a+b=2
解得:a-T.
b=6
直线4c的解析式为:),=-殳计6,
3
当y=0时,x="|",
08=9,
2
•.•点C是线段AB的中点,
S^,AOC=工SMOB=—XX9X4=—.
22222
7.(2021•贵港)如图,一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=K的图象相交,其中一个
交点的横坐标是1.
(1)求R的值;
(2)若将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度,平移后所得到的图象与反比
例函数y=K的图象相交于A,8两点,求此时线段4B的长.
【解答】解:(1)将x=l代入y=x+2=3,
二交点的坐标为(1,3),
将(1,3)代入y=K,
解得:氏=1X3=3;
(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度得到y=x-2,
y=x-2
由《3,
y=
X
解得:fx=3或卜=-1,
Iy=lly=-3
(-1,-3),B(3,1),
AB=7(3+l)2+(l+3)2=4版.
8.(2020•贵港)如图,双曲线为常数,且20)与直线*=2%+6交于A(1,m)
X
和B(X?,H+2)两点.
2
(1)求匕m的值;
(2)当x>0时,试比较函数值yi与”的大小.
【解答】解:(1)•・•点8(工〃,〃+2)在直线"=标+》上,
2
:.〃+2=2X上〃+匕,
2
:.b=2,
・・・直线”=2什2,
•・•点A(1,“)在直线”=2x+2上,
,加=2+2=4,
・・・A(1,4),
•.•双曲线yi=K(A为常数,且2/0)与直线”=2x+b交于A(1,4),
x
.•.Z=1X4=4;
(2)由图象可知,当OVxVl时,y\>y2;
当尤=1时,yi="=4;
当x>\时,y\<y2.
六.二次函数综合题(共3小题)
9.(2022•贵港)如图,已知抛物线y=-7+灰+。经过A(0,3)和B(工,-9)两点,
24
直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,POJ_x轴交AB
于点D.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若PE〃尤轴交AB于点£,求PD+PE的最大值;
(3)若以4,P,。为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,
点D的坐标.
【解答】解:(1)将A(0,3)和8(工,-2)代入y=-/+以+c,
24
解得产2,
1c=3
该抛物线的解析式为y=-f+2x+3:
(2)设直线48的解析式为尸乙+〃,把A(0,3)和B(X-2)代入,
'n=3
.7,9,
L
解得{2,
n=3
...直线AB的解析式为y=-m+3,
2
当y=0时,-■1x+3=0,
解得:x=2,
,C点坐标为(2,0),
:PQ_Lx轴,PE〃x轴,
NACO=NDEP,
:.RtADPE^RtA4OC,
;PD_0A_3,
♦■荻为
:.PE=^PD,
3
:.PD+PE=^-PD,
3
设点P的坐标为(。,-J+2a+3),则。点坐标为(“,-2+3),
2
:.PD=(-a2+2a+3)-(-线+3)=-(a-Z)2+,^.,
2416
2
:.PD+PE=-A(a-工)+^15r
3448
:-Svo,
3
.♦.当“=工时,PO+PE有最大值为2/;
448
(3)①当△AOCS/\AP。时,
:PO_Lx轴,ZDPA=90Q,
.•.点P纵坐标是3,横坐标x>0,
即-/+2x+3=3,解得x=2,
.•.点。的坐标为(2,0);
:PO_Lx轴,
.♦.点尸的横坐标为2,
...点P的纵坐标为:y=-22+2X2+3=3,
...点P的坐标为(2,3),点。的坐标为(2,0);
②当△AOCs/^DAP时,
此时NAPG=NAC。,
过点A作AGLPQ于点G,
/XAPG^^ACO,
.PG0C
"AG"AO,
设点尸的坐标为(m,-/n2+2/??+3),则。点坐标为(m,-3m+3),
2
9
pii]-m+2m+3-3_2_t
m3
解得:
3
二。点坐标为(4,1),P点坐标为(刍,至),
339
综上,点尸的坐标为(2,3),点。的坐标为(2,0)或尸点坐标为(匹,翌),。点
39
坐标为(X1).
3
10.(2021•贵港)如图,已知抛物线y=o?+版+c与x轴相交于A(-3,0),8两点,与y
轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=-1,连接AC.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若过点B的直线/与抛物线相交于另一点。,当/ABO=NBAC时,求直线/的表
达式;
(3)在(2)的条件下,当点。在x轴下方时,连接A。,此时在y轴左侧的抛物线上存
在点P,使SMDP=3SMBD.请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.
2
【解答】解:(1)•••抛物线的对称轴为x=-1,
-1,
2a
•**Z?=2。,
•・•点C的坐标为(0,2),
Ac=2,
抛物线的解析式为y=o?+2or+2,
•.•点A(-3,0)在抛物线上,
9a-6。+2=0,
:.a=一-,
3
:・b=2a=-―,
3
...抛物线的解析式为产-2/-刍+2;
33
(2)I、当点。在x轴上方时,如图1,
记BD与AC的交点为点E,
ZABD=ZBAC,
:.AE=BE,
•.•直线x=-1垂直平分A8,
...点E在直线x=-1上,
,点A(-3,0),C(0,2),
直线AC的解析式为尸学+2,
当x=-1时,y=—,
-3
...点E(-1,-1),
3
•.•点A(-3,0)点B关于x=-1对称,
:.B(1,0),
二直线BD的解析式为产-2r+2,
33
即直线/的解析式为v=-
33
II、当点。在x轴下方时,如图2,
•:ZABD=ABAC,
:.BD//AC,
由I知,直线AC的解析式为y=Zr+2,
3
直线BD的解析式为y=2r-2,
33
即直线/的解析式为y=2r-2;
33
综上,直线/的解析式为y=-2r+2或y=4-2:
3333
(3)由(2)知,直线8。的解析式为y=2x-2①,
33
;抛物线的解析式为y=-&2-&+2②,
33
或M
Iy=0y=-
:.D(-4,-12),
3
SMBD=LB•卜,D|=』x4x12=型,
2233
o
S^BDP=-^SMBD,
2
,SA8DP=3X&L=IO,
23
;点尸在y轴左侧的抛物线上,
,设P(«/>--生”+2)(/n<0),
33
过P作y轴的平行线交直线BD于F,
.'.F(〃2,—m-―),
33
PF=\-2m2-至"+2-(Z”-2)|=|2相2+2加_马,
333333
S&BDP=LPF・(XB-XD)=Ax\lm2+2m-岂|X5=10,
2233
".m=-5或m=2(舍)或m=-1或m=-2,
:.P(-5,-8)或(-1,四)或(-2,2).
x=-l
11.(2020•贵港)如图,已知抛物线y=M+&c+c与x轴相交于A(-6,0),B(1,0),
2
与y轴相交于点C,直线/L4C,垂足为C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为£>,求点。的坐标;
(3)设动点PCm,〃)在该抛物线上,当NB4C=45°时,求机的值.
0节X36-6b+c(_5_
【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得《1,解得.b节,
05+b+cc=-3
故抛物线的表达式为>'=-V+-1r-3①;
(2)过点。作。轴于点E,
而直线/_LAC,AO_Ly轴,
/.ZCDE+ZDCE=90°,ZDCE+ZOCA=90",
:.ZCDE=ZOCA,
;/AOC=/CBD=90°,
:.t\CEDs/\&oc,则述
0CAO
而点A、C的坐标分别为(-6,0)、(0,-3),则AO=6,OC=3,设点。(x,工2+刍
22
-3),
贝IJDE=-x,CE=-L2-Sx,
22
125
—x—X
则二二=二--------,解得x=0(舍去)或-1,
36
当x=-1时,丫=-1^+鸟-3=-5,
.22
故点D的坐标为(-1,-5);
(3)①当点P在入轴的上方时,
由点C、。的坐标得,直线/的表达式为),=2x-3,
延长4p交直线/于点M,设点MS2f-3),
VZMC=45°,直线以4C,
...△ACM为等腰直角三角形,贝ijAC=CM,
则6?+32=(z-0)2+(2r-3+3)2,解得f=3,
故点用的坐标为(3,3),
由点A、M的坐标得,直线AM的表达式为>=1+2②,
3
联立①②并解得'=-6(舍去)或包,
3
故点P的横坐标〃?=§;
3
②当点P在x轴的下方时,
同理可得》=-6(舍去)或x=-5,
故m--5,
综上,m=-5或5.
3
七.三角形综合题(共1小题)
12.(2022•贵港)已知:点C,。均在直线/的上方,AC与都是直线/的垂线段,且
8。在AC的右侧,BD=2AC,A。与BC相交于点。.
(1)如图1,若连接CD,则△BCD的形状为等腰三角形,四•的值为1:
AD-3-
(2)若将BO沿直线/平移,并以AZ)为一边在直线/的上方作等边△AOE.
①如图2,当AE与AC重合时,连接OE,若AC=2,求OE的长;
2
②如图3,当NAC8=60°时,连接EC并延长交直线/于点凡连接OE.求证:0尸_1_
AB.
过点C作CH1.BD于H,
":ACLl,DBLl,CHLBD,
:.NCAB=NABD=NCHB=9Q°,
四边形AB”C是矩形,
:.AC=BH,
又:BD=2AC,
:.AC=BH=DH,KCHVBD,
,△BCD的形状为等腰三角形,
;AC、8。都垂直于/,
:./\AOC^/\BOD,
...也走_」,gpD0=2A0,
DODB2
•A。=AO=1
"AD=AO+DO
故答案为:等腰三角形,1;
3
(2)①如图2,过点E作于点H,
E
AB
佟b
VAC,8。均是直线/的垂线段,
:.AC//BD,
•.•△AOE是等边三角形,且AE与4c重合,
:.ZEAD=60c,,
.,./4£>B=NEAD=60°,
:.ZBAD=30°,
...在RtZ\4DB中,AD=2BD,AB=MBD,
又;BD=2AC,AC=3,
2
:.AD=6,A8=3禽,
:.AH=DH^X\D=3,A0=LD=2,
23
0H=1,
由旋转性质可得EH=AB=3M,
在RtZXEOH中,OE=2A/7;
②如图3,连接CQ,
E
'JAC//BD,
.•.NCBO=NACB=60°,
:△BCD是等腰三角形,
...△BCD是等边三角形,
又,**/S.ADE是等边三角形,
・,.AABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECQ重合,
:.ZECD=ZABD=90°,
又,../BCOnNACB=60°,
/4CF=/FCB=ZFBC=30°,
:.FC=FB=2AF,
•AFAO1
,,瓦石节,
又尸=ND4B,
:./\AOF^/\ADB,
...NAFO=NA8O=90°,
OFLAB.
八.四边形综合题(共1小题)
13.(2020•贵港)已知:在矩形ABCQ中,AB=6,AD=2M,P是BC边上的一个动点,
将矩形A8C。折叠,使点A与点尸重合,点。落在点G处,折痕为E尸.
(1)如图1,当点尸与点C重合时,则线段EB=2,EF=4;
(2)如图2,当点P与点B,C均不重合时,取EF的中点。,连接并延长P。与GF的
延长线交于点M,连接PF,ME,MA.
①求证:四边形MEPF是平行四边形;
②当tan/MAD=工时,求四边形MEPF的面积.
3
图1图2
【解答】解:(1)•••将矩形A8CQ折叠,使点A与点尸重合,点。落在点G处,
:.AE=CE,NAEF=/CEF,
:CW=BE^+Bd,
:.(6-BE)2=B£2+12,
;.BE=2,
:.CE=4,
VCOSZCEB=^=A,
CE2
:.ZCEB=60°,
AZAEF=ZFEC=60°,
•:AB//DC,
;・NAEF=NCFE=60°,
**.△CEF是等边三角形,
:.EF=CE=4,
故答案为:214;
(2)①:将矩形ABC。折叠,
J.FG//EP,
:.ZMFO=ZPEO,
:点。是EF的中点,
:.EO=FO,
又,:4E0P=2F0M,
:.丛EOPQXFOM(AAS),
:.FM=PE,
又,:MF〃PE,
四边形MEPF是平行四边形;
②如图2,连接AP交EF于”,
图2
:将矩形ABC。折叠,
:.AE=EP,NAEF=NPEF,NG=/O=90°,AD=PG=2«,
:.EFLPA,PH=AH,
•.•四边形MEPF是平行四边形,
:.MO=OP,
:.MA//EF,
:.ZMAP=ZFHP=90°,
;.NM4P=NZMB=90°,
/MAD=ZPAB,
tanNMAO=tan/=2=里,
3AB
.•.PB=JLA8=」X6=2,
33
,:P修=BE^+BP2,
(6-BE)2=*+%
;.BE=爸,
3
:.PE=6-85=也,
3
,四边形MEPF的面积=PEXPG=」2x3学
3v3
九.切线的判定与性质(共2小题)
14.(2021•贵港)如图,。0是△ABC的外接圆,AD是的直径,尸是4。延长线上一
点,连接CD,CF,且NDCF=NC4D.
(1)求证:CF是。。的切线;
(2)若cos8=旦,AD=2,求F£)的长.
【解答】解:(1)连接OC,
是。。的直径,
AZACD=90Q,
...NADC+/C4O=90°,
又;OC=OO,
ZADC=ZOCD,
又•.,NZ)CF=NCAD
AZDCF+ZOCD=90c,,
即OCVFC,
;.FC是OO的切线;
(2)VZB=ZADC,COSB=3,
5
cosZ/ADC=—,
5
在RtAACD中,
':cosZADC=^.=^-,AD=2,
5AD
.•.C£>=AZ>cos/AOC=2xg=旦,
55
•■-AC=VAD2-CD2^22-(-1)2^-|
...型=旦,
"ACT
':ZFCD=ZFAC,ZF=ZF,
...△FCZJs△以c,
-CD_FC_FD_3
ACFAFC4
设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+2,
又,:FG=FD*FA,
即(4x)2=3X(3x+2),
解得尢=且(取正值),
7
.\FD—3x—^-.
7
15.(2020•贵港)如图,在△4BC中,AB=AC,点D在BC边上,S.AD=BD,。0是4
4c。的外接圆,AE是。0的直径.
(1)求证:AB是。。的切线;
(2)若AB=2巫,AO=3,求直径AE的长.
A
\'AB=AC,AD=BD,
:・/B=/BAD,NB=NC,
:.ZC=ZEf
;・NE=NBAD,
・・・AE是。。的直径,
AZADE=90°,
:.ZE+ZDAE=90°,
・・・NR4Q+ND4E=90°,
即N8AE=90°,
:.AE±AB,
・・・直线A5是。。的切线;
(2)解:如图2,作垂足为点”,
图2
t:AB=AC,
:.BH=CH,
':ZB=ZC=ZBAD,
:.XABCsXDBA,
.ABBC
"BD'AB"
即AB2=BD'BC,
又AB=2«i,BD=AD=3,
;.BC=8,
在RtZ\ABH中,BH=CH=4,
•,M//=VAB2-BH2=V(2V6)2-42=2^>
•:NE=NB,NADE=NAHB,
:./XAEDs丛ABH,
•••A--EZ2--A--D»
ABAH
•收AB-AD
,,AETr
一十.作图一基本作图(共1小题)
16.(2022•贵港)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知线段机,n.求作△48C,使NA=90°,AB=m,BC=n.
।mi
n
【解答】解:如图,AABC为所作.
一'I■"一.作图-旋转变换(共1小题)
17.(2020•贵港)如图,在平面直角坐标系中,己知△ABC三个顶点的坐标分别为4(1,4),
B(4,1),C(4,3).
(1)画出将△ABC向左平移5个单位得到的△AiBiCj;
(2)画出将aABC绕原点。顺时针旋转90°得到的282c2.
【解答】解:(1)如图所示,△AiBiCi即为所求.
一十二.几何变换综合题(共1小题)
18.(2021•贵港)已知在△ABC中,。为BC边的中点,连接AO,将△AOC绕点O顺时针
方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF.
(1)如图1,当/B4C=90°且AB=4C时,则AE与b满足的数量关系是AE=b;
(2)如图2,当NB4C=90°且AB#4c时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请
写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,延长AO到点£>,使OZ)=OA,连接。E,当AO=CF=5,8c=6时,求
OE的长.
图1图2图3
【解答】解:(1)结论:AE=CF.
理由:如图1中,
图1
:A8=AC,N8AC=90°,OC=OB,
:.OA=OC=OB,AOA.BC,
":ZAOC=ZEOF=W,
ZAOE=ZCOF,
\'OA=OC,OE=OF,
A(SAS),
:.AE=CF.
(2)结论成立.
理由:如图2中,
图2
;NBAC=90°,OC=OB,
:.OA=OC=OB,
ZAOC=NEOF,
,ZAOE=ZCOF,
':OA=OC,OE=OF,
.♦.△40E空△COF(SAS),
:.AE=CF.
(3)如图3中,
图3
由旋转的性质可知OE=OA,
":OA=OD,
\OE=OA=OD=5,
\ZAED=90°,
:OA^OE,OC=OF,/AOE=NCOF,
•丝=理
"ocOF
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