函数的最大小值与导数公开课

关于函数的最大小值与导数公开课问题一、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点温故而知新第2页,共16页，2024年2月25日，星期天（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个

根处取极值的情况温故而知新问题二;求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分

成若干个开区间，并列成表格第3页,共16页，2024年2月25日，星期天xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6温故而知新问题三：观察下列图形,找出函数的极值函数y=f(x)的极小值：函数y=f(x)的极大值：第4页,共16页，2024年2月25日，星期天

在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题

函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。新课讲授第5页,共16页，2024年2月25日，星期天学习目标1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的具体过程。3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。重点难点重点：利用导数求函数的最值。难点：准确求函数的最值。第6页,共16页，2024年2月25日，星期天

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.因此：该函数没有最大值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)探究1第7页,共16页，2024年2月25日，星期天xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值？结论:一般的如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。探究2第8页,共16页，2024年2月25日，星期天Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1思考1观察下列图形,找出函数的最值并总结规律图1图3图2连续函数在[a,b]上必有最值；并且在极值点或端点处取到.第9页,共16页，2024年2月25日，星期天观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？

xX2oaX3bx1yy=f(x)思考2追踪练习第10页,共16页，2024年2月25日，星期天

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.方法总结第11页,共16页，2024年2月25日，星期天求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的连续函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).想一想，记一记第12页,共16页，2024年2月25日，星期天4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（)(A)-4(B)0(C)16

(D)

20C学以致用第13页,共16页，2024年2月25日，星期天反思：本题属于逆向探究题型：

其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。能力提升已知函数在[-2,2]上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值第14页,共16页，2024年2月25日，星