湖南省长沙市第二十六中学高一数学理上学期摸底试题含解析

湖南省长沙市第二十六中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（）A.2 B.14 C.2 D.8参考答案：A【分析】由已知可得||，根据数量积公式求解即可．【详解】||．故选：A．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．

2.数列{an}的前n项和为Sn=4n2﹣n+2，则该数列的通项公式为（）A．an=8n+5（n∈N*） B．an=C．an=8n+5（n≥2） D．an=8n+5（n≥1）参考答案：B【考点】数列的函数特性．【分析】Sn=4n2﹣n+2，n=1时，a1=S1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．【解答】解：∵Sn=4n2﹣n+2，∴n=1时，a1=S1=4﹣1+2=5．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n2﹣n+2﹣[4（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=8n﹣5．∴该数列的通项公式为an=（n∈N*）．故选：B．3.在(0,2π)内,使成立的x的取值范围为(

)A. B.C. D.参考答案：B【分析】直接利用三角函数线写出满足不等式的解集即可.【详解】解：在内，画出与对应的三角函数线是MT，OM，如图：

满足在内，使即，所以所求的范围是：，

故选：B.【点睛】本题考查三角函数线解答不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用.注意三角函数线与线段的区别.4.函数的定义域是（

）A．(－3,0]

B．(－3,1]

C.(－∞,－3)∪(－3,0]

D．(－∞,－3)∪(－3,1]参考答案：A由题意得，所以

5.以下六个关系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（）A．1 B．3 C．2 D．4参考答案：A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用．【解答】解：①0∈{0}，正确；②{0}??，正确；③Q指有理数集，故0.3?Q不正确；④0∈N，正确；⑤{a，b}?{b，a}，正确；⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，正确；故选A．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用，注意常见数集的记法与应用．属于基础题．6.△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7.已知向量，若，则实数m=（

）A.2 B. C.-2 D.0参考答案：B【分析】根据向量共线的坐标表示，可求.【详解】由，可得.故选：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.8.已知，其中，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，，则a=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.

10.在各项均为正数的等比数列{an}中，公比，若，，，数列{bn}的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（

）A.8 B.9 C.17 D.8或9参考答案：D【分析】利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.【详解】由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，所以，解得，，，则数列为等差数列，，，，因此，当或时，取最大值，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二次函数，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数，使＞0

，则实数的取值范围是_____________。参考答案：12.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为

。参考答案：略13.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是

．参考答案：略14.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且,则_______.参考答案：60°【分析】根据，结合题中条件即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，由余弦定理可得，所以.故答案为60°【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.15.若是锐角三角形的两内角，则_____（填>或<）。参考答案：

解析：，即，16.正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，则实数k的取值范围为．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】an=2﹣1，可得Sn=，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，利用已知可得：an﹣an﹣1=2．利用等差数列的求和公式可得Sn，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵an=2﹣1，∴Sn=，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵?n∈N*，an＞0，∴an﹣an﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．∴Sn=n+=n2．∴不等式SP+Sq＞kSp+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．17.对于下列命题：①

函数的图象关于点

对称；②

的单调增区间为；③

已知点N、P在所在平面内，且，则N、P依次是的重心、垂心；④

已知向量，且，则三点一定共线。以上命题成立的序号是__________________.参考答案：①③④.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合．（1）若，求；（2）若,求a的取值范围．参考答案：（1），（2）

得19.（1）求值：（2）求证：参考答案：（1）解：原式＝

＝＝（2）证明：略20.已知，求的最小值及最大值。参考答案：解析：

令

则

而对称轴为

当时，；

当时，

说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。21.集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|﹣2≤x≤5}（1）若a=3，求集合（?RP）∩Q；（2）若P?Q，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）将a的值代入集合P中的不等式，确定出P，找出P的补集，求出P补集与Q的交集即可；（2）根据P为Q的子集列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．【解答】解：将a=3代入得：P={x|4≤x≤7}，可得?RP={x|x＜4或x＞7}，∵Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（?RP）∩Q={x|﹣2≤x＜4}；（2）由P?Q，分两种情况考虑：（ⅰ）当P≠?时，根据题意得：，解得：0≤a≤2；（ⅱ）当P=?时，可得2a+1＜a+1，解得：a＜0，综上：实数a的取值范围为（﹣∞，2]．22.已知向量，求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求x的值使与为平行向量.参考答案：（1）5（2）（3）【分析】(1)利用向量坐标运算法