【数学】二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质1.二项式定理：2.通项：3.二项式系数：第(k+1)项4.特殊地：特别注意:项的系数与二项式系数是两个不同的概念复习回顾：探究1.用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.n(a＋b)n的展开式的二项式系数123456追问.通过计算，填表，你发现了什么规律？(a＋b)1(a＋b)2(a＋b)3(a＋b)4(a＋b)5(a＋b)6杨辉三角除此以外还有什么规律呢?杨辉三角

这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．(1)每行两端的数都是1；(2)系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等；(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.(4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.11

121

13311464115101051

1615201561

追问.通过计算，填表，你发现了什么规律？对于

展开式的二项式系数:我们从函数角度分析二项式系数：rf(r)O1235101520456Cnr可看成是以r为自变量的函数

f(r),其定义域是：对于确定的n，我们还可以画出它的图像例如，当n=6时，f(r)=Cnr

(r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图象是右图中的7个离散点．探究2.我们画出n=6时f(r)=Cnr的图象，请你分别画出n=7,8,9时f(r)=Cnr的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律?n=7n=8n=9

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式

得到．f(r)rnO51520110图象的对称轴：通过前面数与形的分析，我们可得二项式系数有以下性质性质1：对称性

性质2.增减性与最大值

性质3.各二项式系数的和这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于例1.求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

思考解：练习解：练习2.(2).在(a＋b)20展开式中,与第五项的系数相同的项是(

).A第15项

B第16项

C第17项

D第18项C练习3(1).若的展开式中的第十项和第十一项的

二项式系数最大，则n=

；例2.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),在展开式中

(1).求二项式系数的和;练习4.(2).各项系数的和;(3).奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4).奇数项的系数和与偶数项的系数和.10241512例3.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

求二项展开式中系数的最值的方法

如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数最大练习5.求出(x－y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；解：(1)二项式系数最大的项为中间两项：练习5.