三角函数一章教案

1.1.1任意角教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法。2、过程与方法通过创设情境，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。3、情感、态度与价值观（1）通过角的概念推广，帮助学生树立运动变化观点；（2）通过知识背景的揭示，引发学生学习兴趣；（3）通过创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识。二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:“旋转”定义角，终边相同的角的表示.三、学法与教学用具学法：回忆，联想，探索，自学，引导教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想（一）创设情境问题1：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”。问题2：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），在跳水比赛中我们经常听到这样的术语“翻腾两周半”；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？逆时针旋转300；顺时针旋转300.在生活中我们常常会遇到下列问题，如（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．（二）探究新知BαBαOA图1角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫角的终边，射线的端点叫做叫角的顶点。注意：这里的角的定义是“动态的”（旋转），与初中角的“静态”定义有区别。2.正角、负角和零角如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常遇到按不同方向旋转而成的角.如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.我们又该如何区分和表示这些角呢?为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。阅读教材：教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.象限角在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。阅读教材：教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.特别提醒:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.练习:（1）(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?直角呢？钝角呢？（2）分别是第几象限角？有终边相同的角吗？4.终边相同的角的表示将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线,以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?我们先来看这样一个问题：今天是星期三那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?探究:不难发现,终边相同的角都相差的整数倍。一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.注意：终边相同的角有无数个，它们不一定相等，它们相差的整数倍；但相等的角终边一定相同。（三）学以致用例1．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角.（注：是指）（1）；（2）；（3）例2.已知角与终边相同，判断第几象限角。思考：已知角与终边相同，判断第几象限角。例3.写出下列角的集合。（1）终边在第二象限上的角；（2）终边在正半轴上的角；（3）终边在负半轴上的角；（4）终边在轴上的角；注意：“”不能丢！60yxO4560yxO45思考1：写出终边在轴上的角的集合；思考2：角是第二象限角，判断第几象限角？（四）巩固深化1．课本P7练习1—3题；2．写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.（五）课堂小结（1）角的概念，正角、负角和零角：学会用运动的观点去理解；（2）象限角与非象限角：（3）终边相同的角的表示：（4）几种特殊的终边相同角的表示：（六）布置作业《课课练》第1课+《导学大课堂》第1课。1.1.2弧度制教学目标：1、知识与技能（1）要求学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度制与角度制互化，熟记特殊角的弧度数。（2）了解角的集合与实数集可以建立起一一对应的关系。（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。2、过程与方法通过创设情境，引入弧度制的意义；师生共同探索弧度制与角度制的互化关系；通过几个特殊角的弧度数加深对弧度制的认识，了解角的集合与实数集可以建立起一一对应的关系；通过已有知识探求弧度制下的弧长公式，并利用弧度制解决某些简单的实际问题。3、情感、态度与价值观（1）通过介绍弧度制的有关历史资料和欧拉的有关事迹，激发学生学习兴趣和积极性，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神。（2）通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。（3）通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。二、教学重、难点重点:理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。难点:弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。三、学法与教学用具学法：在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。教具:多媒体、三角板四、教学设想（一）创设情境情境：在课本本章的引言中提到的“周而复始”的数学模型，我们曾考虑用来表示点，那么之间有怎样的关系？在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念。（二）探究新知1．1弧度的角的定义我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角．如图，弧AB的长等于半径，则弧所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad，读作弧度．ool=rC2rad1radrl=2roAAB在图中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝r，那么∠AOC的弧度数就是rad；如圆心角∠AOB所对的弧长为l，那么∠AOB的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．2．弧度制的定义一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．思考：为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．3．角度制与弧度制的换算现在我们知道：1个周角＝360°＝r，所以，360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝≈57.30°＝57°18’。练习：把下列角用弧度制来表示：度弧度说明：（1）在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．（2）今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad，不必写成45°＝0．785弧度．（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（课本p.8.图）。度0°45°60°180°360°弧度前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。正角正角零角负角正实数零负实数任意角的集合实数集R4.弧度制下的弧长公式、扇形面积公式oorlAB由|α|＝得，弧长公式若，则有圆心角为的扇形的面积公式为说明：可以与三角形的面积公式类比记忆。（三）学以致用例1把下列各角从弧度化为度：（1）eq\f(3,5);(2)3.5解:;3.5=3.5×eq\f(180°,)≈200.54°例2把下列各角从度化为弧度：(1)252°(2)11°15′解：252°＝252×eq\f(,180)=eq\f(7,5)11°15′＝11.25°=11.25×eq\f(,180)=eq\f(,16)例3已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积。例4（1）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。（2）用弧度制分别写出下列影阴左右两部分表示的角的范围。6060yxO45（四）巩固练习课本P.9.练习(五)归纳小结主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数；弧长公式；扇形的面积公式；（六）布置作业《课课练》1.2.1任意角的三角函数(1)一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）能根据定义确定三角函数的定义域；（3）能根据定义函数值在各象限的符号。2、过程与方法⑴初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生通过直角坐标系把这个定义推广到任意角；⑵根据定义，由比值有意义得出各三角函数的定义域；⑶通过讨论比值的符号得出三种函数值在各象限的符号。3、情态与价值⑴进一步体会坐标法的工具性；⑵体会分类思想，培养分析问题和解决问题的能力。二、教学重、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义、定义域和函数值在各象限的符号；难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义的正确理解.三、学法与教学用具学法：通过知识回顾，了解其局限性，从而认识到新定义的必要性；让学生通过自主分析、探究，掌握各三角函数的定义域和符号规律。教学用具:多媒体、三角板。四、教学设想（一）创设情境⑴锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。在直角三角形中，如何定义锐角的正弦、余弦、正切？⑵你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?⑶上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.（二）探求新知1．三角函数的概念：⑴定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么rOrOxyP(x,y)P(x,y)OxMxyry①比值叫做的正弦，记作，即；②比值叫做的余弦，记作，即；③比值叫做的正切，记作，即。⑵说明：①的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合；②根据相似三角形的知识，对于确定的角，这些比值与点在的终边上的位置有无关系？即：对于一个确定的角，这些比值是否唯一确定？易见：无论取何值，比值、唯一确定，所以正弦、余弦都是的函数。思考：比值是否对一切角都有意义？为什么？③正弦、余弦、正切都是以角为自变量、比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。2．三角函数的定义域⑴在引入弧度制后，角的集合和实数集合建立了怎样的对应关系？⑵当我们用弧度表示角时，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数。那么以上三个函数的定义域分别是什么？函数定义域3．三角函数的符号⑴如何确定各三角函数值的符号？⑵根据任意角三角函数的定义,将正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号填入表格中：三角函数符号第一象限第二象限第三象限第四象限（三）学以致用例1．已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值。解：因为，所以，于是；；。思考1：若角的终边为射线，求的正弦、余弦和正切值。思考2：若角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值。思考3：若角的终边经过点，且，求的正弦、正切值。练习：求下列各角的正弦、余弦和正切值：（1）；（2）；（3）．思考：若，则=______,=_______,=_______.例2．确定下列三角函数值的符号:(1);(2);(3);(4)例3．求函数的定义域思考：若，则；若，则；若，则。（四）巩固提高课本第15页练习1～6（五）归纳小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)三角函数的定义域都是一切实数吗？(3)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?它的一般解题步骤怎样？（六）布置作业课课练第3课1.2.1任意角的三角函数（2）一、教学目标：1、知识与技能（1）利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；（2）利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；2、过程与方法通过引入单位圆和有向线段结合三角函数的定义导出正弦、余弦、正切的三角函数值的几何表示--三角函数线；在通过数形结合的方法探讨三角函数线的应用。3、情感、态度与价值观⑴进一步体会数形结合思想在函数研究中的运用；⑵培养分析问题和解决问题的能力。二、教学重、难点重点:三角函数线的应用；难点:对三角函数线的正确理解；三、学法与教学用具学法：自主学习、合作探究、自我感悟教学用具:多媒体、三角板、圆规。四、教学设想（一）创设情境从前面的函数研究发现，我们除了可以从“数”的角度去认识研究函数外，我们还可以从“形”的角度去认识研究函数，那么三角函数是否也是如此呢？我们首先要解决的是三角函数值是否可以用形来表示。下面我们就来研究这个问题。（二）探求新知1.单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段的数量：有向线段的长度前面加上表示方向的符号。3．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.OOxA1yTPMOxA1yTPMOxA1yTPMOxA1yTMP由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，，．我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。（三）学以致用例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）；（2）；（3）；（4）．解：图略。例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：OT1AM1yP1P2MOT1AM1yP1P2M2xT2解：如图可知：tantan例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角(1)sin≥(2)tanxyoTAxyoTA21030xyoP1P230≤≤1503090或210270例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）且．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．思考：求下列函数的定义域：（1）；（2）；（四）巩固提高课本P10练习（五）归纳小结本节课学习了以下内容：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线；3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。（六）布置作业课课练第4课补充：1．利用余弦线比较的大小；2．若，则比较、、的大小；3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：（1）；（2）；（3）．1.2.2同角三角函数的基本关系（1）教学目标：1、知识与技能 （1）能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握三种基本关系式之间的联系；（3）熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。2、过程与方法通过定义导出同角三角函数的基本关系式；通过问题解决掌握三种基本关系式之间的联系；从而初步体验三角恒等式的变换，熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；3、情感、态度与价值观在三角恒等式变换中，体会化归的思想方法；培养思维的灵活性。二、教学重、难点重点:同角三角函数的基本关系式。难点:同角三角函数的基本关系式的变式应用。三、学法与教学用具学法：自主、讨论、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学设想（一）创设情境（复习引入）问题1如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；问题2由于α的三角函数都是由x、y、r表示的，则角α三角函数之间有什么关系？（二）探索新知OxOxP（x,y)cossinyM方案1：由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）平方关系：；（2）商数关系：；方案2：由三角函数的三角函数线(如图)，我们也可以得到上述关系。说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的：；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：，，等。（三）学以致用例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．（2）已知，求．解：（1）∵，∴，又∵是第二象限角，∴，即有，从而，．（2）∵，∴，又∵，∴在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，．总结：（1）已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。（2）解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2．已知为非零实数，用表示．解：∵，，∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而，；当在第二、三象限时，即有，从而，．总结解题的一般步骤：①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；②根据同角三角函数的关系式求值。例3已知，求．解：由等式两边平方：．∴（*），即，可看作方程的两个根，解得．又∵，∴．又由（*）式知因此，．例3已知，求解：将两边平方，得：思考1：若在第二象限呢？若在第四象限呢？结果是什么？思考2：已知，求解：由由联立：（四）课堂巩固课本第18页练习3，4（五）归纳小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。（六）布置作业：《课课练》第5课1.2.2同角三角函数的基本关系（2）一、教学目标：1、知识与技能 根据三角函数关系式进行三角式的化简；能够利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；2、过程与方法灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。3、情感、态度与价值观培养观察、归纳的思维品质，提高数学学习的兴趣。二、教学重、难点重点:运用公式对三角式进行化简和证明。难点:同角三角函数关系式的变形运用。三、学法与教学用具学法：自主、讨论、体验、感悟教具:多媒体四、教学设想（一）创设情境（复习引入）1．同角三角函数的基本关系式。（1）平方关系：；（2）商数关系：；2.已知，求（二）探索新知1.三角函数式的化简：例1化简下列各题：（1）；（2）（3）；（4）解：（1）原式．（2）原式．（3）原式（4）法1：原式=法2：原式=法3：原式=思考：化简答案：x在第一、三象限为4，x在第二、四象限为-4说明：(1)利用同角三角函数关系式去掉根号是解题的关键，也是解此类题的入手之处。(2)化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：①所含三角函数的种类最少；②能求值（指准确值）尽量求值；③不含特殊角的三角函数值。2.三角函数式的求值（给值求值）例2已知，求解：说明：分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式，常常①利用平方关系把二次齐次式化“1”。②把分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式同除以,将分子、分母转化为的代数式；3.三角三角恒等式的证明：例4求证下列三角恒等式：（1）；（2）证法一：由题义知，所以．∴左边=右边．∴原式成立．证法二：由题义知，所以．又∵，∴．证法三：由题义知，所以．，∴．（2）略说明：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。（三）课堂巩固：1.已知12sin+5cos=0，求sin、cos的值.解：∵12sin+5cos=0∴sin=cos，又则（cos）2+=1，即=∴cos=±∴ 2.已知，求（1）；（2）；，（1）原式=；（2）原式=3.已知求解：∵sin2+cos2=1∴化简，整理得：当m=0时，当m=8时，。4.已知，求值；提示：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；解：可求5.已知，试确定使等式成立的角的集合。解：∵===．又∵，∴，即得或．所以，角的集合为：或．6.已知方程的两根分别是，求解：（化弦法）（四）课堂小结：本节课学习了以下内容：1．运用同角三角函数关系式化简。化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，2．常用的变形措施有：（1）正切化弦；（2）化“1”。（六）布置作业：1.课本P22习题第7--10题(做在练习本上)2.导学大课堂《同角三角函数关系》练习1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是（）A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.12．已知tanθ＝eq\f(2a,a2－1)(其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是（）A.eq\f(1－a2,a2＋1)B.eq\f(2a,a2＋1)C.eq\f(a2－1,a2＋1)D.±eq\f(a2－1,a2＋1)3．若sinα＝eq\f(a－3,a＋5)，cosα＝eq\f(4－2a,a＋5)，eq\f(π,2)＜α＜π，则a的值满足（）A.a＝0B.a＞3或a＜－5C.a＝8D.a＝0或a4．化简eq\r(1－sin24)的结果为（）A.cos4 B.－cos4C.±cos4 D.cos25．已知sinα＝eq\f(4,5)，且α为第二象限角，那么tanα＝6．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值为7．若tanα＝eq\f(1,3),π<α<eq\f(3,2)π，则sinα·cosα＝8．若β∈［0，2π)，且eq\r(1－cos2β)＋eq\r(1－sin2β)＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.9．化简：eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,tan2x－1).10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.同角三角函数关系的应用答案1．D2．C3．C4．B5．－eq\f(4,3)6．－eq\f(\r(3),2)7．eq\f(3,10)8．若β∈［0，2π)，且eq\r(1－cos2β)＋eq\r(1－sin2β)＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.分析：依据已知条件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解.解：∵eq\r(1－cos2β)＋eq\r(1－sin2β)＝eq\r(sin2β)＋eq\r(cos2β)＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ∴sinβ≥0，cosβ≤0∴β是第二象限角或终边在x轴负半轴和y轴正半轴上的角∵0≤β≤2π∴eq\f(π,2)≤β≤π9．化简：eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,tan2x－1).原式＝eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(（sinx＋cosx）cos2x,sin2x－cos2x)＝eq\f(sin2x（sinx＋cosx）－（sinx＋cosx）cos2x,sin2x－cos2x)＝sinx＋cosx10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.左边＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·tan2θ＝右边1.2.3三角函数的诱导公式（1）教学目标：1、知识与技能 （1）理解诱导公式的推导方法；（2）掌握诱导公式(一)-----(四)，并运用之进行三角函数式的求值、化简以及其它简单的三角函数问题；2、过程与方法通过图形对称的角度结合定义导出三角函数的诱导公式；通过师生一起对典型例题的探讨，使学生体验和理解数学推理思维方式。通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.3、情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。二、教学重、难点重点:诱导公式的推导及应用。难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。三、学法与教学用具学法：自主、讨论、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学设想（一）创设情境1、问题1：我们已经知道锐角及轴线角的三角函数值（非特殊角可用数表或计算器计算）但实际应用中往往碰到其它的一些角的函数值的计算问题.但实际应用中往往碰到其它的一些角的函数值的计算问题.如：象的函数值如何求呢？我们只要能把这些角的三角函数化为锐角的三角函数就能求任意角的三角函数值了！2、问题2：你能将任意角的三角函数化成与0到360间的某角的三角函数吗?3、问题3：终边相同的角三角函数值有什么关系？（二）探索新知1.诱导公式公式一由终边相同的角三角函数值相同，得到：诱导公式一说明：①终边相同的角的同一三角函数值相等；②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。2.诱导公式公式二问题4：求值①②要解决上述问题，我们可以先来探求和之间的三角函数值的关系。它们的终边关于轴对称。那么我们来研究终边关于轴对称的三角函数值的关系：xyOP′PM角-的终边角的终边如图，设角、的终边分别与单位圆交于,则点和点关于轴对称。根据三角函数的定义，xyOP′PM角-的终边角的终边而和的终边关于轴对称是上述特殊情况，故有诱导公式二由公式二得：；3.诱导公式公式三、四问题5：类比公式二的研究方法，探究下列问题：（1）终边关于轴对称的两角的三角函数值的关系；（2）终边关于原点对称的两角的三角函数值的关系。xxOPP′′′角的终边MM′角的终边若角、的终边关于y轴对称，同理可得sin＝sin，cos＝－cos，tan=－tan而－与是关于y轴对称的，故有诱导公式三xxyOPP′角的终边MM′角的终边若角、的终边关于原点对称，同理可得sin＝－sin，cos＝－cos，tan=tan而＋与是关于原点对称的，故有诱导公式四思考1公式四可以用公式二、公式三推导吗？sin(＋)=sin[－(-)]=sin(-)=sin思考2公式二、三、四有什么共同的特征？公式二、三、四可用一句话概括：函数名不变，符号看象限说明：以上公式对角度制下的角仍适用，只需将换为180°。（三）学以致用例1求值：①sineq\f(7,6)②coseq\f(11,4)③tan(-1560°)例2判断下列函数的奇偶性：①②例3化简下列各式：①②③（n∈Z)④答案：①②③④例4已知，求的值。例5已知,则的取值范围为________.例6已知函数,其中都是非零实数，又知,求的值。例7已知,求证：（四）课堂巩固课本20页练习1，2，3。（五）归纳小结1.诱导公式（一）----（四）：函数名不变，符号看象限2.运用诱导公式（一）----（四）可以把任意角的三角函数值问题转化为求0°～180°角的三角函数值问题.（六）布置作业：《课课练》第6课1.2.3三角函数的诱导公式（2）一、教学目标：1、知识与技能 （1）理解诱导公式(五)、(六)的推导方法；（2）掌握诱导公式的特征，运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及其它简单的三角函数问题；2、过程与方法通过图形对称的角度结合定义导出三角函数的诱导公式；通过师生一起对典型例题的探讨，使学生体验和理解数学推理思维方式。通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.3、情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。二、教学重、难点重点:诱导公式的推导及应用。难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。三、学法与教学用具学法：自主、讨论、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学过程：（一）问题情境：问题：公式二、三、四都是通过研究角、与x轴、y轴、原点的对称关系，利用三角函数线来推导的。那么，如果，角、终边关于y=x对称，角、的正弦函数和余弦函数之间有何关系？（二）探求新知1．诱导公式公式五如图，角、的终边关于直线y=x对称。由上图知，有＝2k+eq\f(,2)－，(k∈Z),下面我们一起来探讨的三角函数植的关系：方案1：由于Rt△OMP≌Rt△OP′M′从而，M′P′=OM，OM′=MP,(长度相等，方向同正负）y=xy=xM′M角的终边角的终边yP′POx方案2：也可以通过点的坐标关系和三角函数定义得到：公式五：sin(sin(eq\f(,2)－)=coscos(eq\f(,2)－)=sin2．诱导公式公式六将上述公式中的换成－可得公式六：sin(sin(eq\f(,2)＋)=coscos(eq\f(,2)＋)=-sinxxyOP′PMM′的终边90+的终边公式六也可由三角函数线证明：由Rt△OMP≌Rt△P′M′Osin(90+)=M′P′=OM=coscos(90+)=OM′=PM=MP=sin3．小结（1）90±的三角函数值等于的余函数的值，前面再加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（2）公式二——六可用十字口诀概括：奇变偶不变，符号看象限（3）公式一、二、三、四、五、六统称为三角函数的诱导公式。（三）学以致用例1求证：。提示：注：上述两个公式实质上也是诱导公式。其记忆方法也符合十字口诀。例2计算：（1）（2）例3求证：(1)(2)(以上都有)例4（1）已知，且-，求的值。（2）已知，求的值。例5已知是第二象限的角，且，求的值。例5（1）已知,,求.（2）若,求例6若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围。解：原方程变形为：2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0∴∵1≤sinx≤1∴；∴a的取值范围是[]。（五）课堂练习：1.已知f(sinx)=sin(4n+1)x,(n∈Z,x∈R)，求f(cosx)。2.设f()=eq\f(2cos3+sin2(360°-)+sin(90°+)－3,2+2cos2(+180°)+cos(-)),求f(eq\f(,3))3.已知：tan(-)=a2（a∈R）,|cos(-)|=-cos,试判定角终边位置。（分类：a≠0;a=0)(六)小结：1.应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：（1）用“”公式化为正角的三角函数（2）用“2k+”公式化为[0，2]角的三角函数（3）用“±”或“2”或“eq\f(,2)±”,公式化为锐角的三角函数2.十字口诀不能忘：奇变偶不变，符号看象限。（七）布置作业课课练第7课《三角函数》复习一、知识回顾任意角、弧度制（1）任意角（2）弧度制2任意角的三角函数二、例题选讲【例1】填空：（1）已知角的终边与角的终边关于原点对称，则绝对值最小的角是弧度；（2）若，则角与角的终边关于对称或；（3）若扇形的半径为1，周长为，则扇形的面积为；弧所对的弦长为；（4）若，则；（5）函数的定义域为。答案：（1）；（2）轴，重合（3），；（4）（5）【例2】已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边为射线，求的值；若终边为直线，结果如何？思路分析：把原式化为关于的表示式，求即可。答案：都是【例3】在中，若求的三内角的大小。思路分析：先用诱导公式“变角”，在利用平方关系消元。答案：【例4】化简：（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）(讨论终边位置)（4）(分是奇偶数讨论)思考：若=，求角的范围。（注意易漏！！）【例5】（1）求值：（2）若，求值（3）若，求的值。答案：（1）；（2）原式==；（3）【例6】求证：思路分析：“切化弦”。【例7】判别下列函数的奇偶性：（1）（2）思路分析：利用诱导公式化简并考虑定义域。答案：（1）偶函数；（2）奇函数三、练习反馈：《三角函数》复习作业1.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．2.设集合,则=,=.3.已知角是第二象限角，则角是第象限的角；角终边的位置在；4.若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是；5.把－1125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π,k∈Z＝）的形式是；6.已知集合M=｛x∣x=,∈Z｝，N=｛x∣x=,k∈Z｝，则集合M与N的关系为；7.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是；8.已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,则该扇形的面积为；9.已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为；10.角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα+cosα=______；11.角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为；12.sin（－1770°）·cos1500°＋cos（－690°）·sin780°＋tan405°=．13.利用三角函数线，满足条件且的角x的集合为；14.已知，则m=_________；；15.若是方程的两根，则的值为；16.已知，则=；17若,则的值为；18.化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β= ；19.化简= ；20.若是第四象限角，化简=________________；21.若=－2tanα，则角的取值范围是 ；22.函数值域中元素的个数个；23.已知，则= ；24.若sin（125°－α）=eq\f(12,13),则sin（α＋55°）= ；25.设那么的值为。26.△ABC三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1∶2∶3，求△ABC的外接圆半径与内切圆半径之比．27.(1)已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值；（2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；（3）已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．28.已知，且．（1）求、的值；（2）求、、的值29.化简：tanα（cosα－sinα）＋．30.求证：31.已知cosB=cosθsinA,cosC=sinθsinA，求证：sin2A＋sin2B＋sin232.求的值．33.已知，为第三象限角，求的值．《三角函数》复习作业答案1.；2.；。3.为第一或第三象限角。的终边在下半平面。4.第一象限;5.－8π+eq\f(7π,4)6.集合N是集合M的真子集;7.;8.9.10.时，；时，．11.eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)12.2；13.14.或；或;15.16.1617.18.1；19.-1;20.21.22.423.24.25.26.提示：三角形三个内角分别为：、、，斜边为外接圆直径．∵三角形面积：，∴．27.（1）∵，∴，于是：．（2）∵，∴，于是：当时，当时，（3）若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则．28.（1）由可得：；于是：，；∵且，∴，．于是：．（2）；；．29.30.左边右边．31.∵，，∴，即：，∴．32.. 33.提示：设：，则且为第四象限角，∴，于是：。1.3.1三角函数的周期性一、教学目标：1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在，感受周期现象对实际工作的意义；（2）理解周期函数和最小正周期的概念，会求简单三角函数的周期；（3）能利用周期函数定义进行简单运用。2、过程与方法⑴通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，让学生感知周期现象；⑵从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；⑶根据周期性的定义，再在实践中加以应用。3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。二．教学重、难点重点:周期函数概念以及简单的应用。难点:周期函数概念的理解。三．学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。教学用具:实物、图片、投影仪四．教学思路（一）创设情境⑴举出我们生活中一些周而复始的现象；⑵举出数学中具有周期现象的例子。（二）探究新知1．周期函数：⑴定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，对定义域内每一个值，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。⑵理解：①定义恒等式：；②常数且存在；③的任意性。⑶辨析：对于函数，①当时，，的周期是；②当时，，的周期不是。2．最小正周期：⑴若函数的周期是，则是它的周期吗？是它的周期吗？⑵一般地，若函数的周期是，则其周期有多少个？它们是______________.⑶阅读课本，说说什么是最小正周期。⑷思考：函数是周期函数吗？它有最小正周期吗？3．三角函数的周期：⑴正、余弦函数是周期函数吗？为什么？⑵正、余弦函数有最小正周期吗？如果有，是多少？⑶正切函数是周期函数吗？它的最小正周期是多少？为什么？指出：今后说一个函数的周期，如不作特殊说明，即指其最小正周期。4．周期的求法：例1．（课本第25页）阅读课本。例2．求下列函数的周期：⑴；⑵；⑶。思考：对于函数（其中、、为常数，且），哪些常数会影响函数的周期？归纳：一般地，函数及（其中、、为常数，且，）的周期。思考：若不规定，则其周期。（三）引申探究问题1：若函数满足：，且，则问题2：若函数满足：，则是周期函数吗？问题3：若函数满足：，则是周期函数吗？问题4：若函数的周期为，当时，，则当时，。问题5：已知函数是偶函数，并且该函数图象关于直线对称.(1)试问：函数是周期函数吗？为什么？(2)若当时，，求当时函数的解析式。问题6：若函数是奇函数，并且该函数图象关于直线对称.试问：函数是周期函数吗？为什么？（四）巩固提高1．课本第25页练习～。2.下列函数是周期函数的是()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3．已知定义在上的奇函数满足：，且，求。（五）归纳小结⒈什么是周期函数？周期函数的图象有何特点？⒉比照周期函数与函数奇偶性的定义，二者有何联系与区别？⒊三角函数的周期分别是什么？如何求函数及（其中、、为常数，且，）的周期？⒋函数图象的对称性与函数的周期性有着怎样的内在联系？（六）布置作业课课练第9课+导学大课堂1.3.2三角函数的图像与性质（1）一、教学目标：1、知识与技能 （1）会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象；（2）熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征；（3）会用“五点法”画正、余弦函数的图象；2、过程与方法在老师的引导下师生共同完成利用单位圆中的线段画出正弦函数的图象；通过运用诱导公式发现正、余弦函数的图象关系并画出余弦函数的图象；通过研究图象的特征，发现“五点”并会用“五点法”画正、余弦函数的图象；3、情感、态度与价值观（1）通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；（2）培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系。二、教学重、难点重点:用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。难点:正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系。三、学法与教学用具学法：启发、发现、体验、感悟教具:多媒体、三角板、圆规四、教学过程：（一）问题情境：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（余弦）值.由这个对应法则所确定的函数（或）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是.问题：如何作出正弦函数的图象？作函数的图象，最基本的方法是列表描点法。三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.我们借助单位圆中的正弦函数线可以画出较精确的正弦函数图象。（二）探索新知1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。动画演示2．余弦函数的图象方案1：由于，所以余弦函数，与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：，，正弦曲线向左平移个单位得到，即：，，向左平移向左平移个单位方案2：用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角x的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M动画演示3．五点法作图讨论：观察正弦函数的图象，找出体现图象形状特征的点。函数，的图象上起关键作作用的有五个点：(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0).五点确定了，图象形状特征的点就基本确定了，因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出五个关键点，然后用用光滑曲线把这点连结起来，就得到正弦函数，的简图。这种作图方法叫做“五点法”。（三）学以致用例1.用五点法作出下列函数的简图：（1），．自变量函数值y12101例2用五点作图法画出下列函数的简图：（1）y=2cosx(x∈R)；（2）y=sin2x(x∈R)解（1）先用“五点法”画一个周期的图像，列表：x0eq\f(,2)eq\f(3,2)2cosx10－1012cosx20－202描点画图，然后由周期性得整个图像。22y1-eq\f(3,2)-1-2Oeq\f(,2)eq\f(3,2)-eq\f(,2)-x2y=cosxy=2cosx--(2）先用“五点法”画一个周期的图像，列表x02x0sin2x010-10描点画图，然后由周期性得整个图像。yyOx-eq\f(,2)eq\f(,2)2-21-1-y=sinxy=sin2x例3分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的的集合：（四）课堂练习：课本P32练习2，3（五）课堂小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图。（六）布置作业课课练第8课1.3.2三角函数的图像与性质（2）一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握正、余弦函数的定义域和值域。并能解决有关问题。2、过程与方法老师的引导下发现正、余弦函数的定义域和值域。体验数形结合的意义。通过师生共同探究运用正、余弦函数的定义域和值域解决问题的一般方法和思想，并掌握之。3、情感、态度与价值观（1）培养学生的数形结合思想和分类讨论的思想。（2）培养学生的探究精神和坚忍不拔的意志品德。二、教学重、难点重点:运用正、余弦函数的定义域和值域解决有关问题。难点:。运用正、余弦函数的定义域和值域解决有关问题的灵活性。三、学法与教学用具学法：启发、发现、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学过程：（一）问题情境（课题导入）：上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.OOy-eq\f(,2)xeq\f(,2)-eq\f(3,2)eq\f(3,2)--22-11y=cosxy=sinxx=-x＝eq\f(,2)（二）探索新知1.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R2.值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx，x∈R①当且仅当x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.（三）学以致用1.求三角函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）；（2）（3）答案：（1）；（2）；（3）。说明：求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式（组），三角不等式的解一般可用三角函数的图像或三角函数线来确定．【例2】已知函数的定义域为，求下列函数的定义域：（1）（2）答案（1）；（2）。2.求三角函数的值域【例3】求下列函数的值域：（1）①；②（2）（并指出取最值是的值）（3）答案：（1）；（2）（3）说明：利用三角函数的值域求解。思考：若函数的最大值为，最小值为求的值。【例4】求的值域；问题1：若，求的值域；问题2：求的的最大值；问题3：若，求的的最小值；说明：此类题解决的关键在于把问题转化为我们熟悉的二次函数问题。（四）课堂练习：1.课本P32练习4，5；P44习题42.已知函数f(x)=-2asin(2x+eq\f(,6))+2a+b,a≠0的定义域为[0,eq\f(,2)]，值域为[-5,1]，求常数a，b的值。（五）课堂小结：正、余弦函数的定义域和值域和运用（六）布置作业《正余弦函数的定义域和值域》作业1.函数的值域为________；2.函数(为常数)的最大值为1，最小值为－7，则=___，=；3.函数的最大值是_________，最小值是___________；4.函数在区间上的最小值是___________；5.函数的值域为___________；6.求函数的值域7.设,若的值域为，试求a与b的值。8.已知函数⑴当有实数解时，求a的取值范围；⑵若,有，求的取值范围。9..若,求的范围。10.（选做）已知奇函数f(x)在R上是增函数，问：是否存在这样的实数m，使得对于所有，不等式都能成立？若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由。1.3.2三角函数的图像与性质（3）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解正、余弦函数的周期性、奇偶性、对称点和对称轴的意义，会求简单函数的最小正周期、单调区间和对称点和对称轴；并能解决有关问题。2、过程与方法在老师的引导下发现正、余弦函数的周期性、奇偶性、对称点和对称轴，体验数形结合的意义。通过师生对简单函数的最小正周期、单调区间和对称点和对称轴等问题的共同探究让学生在问题解决的过程中感悟知识的灵活运用。体验问题解决的成功喜悦。3、情感、态度与价值观（1）渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点；（2）培养学生的探究精神和坚忍不拔的意志品德。二、教学重、难点重点:正、余弦函数的周期性、奇偶性、对称点和对称轴等知识的运用；难点:正、余弦函数对称点和对称轴的理解。三、学法与教学用具学法：启发、发现、参与、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学过程：（一）问题情境（课题导入）：上节课，我们利用图象研究了正、余弦函数的定义域和值域。今天，我们继续借助它们的图象来研究它们还有哪些性质？OOy-eq\f(,2)xeq\f(,2)-eq\f(3,2)eq\f(3,2)--22-11y=cosxy=sinxx=-x＝eq\f(,2)（二）探索新知1.周期性根据周期函数的定义，结合图象可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.2.奇偶性由图象观察，结合诱导公式知，正弦函数是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，图象关于轴对称。3.单调性从y＝sinx，x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］的图象上可看出：当x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.4.对称轴和对称点由图象观察知正弦函数的对称轴为，对称点为；余弦函数的对称轴为，对称点为；（三）学以致用1.三角函数单调性的应用【例1】不求值，比较下列函数值的大小（1）（2）（3）（4）提示：，又，在上是减函数，所以答案：；；；；说明：利用三角函数的单调性比较三角函数值的大小，注意要在同一个单调区间内比较，不同名的要先化为同名的，此类题也可以利用单位圆中三角函数线比较。【例2】写出下列函数的单调区间（1）（2）思考1：求的单调增区间；思考2：求的单调区间；思考3：求的单调区间；思考4：求的单调区间；思考5：求的单调区间.2.三角函数周期性的应用【例3】已知函数，其中，当自变量在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数的值。提示：3.三角函数奇偶性的应用【例4】判别下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）（3）（4）4.三角函数对称性的应用【例5】写出下列函数的对称轴和对称中心（1）（2）思考：写出函数的对称轴和对称中心。（四）课堂练习1.设的定义域为，周期为，，则=；2.函数的单调减区间为；3.函数的奇偶性是；3.已知则=。（五）课堂小结略（六）布置作业《正余弦函数的的性质》作业1.用五点法作的图象时,首先应描出的五个点的横坐标可以是；2.函数的最小正周期是则=；3.满足的的集合为_____________；4.函数的奇偶性为；5.函数的定义域为，.则函数的定义域为__________________________；7.函数的单调递增区间是___________________________；8.设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于；9.函数的图象对称轴对轴为，对称中心为；10.已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最小正周期为_____________,值域为_________________；11.当时，函数的最小值是_______，最大值是________；12.函数在上的单调减区间为_________；13.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________；14.函数的定义域为_____________________________；15.已知的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是；16.关于函数有下列命题：①由可得是得倍数；②的表达式可改写为③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称。其中正确的命题是______________________。17.判断函数的奇偶性。18.设函数。①写出函数f(x)的最小正周期及单调区间；②若x∈时，函数的最小值为2，求函数的最大值，并指出取何值时，取得最大值。19.已知函数。①求它的定义域、值域和单调区间；②判断它的奇偶性和周期性。20.设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。1.3.2三角函数的图像与性质（4）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解利用正切线画出正切函数图象的方法；了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；（2）理解正切函数的图象和性质，并能运用之解决有关问题。2、过程与方法运用类比的方法引导学生画出正切函数图象，发现正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称点和对称轴，体验数形结合的意义。通过师生对有关函数问题的共同探究让学生在问题解决的过程中感悟知识的灵活运用。体验问题解决的成功喜悦。3、情感、态度与价值观（1）渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点；（2）培养学生的探究精神和坚忍不拔的意志品德。二、教学重、难点重点:正切函数的图象和性质的运用；难点:正切函数图象的作法。三、学法与教学用具学法：启发、发现、参与、体验、感悟教具:多媒体、三角板四、教学过程：（一）问题情境：前面我们已研究了正弦函数的图象的作法，你能类比正弦函数的图象的作法作出正切函数的图象吗？（二）探索新知下面我们来研究作正切函数的图象的作法．1.作的图象观察多媒体问题1.正切曲线中的虚线与图像有何关系?由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。xxeq\f(,2)-eq\f(,2)--eq\f(3,2)eq\f(3,2)yO2.正切函数的性质问题与正弦、余弦函数比较，正切函数有哪些性质?(1)定义域：；(2)值域：R(3)周期性：；(4)奇偶性：由知，正切函数是奇函数；(5)单调性：在开区间内，函数单调递增。(6)对称中心:无对称轴（三）学以致用【例1】求下列函数的定义域：（1）（2）（3）【例2】已知函数的定义域为，求的定义域。【例3】判别函数的奇偶性说明：判别函数奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称。【例3】求函数的周期、单调性和单调区间、对称中心。思考：求函数单调区间；【例4】求函数的值域。思考：求函数。【例5】已知函数和的最小正周期之和为，且，，求的解析式。（四）课堂练习1.直线与函数的相邻两支的交点距离为2，则=；2.函数的单调区间是；3.设，若，则=；4.探究的单调性。（五）课堂小结正切函数的图象、性质和运用（六）布置作业课课练+导学大课堂1.3.3函数y＝的图象(1)一、教学目标：1、知识与技能（1）会用“五点法”画出的图象；（2）理解A，ω，对图象的影响；（3）理解图象与图象之间的变换。2、过程与方法在老师的引导下，师生通过分别A，ω，对的影响探究，运用由特殊到一般的研究方法，总结出更一般的结论。在此基础上探索图象与图象之间的变换的变换途径。3、情感、态度与价值观（1）通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；（2）培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系。二、教学重、难点重点:“五点法”画出的图象；难点:图象与图象之间的变换。三、学法与教学用具学法：启发、发现、体验、感悟教具:多媒体、三角板、圆规四、教学过程：（一）问题情境（课题导入）：在现实生活中，我们常常会遇到形如的函数解析式(其中A，ω，都是常数).下面我们讨论函数，x∈R的简图的画法.（二）探索新知1．型函数的图象例1画出函数，，，，的简图。 解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，––– 由图可知，对于同一个，，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。 一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．A称为振幅，这一变换称为振幅变换.动画演示2．型函数的图象例2画出函数，，，的函数简图。 解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，––– 一般地，函数，（）的图象可以看作