2022年北京海淀初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京海淀初二（上）期末数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（3分）下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为A． B． C． D．3．（3分）下列变形是因式分解的是A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是A． B． C． D．5．（3分）如图，是等边三角形，是边上一点，于点．若，则的长为A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）下列变形正确的是A． B． C． D．7．（3分）如图，，点在线段上，，则的度数为A． B． C． D．8．（3分）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为A．1 B． C．2 D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若分式有意义，则的取值范围为．10．（2分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是．11．（2分）分解因式：．12．（2分）若是关于的方程的解，则的值为．13．（2分）等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是．14．（2分）在〇处填入一个整式，使关于的多项式〇可以因式分解，则〇可以为．（写出一个即可）15．（2分）如图，在中，为边上的中线，于点，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为．16．（2分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点．再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点．作直线，若直线经过点，则的度数为．三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题4分，第20、23、24、25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17．（4分）计算：．18．（4分）化简：．19．（4分）化简：．20．（5分）解方程：21．（4分）如图，已知线段及线段外一点，过点作直线，使得．小欣的作法如下：①以点为圆心，长为半径作弧；②以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③作直线．则直线即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明．证明：连接，，，．，点在线段的垂直平分线上．（填推理的依据），点在线段的垂直平分线上．直线为线段的垂直平分线．．22．（4分）在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．23．（5分）如图，在中，，点，在边上，．求证：．24．（5分）已知，求代数式的值．25．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的友爱点．（1）在，，中，的友爱点是．（2）如图2，若为内一点，且，求证：为的友爱点；（3）直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的三个友爱点，直接写出的取值范围是．27．（7分）在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为（当为常数时，，则称分式为次分式．例如，为三次分式．（1）请写出一个只含有字母的二次分式；（2）已知，（其中，为常数）．①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为；②若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．28．（7分）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．（1）如图1，当时，则；（2）当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为，并证明．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．3．【分析】根据因式分解的定义依次判断即可．【解答】解：因式分解是将多项式写成几个整式的乘积形式，，，均不符合题意，符合题意．故选：．【点评】本题考查因式分解的定义，理解定义是求解本题的关键．4．【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：、，故符合题意；、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则掌握．5．【分析】根据是等边三角形得出，由得出，从而可以求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，．故选：．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，能求出是解此题的关键．6．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：、，故不符合题意．、，故符合题意．、，故不符合题意．、，故不符合题意．故选：．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．7．【分析】由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解．【解答】解：，，，，即，，，．故选：．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．8．【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可．【解答】解：设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，，，即①，②，由①得，③，③②得，所以，即长方形的面积为，故选：．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由题意，得．解得，故答案为：．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．10．【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是，故答案为：．【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．11．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．12．【解答】解:,2x-m=3(x-3),2x-3x=-9+m,x=9-m,因为方程的解为x=4,∴4=9-m,∴m=5.故答案为513．【分析】由等腰三角形中有一个角等于，可分别从①若为顶角与②若为底角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：分两种情况讨论：①若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；②若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：．这个等腰三角形的顶角的度数为：或．故答案为：或．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．14．【分析】根据完全平方公式的特征即可解答．【解答】解：在〇处填入一个整式，使关于的多项式〇可以因式分解，则〇可以为：，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．15．【分析】过点作，由角平分线的性质可得，再由是中线，则有，利用三角形的面积公式可求得的面积．【解答】解：过点作，如图，平分，，，，，为边上的中线，，．故答案为：4．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．16．【分析】连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出，然后利用三角形外角性质计算的度数．【解答】解：连接、，如图，设，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案为126．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题4分，第20、23、24、25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17．【分析】先化简零指数幂，负整数指数幂，计算同底数幂的除法，最后进行计算即可．【解答】解：．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】根据完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘多项式，熟记相关公式和运算法则是解题的关键．19．【分析】先算小括号，再算中括号，最后算除法．【解答】解：原式．【点评】本题考查平方差公式和整式除法，掌握平方差公式和整式除法法则是求解本题的关键．20．【分析】本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：去分母，得：，化简，得：，化系数为．经检验，是原方程的根．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）连接，，，．，点在线段的垂直平分线上．（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），点在线段的垂直平分线上．直线为线段的垂直平分线．．故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，．【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．22．【分析】根据轴对称的性质作出图形即可．【解答】解：如图1，2中，即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．23．【分析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：，，，在与中，，，，，即．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等．24．【分析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，利用整体代入求值是关键．25．【分析】本题考查列分式方程解实际问题的能力，因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间原计划生产450台时间．【解答】解：设：现在平均每天生产台机器，则原计划可生产台．依题意得：．解得：．检验：当时，．是原分式方程的解．答：现在平均每天生产200台机器．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．26．【分析】（1）根据轴对称的性质和坐标得出，，，进而利用勾股定理解答即可；（2）根据三角形的内角和定理得出，进而利用等腰三角形的判定解答即可；（3）根据友爱点的概念分三种情况①②③解答即可．【解答】（1）解：，，，，，连接，，如图，点与点关于轴对称，点在轴上，，点是的友爱点；连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图，则，，，在△与△中，，△△，，点是的友爱点；连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图，则，，，，，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，点不是的友爱点；综上所述，的友爱点是，，故答案为：，；（2）证明：在和中，，，，，，，，，，点是的友爱点；（3）解：由题意知，的友爱点，满足或或，若，则点在线段的垂直平分线上，即轴上；若，则点在线段的垂直平分线上；若，则点在以点为圆心，长为半径的圆弧上，设的中点为，则点的纵坐标为2，如图，由图可知，当直线在过点且平行于轴的直线与轴之间时，直线存在的友爱点，直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的三个友爱点，则的取值范围是；故答案为：．【点评】此题考查一次函数的综合题，关键是根据轴对称的性质和坐标以及勾股定理解答．27．【分析】（1）根据材料中的新定义求解；（2）①