2020-2021学年内蒙古高一（上）期末数学试卷（文科） （解析版）

2020-2021学年内蒙古赤峰二中高一（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

1.设集合A={(%,y)|y=x+l},B={(x,y)\y=x2-1},贝()

A.0B.{1,2}

C.{(-1,0),(2,0)}D.{(-1,0),(2,3)}

2.下列各角中，与126°角终边相同的角是（

A.-126°B.486°C.-244°D.574°

3.函数~丁的定义域是（)

A.(1,2)B.[1,4]C.[1,2)D.(1,2]

4.函数/（%）=xcosx+x在［-11,Jl］上的图象大致为（

5.若新函数/G）的图象过点（3,«）,则函数y=/（x）+2-%的零点为（）

A.1B.2C.3D.4

4

6.若角a的终边过点(3,y),且sinQ=---,则sin(n+2a)=()

b

A「「

A--3--BD-3C-2--4--D--2--4--

.5,5,25,25

7.已知函数/(x)=Asin(o)x+(p)(A>0,a)>0,|(p|^-^-)的部分图象如图所示，则函

数y=/（x）的表达式是（)

A.f(x)=2sin(2x-^z-)B.f(x)=2sin(2x^^-)

o

C.f(x)=2sin(2x/：)，、，兀、

D.f(x)=2sin(x"^j

8.已知b〉0,log5b=a,1gb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

9.已知偶函数/(x)在［0,+8)上单调递减，则满足了(4x-3)<f(5)的x的取值范围

是()

9

A.(-8,A)B.(-8,-1)

C.(-OO,-y)U(2,+8)D.(-8,-1)U(y,Q)

10.设函数/(%)=e以与g(x)。加;的图象关于直线x-y=0对称，其中〃，Z?CR且。

>0,贝!Jm匕满足()

A.a+b=2B.a=b=lC.ab=1D.—=1

a

[12兀=尊，a是第三象限角，则sin(CL-%)=()

11.右sin(nCL——)

5315

A.R口3-2%„V6~3n3-76

6666

Ilog9x|,x>0

12.已知函数f(x)=《...,若函数y=/(x)-机有四个零点a,b,c,d,

|x+2|-1,x<0

则油cd的取值范围是()

A.[0,2)B.[0,3)C.[1,2)D.[2,3)

二、填空题(共4小题).

12□加2sina+cosa1.

13.已矢口---；--------=>77，则tana=.

sina2

14.若xlog32=l,贝！)4*-2'=.

15.若扇形493的圆心角为三，周长为10+3TT,则该扇形的面积为_____.

b

16.已知函数/(x)=^/3sinxcosx-cos2x,若函数/(x+(p)是偶函数，则tan2(p=.

三、解答题(共6小题)・

2_0

17.已知函数/(x)=a乂一/,y(1)=1,/(2)=5.

bx

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)求函数/(无)在［-1,-3上的值域.

2_

18.对于函数/(x)=4-二-(a€R).

2+1

(1)探索函数/(x)的单调性；

(2)是否存在实数。使函数/(x)为奇函数？

19.「已I知ta,n(C兀l、F)1q，c/0<rCJl<兀—.

(I)求tana的值；

(2)求sina,cosa的值；

(3)求sin(a4^a-)的值.

20.某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使

用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6

元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为

了便于结算，每辆自行车的日租金无(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入

必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行

车的总收入减去管理费用后的所得).

(1)求函数y=/(x)的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

21.已知函数/(x)—logaX(a>0,aWl)在区间［1,4］上的最大值为2.

(1)求实数。的值；

(2)若于(x))>1,求实数x的取值范围.

22.已知函数无)=-2sin2x+sirLv+a+2.

(1)当/(x)=0有实数解时，求实数a的取值范围；

(2)若-24f(x)《冬对一切x恒成立，求实数。的取值范围.

O

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.设集合4={(尤，y)\y=x+l},B={(尤,y)\y=x2-1},则(

A.0B.“，2)

C.{(-1,0),(2,0)}D.[(-1,0),(2,3)}

y=x+lx=-l-

解：由,得,

92八或

ty=x-ly=0

.-.AnB={(-1,0),(2,3)).

故选：D.

2.下列各角中，与126°角终边相同的角是)

A.-126°B.486°C.-244°D.574°

解：与126。的角终边相同的角的集合为{a|a=126°+公360。，依Z}.

取％=1,可得a=486°.

.•.与126°的角终边相同的角是486°.

故选：B.

3.函数的定义域是（)

A.(1,2)B.[1(4]C.[1,2)D.(1,2]

x-l》0

解：由题意得＜2-x＞0,解得1＜无＜2.

t

Llg(2-x)70

故选：A.

4.函数/（x）=xcosx+x在［-it,it］上的图象大致为（）

1)

c.D.

-nO\nx-nQ4hx

【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及/(今)的符号，利用排除法，可得答案.

解：*.*/(-X)=-XCOS(-X)-X=-XCOSX-x=-f(x),

故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C

令函数/(x)=xcosx+x=0,贝|九=0,或冗=±11,

故函数有三个零点，排除D

由/--^->0,排除3,

故选：A.

5.若塞函数/(x)的图象过点(3,遮)，则函数y=/(x)+2-%的零点为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】求出幕函数的解析式，解方程求出函数的零点即可.

解：设事函数/(%)=◎(a为常数).

•・•塞函数y=/(x)的图象过点(3,«),

：.如=3%解得境=得.

*,•/⑴=4，

令y=/(x)+2-x=0,

即V^+2-x=0,

解得：4=2,x=4,

故选：D.

A

6.若角a的终边过点(3,y),且sina,则sin(ir+2a)=()

5

33「24「24

AABD-C-----D------

'5'5'25'25

【分析】利用任意角三角函数的定义求出y=-4,从而求出cosa,再由诱导公式和二倍

角公式能求出结果.

4

解：：角a的终边过点(3,y),且sina=-V，

5

y_4

==T=-T，解得y=-4,

9+/

••cos。a「--5'

2,424

sin(ir+2a)=-sin2a=-2sinacosa=-2X=X

故选：C.

7.已知函数/(%)=Asin(a)x+(p)(A>0,co>0,l<pl<-^-）的部分图象如图所示，则函

数）=/（%）的表达式是（）

/\/兀、

B.f(x)=2sin(2x-t^-)

D.f(x)=2sin(x+^-)

5兀兀,口,,2兀2兀

下得T=m故3n二

Tn2,

jrjr

将点（"2）的坐标代入函数无）=2sin（2x+（p）,且|0|得。=、

TT

所以函数y=/(x)的表达式为f(x)=2sin(2x^——).

o

故选：A.

d

8.已知b>0,log5b=a,lgb=c,5=10,则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【分析】将已知的对数式转化为指数式，求解即可.

解：因为b>0,log5&=a,lgb=c,

所以Z?=5。，b=W,又5d=10,

所以Z?=5"=l()c=(5聆c=5cd,

所以a=cd.

故选：B.

9.已知偶函数/(无)在[0,+8)上单调递减，则满足了(4x-3)<f(5)的x的取值范围

是()

n

A.(-8,仔)B.(-8,-1)

O

C.(-8,--1)□(2,+co)D.(-8,-1)U(y,Q)

【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用函数单调性进行求解

即可.

解：；偶函数无)在[0,+8)上单调递减，

，不等式/(4X-3)<f(5)等价为/(|4x-3|)<f(5),

即|4x-3|>5,得4x-3>5或4x-3<-5,

得x>2或x<—

即不等式的解集为(-8,-])U(2,+8),

故选：C.

10.设函数/(%)=*与g(x)的图象关于直线1-y=0对称，其中〃，Z?€R且〃

>0,贝IJ〃，满足()

A.a+b=2B.a=b=lC.ab=1D.—=1

a

【分析】设A(%,eax)是函数/(x)=e"图象上任一点，则它关于直线y=x对称的点

Ai(尸，x)在函数g(x)的图象上，代入解析式即可求得关系式.

解：设A(x,*)是函数/(x)=e"图象上任意一点，

则它关于直线对称的点Ai(巳突，X)在函数g(x)=4心的图象上，

所以x=blneax=abx,

即ab=l,

故选：C.

11.若Sin(a々L)=返，a是第三象限角，则sin(a:])=()

5315

A2Vs-3R3-2^/3-3n3-76

6666

【分析】由已知结合同角平方关系可求cos(a士L),然后由sin(a-1)=sin

5lb

（a二f"‘!■冗）'结合两角和的正弦公式展开可求•

=返，a是第三象限角,

解：,/sin(a-

53

•T

5

兀2兀

则sin(Q--■)=sin(d兀）

155

¥>4+

32百

_V6-3

"I-

故选：C.

'Ilog9x|,x>0

12.已知函数f（x）=",若函数(x)-机有四个零点。，b,c,d,

|x+2|-l,x<0

则abed的取值范围是（）

A.[0,2)B.[0,3)C.[1,2)D.[2,3)

'Ilog9x|,x>0

解:作出函数函数=«)的图象如图,

|x+2|-l,x<0

函数y=/(%)-加有四个零点，即y=/(x)与y=m的图象有4个不同交点，

不妨设四个交点横坐标。，b,c,d满足"VbVcVd,

则-4Wa<-3,-ICbWO,l<dW2,

由/(c)=f(d),得|log2cl=|log2d|,则Tog2c=log2d,可得log2cd=0,BPcd=1.

abcd=ab.

;〃，b关于直线x=-2对称，则〃=-4-Z?,-1VZ?WO,

得ab=-(4+/?)b=-(Z?+2)2+4e[0,3).

・・・"〃的取值范围是[0,3).

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

口上r2slnd,+cosa1制+2

13.已知1---；----------J,贝!Jtana

sina23-

【分析】由已知利用同角三角函数间的基本关系即可化简求解.

2sina+cosa1

解:因为

sina2

2tana+11

所以

tanCl2

,9

解得tana=-

o

故答案为：-晟.

O

14.若％log32=l,则牛_2-%=竺^

O

【分析】先求出2%=3,即可求出答案.

解：xlog32=L

则log32%=1,

・・・2%=3,

~33

故答案为：雪■.

O

15.若扇形AOB的圆心角为誓，周长为10+3m则该扇形的面积为耳匕.

【分析】先利用弧长公式求出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求出该扇形的面积.

解：设扇形AOB的的弧长为/,半径为

.13兀

/+2r=10,

*r5

.•」=3TT,r—5,

；•该扇形的面积5=/5=岑二

故答案为：号L.

16.已知函数/(%)=-\/3sin%cosx-cos2x,若函数/(x+(p)是偶函数，则ta[2(p=-

【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

铲_l+cos2x.兀、1

角牛：f(x)-------=sin(2x-T-)-7r，

乙NbN

jri

f(x+0)=sin(2x+2。=-)不■是偶函数，

b/

兀兀

2。丁=k冗后，

-2兀

2。=k兀+~^—，

O

/.tan2。=-愿.

故答案为：

三、解答题(共6小题).

2_0

17.已知函数/(x)=.”=4,/(1)=1,f(2)=5.

bx

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(x)在［-1,-上的值域.

2

【分析】(1)根据/(I)=b/(2)=5即可求出。=3,b=l,从而得出f(x)=-3二二2；

X

(2)容易判断f(x)=3x-1在I，蒋］上是增函数，从而求出f(卷)即可

得出了(无)在［-1,-1］上的值域.

解：(1)V/d)=1,f(2)=5；

解得。=3,6=1；

上、3x2-2

f(x)=------；

X

(2)f(x)=3x/^l>l，上单调递增；

x2

f(-1)=-1,f(总)得；

."⑴在［-1,卷］上的值域为I,y］.

2

18.对于函数/(x)=。-二--(aER).

2+1

(1)探索函数/(x)的单调性；

(2)是否存在实数。使函数/(%)为奇函数?

【分析】（1）根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论;

（2）根据题意，假设存在实数。使函数/（%）为奇函数，则有/（-尤）=0,即

22

a-------ba-----=0,分析可得。的值.

2~x+l2X+1

解：（1）根据题意，函数/（X）的定义域为R,

3-(a^^)

设Vxi,X2E.R,且XI<X2,/(XI)-f(X2)X.\X-'

2X+12<+1

2(21-2D

X.X,、・

(z2x+l)s(z2F)

Vxi,X26R,且X1〈X2,2X1-2X：<0>(2X1+1)(2Xz+l)>0-

.-./（xi）</（x2）,即函数/（无）在R上单调递增.

（2）假设存在实数a使函数了（无）为奇函数.

22

则有/（-x）+f（x）=0,BPa-——+a-——=0,

2X+12X+1

工解得a=l.

故存在实数〃使函数/（X）为奇函数.

「心/兀、1八/r）兀

19.已知tan（a-丁）\",0<CI<—.

（1）求tana的值;

（2）求sina,cosa的值;

（3）求sin（a4^-）的值.

【分析】（1）利用两角差的正切公式即可求解;

（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解;

（3）利用两角和的正弦公式即可求解.

解：⑴由tan（a《）霁/4，解得…a=2,

sinCL=2cosCI.c2联

sina=——

si/a+cos2a=i,可得,D

(2)由tana=2,有<

a版

0<a<3cosCL=­r~

2D

(3)由(2)有sinQ=~9cosa,

55

有sin(a4^-)=~^-(sina+cOSa)=^-X(—^—4-^-)=10-

20.某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使

用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6

元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为

了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入

必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行

车的总收入减去管理费用后的所得).

(1)求函数y=/(x)的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【分析】(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分

段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；

(2)利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键.注意自变量

取值区间上的函数类型.应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值.

解：(1)当xW6时，y=50x-115,令50x-115>0,

解得尤>2.3.

:疣N*,，x与3,；.3WxW6,x€N*,

当尤>6时，y=[50-3(x-6)]x-115.

令[50-3(x-6)]x-115>0,有3N-68X+115<0,

上述不等式的整数解为2WxW20(xeN*),

.•.6<xW20(xeN*).

50x-115(34x46x€N*)

故尸<0”>

-3X2+68X-U5(6<X<20x€N)

定义域为{x|3WxW20,抚N*}.

(2)对于y=50x-115(3W;cW6,x€N*).

显然当％=6时，>小=185(元)，

对于y=-3x2+68x-115=-3(Y—(6VxW20,XGN*).

,33

当X=ll时，ymax=210(元).

V270>185,

・・・当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.

21.已知函数/(x)=logax(a>0,aWl)在区间［［,4］上的最大值为2.

(1)求实数。的值；

(2)若/(7(x))>1,求实数x的取值范围.

【分析】(1)分0<。<1时，。>1时，讨论单调性，得出答案，

(2)根据上面求出的。，当时，由无))>1,得a=2时，由

f(/(%))>1得/(x)>2,解出答案.

解：(1)当0<。<1时，八x)在［［,4］上是减函数,/(x)是最大值f(1)=2,loga/=2,

.,1

■，a-2，

当a>