2020高考文数妙用20招备考秘籍

妙用20招备考秘籍

第一招活用性质妙解函数

典例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=l对称，当xd[0,2]时，

f(x)=2x-x2,则f(0)+f⑴+…+f(2018)的值为()

A.-lB.0

C.1D.不能确定

答案C

解析.••定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=l对称,；.f(2-x)=f(x),

；.f[2-(x+2)]=f(x+2),即f(x+2)=-f(x),

；.f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4.

Vf(-l)=-f(l)=-l,f(0)=0,f(l)=l,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-l)=-l,f(4)=f(0)=0,

/.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+-+f(2018)=504x[f(0)+f(l)+f(2)+f(3)]+f(2016)+f(2017)+f(2

018)=504x0+f(0)+f(l)+f(2)=1,故选C.

学一招若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数图象关于直线x=F对称;若函数f(x)满足

f(a+x)+f(b-x)=c，则函数图象关于点(手对称.

第二招最值函数大显身手

典例2设a,b为平面向量，则()

A.min{|a+b|,|a-b|}Wmin{}

B.min{|a+b|,|a-b|}2min{}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}W|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}^|a|2+|b|2

答案D

解析max{|a+b|2,|a-b|2}；"刑二状产+也产,故选D.

学一招最值函数的定义:设a,b为实数，则min{a,b}={K*max{a,b}={：；;，'解有

些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼.

(l)min{a,b}W-^-Wmax{a,b};

(2)min{a,b}WyfabWmax{a,b}.

第三招由果导源巧构函数

典例3设函数f'(X)是奇函数f(x)(x£R)的导函数，f(-l)=O,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使

得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+oo)

C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+oo)

答案A

解析解法一:构造抽象函数求解.

设F(x)=®.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数,F1(x)="f口产⑴,易知当x>0时,F(x)<0,

所以函数F(x)在(0,+oo)上单调递减.又f(-l)=O,则f(l)=O,于是F(-1)=F⑴=0,f(x)=xF(x),解不等

式f(x)>0,即找到x与F(x)的符号相同的区间,易知当xG(-oo,-l)U(0,1)时，f(x)>0,故选A.

解法二:构造具体函数求解.

设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项.又f(l)=-f(-l)=0,所以f(x)

能被x2-1整除.因此可取f(x)=x-x：检验知f(x)满足题设条件.解不等式f(x)>0,得

xe(-8,-l)U(0,l),故选A.

学一招抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端,解决此类问题的关键

是构造函数，常见的构造函数的方法有如下几种：

(1)利用和、差函数求导法则构造函数

①对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);

②对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);

特别地，对于不等式f'(x)>k(或<k)(kW0),构造函数F(x)=f(x)-kx(kWO).

(2)利用积、商函数求导法则构造函数

①对于不等式f(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);

②对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g<x)>0(或<0),构造函数F(x)=「W(g(x)W0).

(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数

①对于不等式xf，(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);

②对于不等式xf(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(X)=T(XWO);

③对于不等式xf<x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x);

④对于不等式xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=^(xWO);

⑤对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x);

⑥对于不等式f'(x)-f(x)〉O(或<0),构造函数F(x)Jg

第四招三角问题重在三变

典例4(1)对于锐角a,若sin(a-^1)=|,贝Icos(2a+以=()

A.兰BEC.这D..上

258825

⑵若sin2a=9,sin((3-a)=^,且a£卜空|，则a+P的值是()

A.—B.—

44

C.也或卫D.吆或也

4444

答案(1)D(2)A

解析⑴由a为锐角，且sin(a*)=|,可得cos(a吟)所以cos(2a+^=sin^-^2a+

?)]

=sin(\-2a)=-2sin(a*)cos(a-③

(2)因为ad仁中|,所以2aqm,2n]

又sin2a亭，故2a七椁,n],则a右B,.

所以cos2a=-手.

又眸卜科所以p-aq,用

a+g洋,2n]

又sin(p-a)=^,所以cos(p-a)=-^^.

所以cos(a+p)=cos[2a+(p-a)]

=cos2acos(p-a)-sin2asin(P-a)

_26,3V10\V5^7iO_V2

5\10/510-2，

又a+pe[y,2ir],

所以a+忏g

学一招“三变”是指变角、变数与变式.

(1)变角

如2a=(a+p)+(a-p),a=(a+p)-p等.

(2)变数

特别是“1"的代换』=sin20+cos20=tan45。等.

(3)变式

71+cos2a.7l-cos2a

cosza=——-——,sin-a=―--

tanaitanp=tan(a±p)(l+tanatanp),

2sinacosa2tana

sin2a=2sinacosa=

sin2a+cos2atan2a+l,

cos2a-sin2al-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a="等.

sin2a+cos2atan2a+l

第五招射影定理出奇制胜

典例5已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则

B=.

答案三

解析解法一:因为2bcosB=acosC+ccosA,

所以由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCeosA=sin(A+C)=sin(7t-B)=sinB.

又因为0<B(兀，所以sinBWO,

所以2cosB=l,即cosB=q,所以B3

解法二:由射影定理acosC+ccosA=b,可得2bcosB=b,解得cos因为所以

学一招射影定理:在4ABC中,a二bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.

证明:已知余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,①

b2=c2+a2-2cacosB,②

c2=a2+b2-2abcosC.③

①、②相加，得2c2・2bccosA-2cacosB=0,

即c=acosB+bcosA.

同理可证

a=bcosC+ccosB,

b=acosC+ccosA.

第六招正弦余弦相得益彰

典例6(2019课标全国I理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin

B-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A;

(2)若&a+b=2c,求sinC.

解析⑴由已知得si/B+sin2c・sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得bKcLa'bc.

由余弦定理得cosA二

2DC2

因为0。<人<180。,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°-C,

由题设及正弦定理得々sinA+sin(120°-C)=2sinC,

即争§cosC+|sinC=2sinC,

可得cos(C+60°)=-日.

由于0°<C<120。,所以sin(C+60°)=今

故sinC=sin(C+600-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=^^.

4

学一招1.解三角形中的常用结论：

(1)三角形中的正弦、余弦、正切满足的关系式有:-、=W=-J=2R(R为AABC外接圆

smAsmBsinC

半径);c2=a?+b2-2abcosC;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;a>b<=>A>B«sinA>sinBocos

A<cosB.

(2)三角形形状判断(一般用余弦定理)：

直角三角形Oa2+b2=c2;

锐角三角形Oa?+b2>c2(c为最大边)；

钝角三角形0a2+b2<c2(c为最大边).

(3)在锐角三角形ABC中：

①A+B>],C+B>^,A+C>5；

②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值.

(4)在4ABC中,A,B,C成等差数列0B=60。;在AABC中,A,B,C成等差数列，且a,b,c成等

比数列o三角形ABC为等边三角形.

2.设4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S.

(l)S=gaha=gbhb=gchc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).

(2)S=-absinC=-bcsinA=^casinB.

''222

(3)S=|r(a+b+c)(r为三角形ABC内切圆的半径).

第七招巧妙建系妙解向量

典例7已知同•BC=0,\AB\=\,\BC\=2^D•觉=0,则|前|的最大值为()

A.—B.2

5

C.V5D.2V5

答案C

解析由湘•就=0可知前IBC.

故以B为坐标原点,分别以BA,BC所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐

标系，

则由题意，可得B(0,0),A(l,0),C(0,2).

设D(x,y),则而=(x-l,y),反=(-x,2-y).

由荷•尻=0,可得(x-l)(-x)+y(2-y)=0,

整理得(%-：)+(y-l)2=*

所以点D在以E&1)为圆心，半径尸争勺圆上.

因为|瓦丽表示B,D两点间的距离，

而丽考

所以|前|的最大值为|丽|+『弓+/=有.

学一招坐标法是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点

的坐标表示出来，向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题(平行、垂直、夹角、

模)都可以套用相应的公式解决.如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角

形、等腰梯形、直角梯形等，均可尝试用坐标法解决问题.

第八招玩转通项搞定数列

典例8⑴已知数列｛a“满足ai=2,an-an-i=n(n22,nGN*),则an=.

(2)已知在数列｛a“中,an+i='-an(nWN*),且ai=4,则数列｛an｝的通项a=

n+2n

(3)已知数列｛an｝满足a1=1,an=$n-1+1(n22,neN*),则数列｛an｝的通项an=.

解析(1)由题意可知,a2-ai=2,a3-a2=3,.......,an-an-i=n(n>2,neN*),

以上式子累加得,an-ai=2+3+…+n.

因为ai=2,

所以an=2+(2+3+…+n)=2+(n-1)(2+n)=n2+n+2(n22).

因为a尸2满足上式,

所以a产吆茨(ndN*).

⑵由㊀什尸官an,得鬻=嗫,

故芸芸……，5"2),

以上式子累乘得，回=；-_n-_3*n-2-•n_-_1_—2

34n-1nn+1n(n+l)'

因为a1=4,所以an=而*w(n22).

因为川=4满足上式，所以时就广仁底).

(3)由an=]an-i+l(n22),得an-2=—(an-i-2),Tfnai-2=l-2=-l,

，数列｛an-2｝是首项为-1,公比为：的等比数列.

nn1

，a『2=-(3;an=2-g)-(n^2).

,/ai=1满足上式,an=2-Q)n-1(nGN*).

学一招几种常见的数列类型及通项公式的求法

(1)递推公式为an+i=an+f(n)

解法:把原递推公式转化为an+i-an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.

(2)递推公式为an+i=f(n)an

解法:把原递推公式转化为g=f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解.

an

(3)递推公式为an+i=pan+q

解法:通过待定系数法，将原问题转化为特殊数列｛an+k｝的形式求解.

(4)递推公式为an+i=pan+f(n)

解法:利用待定系数法，构造数列｛bn｝,消去f(n)带来的差异.

第九招把握规律快速求和

典例9已知等差数列｛aQ中,2a2+a3+a5=20,且前10项和Sio=lOO.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛an・2。”｝的前n项和.

(2a2+%+价=4al+8d=20,

解析(l)设等差数列｛an｝的公差为d,由已知得in1OX9.

10Q1HX——a=i1n0%+x45a=1f0i0n,

解得伊？

(d=2,

所以｛an｝的通项公式为a,>=1+2(n-l)=2n-l(neN*).

⑵令bn=2an,由⑴可知an*bn=(211-1)x22n-',

设Tn为数列｛an•bn｝的前n项和，

所以Tn=lx2i+3x23+5x25+…+(2n-3)x22n-3+(2n-l)x22n-1,①

4Tn=1X23+3X25+5X27+-+(2n-3)x22n-'+(2n-1)乂22田,②

352n12n+l

®-@,W-3Tn=2+2x(2+2+--•+2-)-(2n-l)x2,

所以T—2+2x(23+25+…+22九rAQn.DxZZn+i

-3

1

2+2X8。：：)(2一1)X22n+1

-3

-6+2x8(l-4nr)+(6n-3)x22n+1

9

=10+(6n；x22n+%GN*).

学一招1.求数列的前n项和的主要方法

(1)公式法:对于等差数列或等比数列可用公式法.

(2)裂项相消法:将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，

从而累加相消.

(3)错位相减法:若｛an｝为等差数列,｛bn｝为等比数列，则对于数列｛anbn｝的前n项和可用错

位相减法.

(4)倒序相加法:如果一个数列｛an｝中与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数,

那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法.

(5)分组求和法:将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列.

2.常用裂项公式

(1)---=1-—•

n(n+l)nn+l9

(2)=Vn+1・返；

'7=Vn>+l尸+Vn'

(3)an=(an-a-i)+(a-i-an-2)+---+(a2-ai)+ai=—•—....—•ai.

nnan-lan-2

第十招求得通项精准放缩

n

典例10已知首项为2的数列｛an｝满足an+i=an+2-'(neN*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵数歹的前n项和为Sn,证明:2Sn-3<0.

解析⑴因为an+l-an=2叫

所以a2-a1=2°,a3-a2=2',a4-a3=22,,an-an-i=2'b2(n>2),

1n2

将以上(n-1)个式子相加得an-ai=2°+24---+2-(n^2),

即a-ai=——=2n-l-l(n>2).

n1-2

n

因为ai=2,所以an=2n—+l(n22),且ai=2也满足an=2-'+l,

所以数列{an}的通项公式为an=2n」+l(ndN*).

(2)由(1)可得三=舄不高(neN*),

当n=l时,S尸工所以2Si-3<0;

22

当nN2,Sn——+—+—+**,+1<|.即2Sn-3<0.

0-1。2a3KF

综上所述,2Sn-3<0.

学一招常见的几种放缩形式.

⑴

1_1

n2-l-2

⑶白总=2岛―)；

1111

{4}------------<

2n(2n+l)河|)(2呜4n-l4n+3

111

(5>

2n2+n-l2

11

4n-34n+5

第十一招动态几何以静得动

典例11在正方体ABCD-AIBICIDI中,M是CCi的中点，若点P在平面ABB1A1内，且满

足NPDBi=NMDBi,则点P的轨迹是（)

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

答案C

解析因为NPDB尸NMDBi,所以点P在以DBi为轴线,D为顶点的圆锥侧面上.因为点

P又在平面AAiB.B内,所以点P的轨迹为平面AAIBIB与圆锥侧面的交线.设直线DBi与平

面ABBiAi所成的角为a,则有tana考，因为tan/BiDM考，所以a</BiDM,所以点P的轨

迹是双曲线.

学一招1.立体几何中的动态问题，主要有五种类型:动点问题、翻折问题、旋转问题、

投影与截面问题以及轨迹问题，解题时要回归到最本质的定义、定理、性质或现有结论中，

并配以沉着冷静的心态去计算，那么绝大多数问题都可以迎刃而解.

2.平面图形折叠成空间图形问题的解题关键.

平面图形折叠成空间图形的问题，关键是抓住折叠过程中哪些变，哪些不变，将平面图形

与空间图形对照解决.

核心知识与研究方法如下：

几何直观思辨广空间小何体

—|

论证度量计算一点、直线、平面间的位置关系

第十二招秒定球心破解有招

典例12已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球0的球面上，若

AB=3,AC=4,AB，AC,AA产12,则球O的半径为（）

A.-B.2V10C.-D.3V10

22

答案C

解析如图所示,由球心作平面ABC的垂线，垂足为BC的中点M.连接OA,AM,

又AM=-BC=-,OM=-AA1=6,

222

所以球0的半径R=OA=J修)2+62号.

学一招确定常见几何体外接球球心的方法

(1)长方体或正方体的外接球的球心是体对角线的中点；

(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；

(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；

(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算

得至!)；

(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

第十三招巧算方程避免讨论

22

典例13已知椭圆CJ+£=l(a>b〉0),过右焦点F(c,0)的直线1与椭圆C交于A,B两点,

过点F作1的垂线，交直线x=±于PR孔若震的最小值为试求椭圆C的离心率e的取值范围.

C\AB\a

解析设直线益产'(其中t为参数).

联立直线与椭圆方程可得

22

/(coas22a+,si庐na上\、尊2cco厂sa咋c-."。八，

于是|AB|=|tf|=a•cos2asin2a.

M+b2

\x=c+tcos(a-琮)，

易知直线PF:q/2)(t为参数),

(y=tsin(a4--)

又x=?=c+t3cos(a4-；),

jk2

所以|PF|=|R=，一，

csina

鲁旦!(J_+呆sina)2

\AB\2c\a2sinaa2b2Ja

当且仅当sina上时取等号，

c

所以0<-=sin辰1孤吟21,得与泉,即e2返

cba222

故椭圆的离心率e的取值范围是［?』)

学一招直线与圆锥曲线的问题是解析几何的一个基本问题,运算量大是它的一个特点,

根据题设条件，灵活选用恰当的直线方程，与圆锥曲线方程联立,会大大简化求解过程.遇到的

点为(m,0),考虑常规的设法为y=k(x-m)时，往往不如把直线方程设为x=ty+m更加简便,该设法

包括了直线经过该点而斜率不存在的情况，避免讨论，可以减少一些计算量.

经过点(xo,yo)的直线方程的设法主要有：

(1)x=t(y-yo)+xo

当经过点(xo,yo)的直线有斜率不存在的情况时,此类设法占有一定的优势.

(2)直线的参数方程为:：；:需'(其中t为参数£为直线的倾斜角).

第十四招巧用定值曲径通幽

典例14已知直线l:y=x+V^,圆O:x2+y2=5,椭圆£:看曝=19>1)>0)的离心率e=^，直线1

被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

(1)求椭圆£的方程；

(2)过圆0上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证:切线斜率之积为

定值.

解析⑴由题意得，圆心o到直线1的距离则直线1被圆截得的弦长

V2

1=2JZ3=2V2,.\b=V2.

由+12=&2芦a=8,

lb=y/2,

22

故椭圆E的方程为Ol.

(2)证明:设点P的坐标为(xo,yo),过P点与椭圆相切的切线方程为y-yo=k(x-xo).

因为点P在圆x2+y2=5上,所以就+%=5,

y-yo=k(x-x0),

联立方程y2%2

匕+土=L

32

消去y得,(3+2k2)x2-4k(kxo-yo)x+2(kxo-yo)2-6=O,

由题意知A=[-4k(kxo-yo)]2-4x(3+2k2)[2(kxo-yo)2-6]=O,

即2k2(kx()-yo)2-(3+2k2)(kx()-y())2+3(3+2k2)=O,(Xo-2)k2-2xoyok+y^-3=O,

设过P点与椭圆E相切的两条切线斜率为kj,k2.

则k|•|<2=冷|=*=-1(定值)，

哈2xl-2

所以两切线斜率之积为定值.

学一招1.已知椭圆C:，+Q(a>b>0),下列三个斜率的乘积是定值搭：

2

(1)直线1交椭圆于A,B两点,M为AB的中点，若1与0M的斜率存在，则ki•koM=-h^；

(2)点P为椭圆上除顶点外任意一点，过点P的直线1与椭圆相切,若直线1的斜率为k且

不为零，则k•kop=-%;

(3)直线AB过椭圆的中心0,交椭圆于A,B两点,P为椭圆上异于A,B,且使得kpA•kpB

都存在且不为零的点，则kPA-kpB=-g.

2.对于双曲线C:马4=l(a>O,b>O),下列三个斜率的乘积是定值1：

(1)双曲线C上任意两点A,B,P为AB的中点，若AB,OP的斜率存在且不为零，则

.,b2

KAB*k0P=/

(2)点P为C上除顶点外任意一点，过点P的直线1与双曲线相切，若直线1的斜率为k且

不为零，则k,kop=4；

(3)过原点的直线1与双曲线C交于A,B两点,P为C上任意一点,若直线PAJPB的斜率

■h2

存在且不为零，则kpA•kpB二不

a2

第十五招说图有数巧用中值

典例15某技术公司新开发一种产品，分别由A,B两条生产线生产，为了检测该产品的

某项质量指标值(记为Z),现分别随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如

图所示的频率分布直方图：

0.05375

0.03500k——

0.01875--------

0.01125k-

0.00625卜-

3生产线

⑴该公司规定:当Z276时,产品为正品;当Z<76时产品为次品.试估计A,B两条生产线

生产的产品是正品的概率分别为多少；

(2)分别估计A,B两条生产线的产品质量指标值的平均数(同一组中的数据用所在区间

的中点值表示)，从平均数结果看，哪条生产线的产品质量指标值更高？

(3)根据(2)的结论，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少

要占全部产品的40%”的规定？

解析⑴A生产线的产品是正品的概率为(0.05375+0.03500+0.01125)x8=88;

B生产线的产品是正品的概率为(0.06250+0.03375+0.00250)x8=0.79.

(2)设A生产线的产品质量指标值的平均数为元B生产线的产品质量指标值的平均数为女

由题图可得

1=64x0.05+72x0.]5+80x0.43+88x0.28+96x0.09=81.68,9=64x0.05+72x0.16+80x0.5+88x0.27+

96x0.02=80.4,

由以上计算结果可得元〉为因此A生产线的产品质量指标值更高.

(3)由(2)知,A生产线的产品质量指标值更高,且质量指标值不低于84的产品所占比例的

估计值为(0.03500+0.01125)x8=0.37<0.4,所以B生产线的产品质量指标值不低于84的产品

所占比例的估计值也小于0.4,故不能认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的

产品至少要占全部产品的40%”的规定.

学一招利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时易出错,应注意区分这三者.

在频率分布直方图中：

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即众数;(2)中位数左边和右边的小矩形的面积和是

相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形底边中

点的横坐标乘对应的小矩形的面积再求和.

第十六招离参转化速求范围

典例16已知函数f(x)=^+ax(aGR).

若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围.

解析f'(X)=?蒜汇+2=中、

设g(x)=l-x+ae',由题意知g(x)>0在R上恒成立，即l-x+aex^O在R上恒成立.

由eX>0,分离参数可得a2■在R上恒成立.

设h(x)=W，则h<x)=隼，

e人e”

由h*(x)>0得x<2,由h'(x)<0得x>2,则h(x)在(-8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以h(x)max=h(2)q,故

所以a的取值范围是修，+8).

学一招1.已知含参函数的单调性求解参数取值范围的问题，其实质就是利用可导函数

在指定区间内的保号性构造参数所满足的不等关系.由于导函数解析式中含有参数,如果通

过分类讨论来求函数的单调性，过程就会比较复杂，所以最简单直接的方法就是把导函数中

的参数分离出来，再讨论参数与对应函数的最值之间的关系.

分离参数时应注意两个方面:一是参数的系数是不是0；二是参数的系数符号.

2.参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设x为自变量，其范围设为D,f(x)为函数,a

为参数,g(a)为其表达式).

若f(x)的值域为

(1)Vx@D,g(a)Wf(x),则只需要g(a)Wf(x)min=m,

VxGD,g(a)<f(x),则只需要g(a)<f(x)min=m;

(2)VxCD,g(a)2f(x),则只需要g(a)2f(x)max=M,Vx^D,g(a)>f(x),则只需要

g(a)>f(X)max=M；

(3)3xoeD,g(a)Wf(xo),则只需要g(a)Wf(x)max=M5xoeD,g(a)<f(xo),则只需要

g(a)<f(X)max=M；

(4)3xo£D,g(a)2f(xo),则只需要g(a)^f(x)min=m,3xoWD,g(a)>f(xo),则只需要

g(a)>f(X)min=m.

第十七招巧拆函数有效分离

典例17已知函数f(x)=lnx+ga〉O).

证明:当a泊时,f(x)>e。

e

证明要证明当a与时，f(x)>e-x,

e

即证明当x>0,a2勺寸,xlnx+a>xex.

e

令h(x)=xlnx+a,x>0,则h'(x)=lnx+1.

当0<x<工时,h'(x)<0;当x>工时,H(x)〉0,

ee

所以函数h(x)在(0*)上单调递减，在Q,+8)上单调递增.

所以h(X)min=hQ)=++a.

故当时,h(x)2-j+a，j.①

令(p(x)=xe",则(p,(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).

当0<x<l时,C(x)>0;当x>l时,C(x)V0.

所以函数(p(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以(p(X)max=(p(l)A

故当x>0时,(p(x)W:②

显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当a次时，f(x)>ex.

e

学一招若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成，当整体处理难度较大时，可以

尝试用拆分函数的方法去解决，实际上参变分离即为拆分函数的一种特殊情况，参变分离较

多运用在带参数的二次方程或不等式中,而拆分函数则有更大的运用范围.

第十八招妙用判别玩转方程

典例18设x,y为实数，若4x?+y2+xy=l,则2x+y的最大值为.

把安2^^

「木~~

解析设2x+y二t,则y=t-2x,代入4x2+y2+xy=1中，有6x2-3tx+G-l=0,将它看成一个关于x

的二次方程,

贝I」A=(-3t)2-24(t2-l)^0,

解得一争Wtw等.

故2x+y的最大值为工骨.

学一招判别式法是一种技巧层次的解题方法,是把题设中的条件转化为一个方程，或

者能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法.

实系数二次方程根的判别式在解题中具有极其重要的地位，其主要用途有以下几个方

面：

(1)不用解方程,直接根据判别式的值判断方程的实数根的情况；

(2)根据方程有无实数根的情况确定方程中某一待定系数的取值范围；

(3)结合反表示法求分式函数的值域；

(4)结合函数的零点相关知识进行多角度考查.

以上几种情况都是以方程和函数为载体的直接呈现.

第十九招绝对值题四法破题

典例19方程|ax-l|=x的解集为A,若Ac[0,2],则实数a的取值范围

是.

答案(-8,-1]U[|,+8)

解析解法一:|ax・1|=x=(a2-1)x2-2ax+1=0(x^0).

当a=l时,A=g}u[0,2];

当a=-l时,A=0c[0,2];

当aW±l时,(a2-l)x2-2ax+l=0的解为XI='7，X2=3■，要使AG[0,2],

=<0,0<±W2,

则需或a+1

°<肃<0<^-<2,

a-1