2016届高三数学（理）33个黄金考点总动员考点13三角函数的图像和性质解析版含解析

2016届高三数学33个黄金考点总动员

考点13三角函数的图像和性质(理)

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(D考查三角函数的值域与最值

(2)考查三角函数的单调性

(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值

2.命题方向预测：

(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.

(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.

(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.

3.课本结论总结：

(1)由y=sinx的图象变换到y=4sin的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸

缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是I4号>I(3>。)个单位.原因在于相位变换和

周期变换都是针对X而言，即X本身加减多少值，而不是依赖于3X加减多少值.

(2)y=sinx的性质：①定义域为R,值域为［-1,1］；②是周期函数，最小正周期为2万；

7T7T7TJ7T

③在——+—+2,k/r(kcZ)单调递增，在—4-4-2k/r(&wZ)单调递减；

TTTT

④当x=3+2k肛kEZ时,ymax=1；当工=一万+2%肛4EZ时，ymin=-1；

⑤其对称轴方程为x=y+版■伏eZ),对称中心坐标为心肛0),keZ.

(3)y=cosx的性质：①定义域为R,值域为［—1,1］；②是周期函数，最小正周期为27；③在

［一万+2k肛2左万］(AeZ)单调递增，在［2人耳%+247］(女eZ)单调递减；④当x=2%左,女€Z时，

>max=l；当x=zr+2女乃，女eZ时，ymin=-1；⑤其对称轴方程为x=人万伙eZ),对称中心坐标为

(4乃+、,0),AeZ.

(4)y=tanx的性质：①定义域为(x|xR、+%肛kez1,值域为R；②是周期函数，最小正周期为

万；③在（―1+左肛'+左7}%eZ）单调递增；④其对称中心坐标为

4.名师二级结论：

（1）由，片sinx的图象变换到y=4sin（。入+0）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸

缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是一乙（3＞0）个单

（JL）

位.原因在于相位变换和周期变换都是针对X而言，即X本身加减多少值，而不是依赖于。*加减多少值.

M'—rjjIII

（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为也最小值为小，则/=一丁，k=F~,3由周期7确定，

9JI

即由一=7求出，。由特殊点确定.

CO

（3）作正弦型函数y=4sin（0）的图象时应注意：

①首先要确定函数的定义域；

②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个

函数的图象.

（4）求三角函数值域（最值）的方法：

①利用sinx、cosx的有界性；

②形式复杂的函数应化为y=Asin（m+°）+k的形式逐步分析姐的范围，根据正弦函数单调性写出

函数的值域；

③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.

5.y=Asin（5+e）、y=Acos（s+*）、y=Atan（5+°）的性质：

①周期性

函数y=4sin（Qx+0）和尸/cos（ox+。）的最小正周期为y=tan（。）的最小正周期为丁一.

I3II3|

②奇偶性

三角函数中奇函数•般可化为y=/sin3才或尸戊anax,而偶函数一般可化为尸/fcos3彳+。的形式.

③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将以+夕看作一个整体.

5.课本经典习题：

⑴新课标A版第147页，第A9题（例题）已知y=（sinx+cosx）2+2cos2x.

①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值.

【解析】y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+2sinxcosx+1+cos2x=2+sin2x+cos2x

=V2sin(2x+7)+2

rrTT37r7c57r

①令一+2女乃＜2工+乙＜—+2k兀，解得。+k兀+k兀,即函数的单调区间为

24288

—Fkjr.---卜k,7C(kGZ);

_88J

②由题意得，ymax=V2+2,ymjn=-V2+2.

【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质

(2)新课标A版第147页，第A10题(例题)已知函数/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin。.

TT

①求/(X)的最小正周期；②当XG0,1时，求/(X)的最小值以及取得最小值时X的集合.

【解析】/(x)=cos4X—2sinxcosx-sin'x=cos*x-sin*x-sin2x=cos2x-sin2x

=0cos(2x+j).

2冗

①T=--=^；

©,/xe0=二亍，则一14cos(2x+1)4即/(x)-=-0,此时,2X+^=.T,

即x=W,即取得最小值时x的集合为一泞｝.

8.8J

【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质

6.考点交汇展示：

(1)与定积分的交汇

In

【2014高考湖南卷第9题】已知函数/(x)=sin(x-夕),且『/(x)dx=0,则函数/(x)的图象的条对称

轴是()

5万「77r「冗c7i

AA.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

61236

【答案】A

jrrr

【解析】函数/(X)的对称轴为工一9=万+占"=>X=(p+-^+k[7T,

所以---(p—k?7i=>(p-----k27c，即对称轴x=(p〜----卜尤乃=------右兀+k^7r(£N)

3326

贝ijx=卫5万是其中一条对称轴，故选A.

6

【考点定位】三角函数图像辅助角公式定积分

(2)与平面向量的交汇

【2014高考山东卷第16题】已知向量。=(cos2x),B=(sin2x,〃)，设函数/*)=〃/,且y=/(x)

的图象过点(―,VJ)和点(-^—,—2).

(I)求团,〃的值；

(II)将y=/(x)的图象向左平移w(0<°<〃)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)的图

象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求〉=8(］)的单调增区间.

［答案］(I)m=V3,n=l.

TT

(n)函数y=g(x)的单调递增区间为伏》—乙,女幻,％eZ.

【解析】

试题分析:(1)由题意知/'(x)=a・3=»?sin2x+〃cos2x.

厂7T71

=，%sin—+12cos二

根据的图象过点《我和浮「得到，66

y=f(x)2),9

4九*4iT

-2=???sin—+?7cos—

a

解得m=JJ：刀=1.

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由题意知：g(x)=/(x+9)=2sin(2K+2°+二)，

6

依题意知到点(0,3)的距离为1的最高点为(0二).

将其代入I'=g(x)得sin(2。+—)=1»

6

可得0二二，得到g(x)=2sin(2x+f=2cos2x,

62

由2k兀一冗W2x£2k乐kwZ,得

冗

k:r-^<x<k兀:keZ>

TT

得到y=g(x)的单调递增区间为伏乃幻«eZ.

试题解析:(1)由题意知：/(x)=a^=msin2x+ncos2x.

/(x)的图象过呜，回和苧-2)

因为y=

区.兀71

73=msin—+zicos—

所以《66

_.4%4/r

-2=msin——+ncos——

33

即《

解得m==

(2)由(1)知：/(x)=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由题意知：g(x)=f(x+0)=2sin(2x+2©+：)，

6

设j=g(x)的图象上符合题意的最高点为(毛：2),

由题意知：£+1=1,所以毛=0,

即到点(0J)的距离为1的最高点为(0J).

将其代入J=g(x)得sin(20+;)=1,

6

因为0v@<；T,所以9=］，

因此g(x)=2sin(2x+-^)=2cos2x>

由1k冗一冗W2xW2k兀:kwZ,得

冗

k冗一^<x<k7T,keZ9

7T

所以，函数y=g(x)的单调递噌区间为枕;r-9次幻状eZ.

考点：平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质

(3)与解三角形的交汇

【2015高考湖南，理17】设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且8为钝

角.

71

(1)证明：B-A=~；

2

(2)求sinA+sinC的取值范围.

J?9

【答案】(1)详见解析；(2)(注,3.

28

【解析】

试题分析：(1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sinB=sin(；+H),再结合条件从而得证；(2)

利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将sinX+sinC转化为只与，有关的表达式，再利用三角函数的

性质即可求解.

试题解析：(1)由a=btanH及正弦定理，得""'=—=sin5=cosA>即sin3=sin(—+J),

cos^4bsin52

父5为钝角，因此三十Xe(j：笈)，故3=<+乂，即3—4=7；(2)由U)知，C=；T—(X+B)

；r-(2a+m)=不一24>0,Je(0:-),于是sinJ+sinC=sin^-l+sin(--2-4)

■/一

1QTJ5

=sinA+cos2J=-2sin*^4+sin^44-1=-2(sin^4—)*+—,<0<Xv二，0<sinA<—,因此

*<-2(sin由此可知sinX+sinC的取值范围是

248828

【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.

【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答

题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，

难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，•般运用恒等变换，将未

知角变换为一知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化

为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面

积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.

【考点分类】

热点一三角函数的图像

1.12015高考山东，理3】要得到函数y=sin4x—(的图象，只需要将函数〉=5吊4》的图象()

7T7T

(A)向左平移一个单位(B)向右平移一个单位

1212

(C)向左平移27T个单位(D)向右平移勺7T个单位

33

【答案】B

【解析】因为尸sin4xg；=sin4x—J；，所以要得到函数］•=sin七一丁；的图冢，只需将函

7T

数i：=sin4x的图象向右平移二个单位.故选3.

12

【考点定位】三角函数的图象变换.

【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正

确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

2.【2015高考四川，理41下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()

JI

(A)y=cos(2x+—)(B)y=sin(2x+y)(C)y=sin2x+cos2x(£>)y=sinx+cosx

【答案】A

277

【解析】对于选项A,因为y=—sin2x,T=m=乃，且图象关于原点对称，故选A.

【考点定位】三角函数的性质.

【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，

但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数

是偶函数，故均可排除，所以选A.

3.12014全国1高考理第6题】如图，图0的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为

射线0A,终边为射线0P,过点P作直线0A的垂线，垂足为M,将点M到直线0P的距离表示成x的函数/(x),

则>=/(x)在［0,4］的图像大致为(

【答案】C

【解析】

试题分析：如图所不，当OWx4—时，在中，Q1/=。产cosx=cosx.在KrAOJ/D中，JO=

jr

OMsinx=cosxsinx=-sin2x；当;vx«；r时，在KzAORl/中，OM=OPcos(^-x)=-cosx,

在火f'Ql/Z)中，MD=OMsin(,T-x)=-cosxsinx=--^sin2x,所以当OWXWTT时，］=f(x)的图

冢大致为C.

【考点定位】1.解直角三角形；2、三角函数的图象.

4.[2015高考湖北，理17]某同学用“五点法”画函数/(x)=4sin(s+0)(°>0,|夕|<,在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

兀3兀

cox^cp0n2兀

22

兀5兀

X

36

Asin®x+(p)05-50

(I)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数/(幻的解

析式；

(II)将y=图象上所有点向左平行移动，(。>0)个单位长度，得到y=g(x)的图

象若y=g(x)图象的一个对称中心为(募，0),求。的最小值.

【答案】(I)/(x)=5sin(2x--)(II)

6;6

【解析】(I)根据表中已知数据，解得.4=5,0=2,。=-1数据补全如下表:

0

兀3兀

0冗27

KK7兀5%13

X一兀

12312~612

月sin(0X*o)050—50

且函数表达式为/(X)=5sin(2x-4)

TE7T

(II)由(I)知/(x)=5sin(2x—),得g(x)=5sin(2x+2。—).

66

因为丁=sinx的对称中心为(讥0),ke1

令2*-2夕4㈤解得x哼后31

由于函数J=g(x)的图冢关于点0)成中心对称，令今

解得""_事kwZ.由”0可知，当彳=1时，，取得最，卜值之

236

【考点定位】“五点法”画函数〃x)=Asin®x+夕)(。＞0,⑷〈,在某一个周期内的图象，•:角函数的平移

变换，三角函数的性质.

【名师点睛】“五点法”描图：

(l)y=sinx的图象在血2汨上的五个关键点的坐标为：(0,0),(y,l),(n,0),-1),(2兀，0).

Jr37r

(2)y=cosx的图象在［0,2兀］上的五个关键点的坐标为：(0,1),(―,0),(兀，—1),(——,0),(2n,1).

【方法规律】

1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为＞=45足(皿+0)(4＞0,。＞0)或

9JI

y=Acos(m+°)(A〉0,cy＞0)的形式；②求出周期7=二丁；③求出振幅4④列出一个周期内的五个特

殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点.

TT

2.y=Asin(3+0)的图象有无穷多条对称轴，可由方程加+尹=人乃+万伏eZ)解出；它还有无穷多个

对称中心，它们是图象与X轴的交点，可由01+9=人乃(AwZ),解得x=­L(〃ez),即其对称中心

为dk——n—(b0)acz).

CL)

3.相邻两对称轴间的距离为T，相邻两对称中心间的距离也为*

【解题技巧】根据y=Asm(cox+(p)+k(A＞0,。〉0)的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考

虑：

最高占一最低点

(1)4的确定：根据图象的最高点和最低点，即/二＞巴…2取队”；

(2)4的确定：根据图象的最高点和最低点，即“=最仙-点';最低点;

(3)。的确定：结合图象，先求出周期T,然后由7=空(。＞0)来确定3；

CL)

（4）。的确定：法一：代入图像的最高点坐标（x”x）或最低点坐标（々，当），则如i+e=；TT+2A7T（kwZ）

、3万、

或如？+9=5+2攵%（攵GZ）,求。值.

,（I）（I）

法二：由函数y=4sin（"+O）+4最开始与x轴的交点的横坐标为一一（即令3叶。=0,x=——）确定

（jJ（JL）

如：将函数〃x）=sx（其中。>0）的图象向右平移3个单位长度，所得图象关于x=I对称，则。的

2o

最小值是

46B.&C?D.4

344

【答案】D

【解析】试题分析：将f（x）=5M3x的图冢向左平移二个单位，所得图象关于尸说明原图家关于x

26

=一二"对称，于是f{―――）=-）=±1>故「"二=k兀+二（依上,w=3j-+—（JJ-G2）,由

333324

于M>0,故当片0时取得最小值2.选。

4

【考点】三角函数的图象与性质

【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由？=45沦加（4〉0,。〉0）的图像变换成

y=Asin（（vx+^）（A>0,（y>0）的图像的变换过程：y=Asin（tax+^）=Asin［（y（x+—）］（A>0,。〉0）的

CD

\（p\

图像由旷=45出姓（4〉0,啰〉0）的图像向左（e>0）或向右（°<0）平移吧个单位长度.

CD

如：【2014浙江高考第4题】为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像，可以将函数y=JIsin3x的图像

()

A.向右平移27F个单位B.向左平移2n个单位

44

C.向右平移二7T个单位D.向左平移上7T个单位

1212

【答案】D

【解析】y=sin3x+cos3x=J^sin（3x+?）故只需将y=&sin3x向左平移气个单位.

4

考点：三角函数化简、图像平移.

热点二三角函数的最值

1.12015高考安徽，理10】已知函数〃x)=AsinWx+°)(A,口,尹均为正的常数)的最小正周期

27r

为万，当X=1-时，函数/(X)取得最小值，则下列结论正确的是()

(A)/(2)</(-2)</(0)(B)/(O)</(2)</(-2)

(C)/(-2)</(0)</(2)(D)/(2)</(0)</(-2)

【答案】A

27T2b

【解析】由题意,/(X)=Asiniax+0：l(J>0,ey>0,<p>0)»T=---=—=719所以。:，则

⑷d)

/('x')=Asin(2x+(:?).而当x=W时，2x二^+°=3+2%T庆cZ,解得夕=：+2k兀2cZ.

3326

所以〃x)=Asin2x+/a>0)，则当2x+?=:+”，即x.+Ax-Z时,/d)即得最大

值要比较)的大小，只需判断2：-20与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大,

值越小，易知0,2与工比较近，—2与一”比较近，所以，当左=0时，x=~,此时|0-¥H0.52,

6666

rr《7《7

|2--|=1.47,当k=T时，x=--,此时一2-(一=)=0.6,所以/(2)v〃-2)</(0),故选A.

666

【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.

【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函

数解析式，如本题通过周期判断出口，通过最值判断出夕，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较

大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数

图象的特征进行判断即可.

2.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

TT

y=3sin(—x+°)+k,据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()

6

A.5B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由图象知：ymin=2,因为Vmin=-3+左，所以-3+欠=2,解得：k=5,所以这段时间水深的

最大值是=3+左=3+5=8,故选C.

【考点定位】三角函数的图象与性质.

【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题.解题时一定要抓住市:要字眼“最大

值”，否则很容易出现错误.解三角函数求最值的试题时:我们经常使用的是整体法.本题从图象中可知

sin(菅x+°)=-l时，y取得最小值，进而求出左的值，当sin[^x+e]=l时，y取得最大值.

3.12014全国2高考理第14题】函数/(x)=sin(x+28)-2sin°cos(x+o)的最大值为.

【答案】1

【解析】由题意知：f(x)=sin(x+2(p)-2sin<pcos(x+(3)=sin[^+(x+<p)]-2sin0cos(x+0)

=sincos(x+^>)+cossinIx+(p)-2sincosIx+<p]-cossin(x+^?)-sin^?cos(x+(p)

=sin[(x+<p)-<?]=sinx,即/(x)=sinx,因为xe&,所以f(x)的最大值为1.

【考点】本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的

关键.

7T7T

4.12014高考江西理第16题】一知函数/(元)=5m(1+6)+485(1+2。)，其中QE/?超£(一于5)

(1)当。=啦,。=巳时，求/(x)在区间[0,加上的最大值与最小值；

4

7T

⑵若/勺)=0,/(万)=1,求4,9的值.

历"=T

【答案】(1)最大值为注，最小值为T.(2)%.

20——

6

【解析】

试题分析：(1)求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当。=&g=2时，

4

/(%)=sin(x+?)+后cos(x+y)=*sinx+Y^cosx-V2sinx=sing-x),再结合基本三角函数性质求最

值：因为x€[0/],从而f-xe[-苧,£],故/(X)在[0,句上的最大值为正，最小值为-L(2)两个独立

4442

f(-)=0Icos0(\-2asin^)=0冗4

条件求两个未知数，联立方程组求解即可.山12，得2asin；e-sin9-a=l'乂夕《玛苧知

.fw=11osinsina-

a=-\

cos”0,解得工乃.

u=---

6

试题解析：解(1)当a==；时，

fx()=sin(x--V5cos(x-y)=^inx-〈cos工-V2sinx=sin(^--x)

因为xe［0用，从而：丁_、4一3丁T片JT］

444

故/(X)在［0,T］上的最大值为《，最小值为-1.

I=-1

/(£)=0/B.cos^(l-2asin^)=0

(2)由,:又dw(一W)知cost?=0,解得'；K

九二._1仲'26tsin^-sin^-a=l

jm=1•I6

考点：三角函数性质

(方法规律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：

(1)利用sinx、cosx的有界性;

(2)形式复杂的函数应化为尸4sin(ox+0)+4的形式逐步分析。x+0的范围，根据正弦函数单调性写

出函数的值域：

(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为

y=Asin®x+勿)+k(A>0,切>0)的形式，再进行求解.

①当xeH时，ymax=A+k,ymin=-A+k-,

②当xe[a㈤时.，则先求m+e的范围，再利用正弦函数y=sinf的图像写出函数y=sin(m+°)的最值,

再进一步求解.

如：【2014全国2高考理第14题】函数/(x)=sin(x+2e)-2sin9cos(x+9)的最大值为..

【答案】1

【解析】由题意知：f(x)=sin(x+2夕)-2sin°cos(x+0)=sin[°+(x+夕)]-2sin0cos(x+(p)

=sin9cos(x+0)+cos夕sin(x+°)—2sin^>cos(x+^)=cos^sin(x+^)-sinQcos(x+°)

sin[(x+(p)-(p]^sinx,即/(x)=sinx,因为xeR，所以/(x)的最大值为1.

【考点】本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的

关键.

【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成y=Asin(双+0)+%的形式，但不要忽

视变形中的等价性，如定义域的变化.

如：【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数》=出匚*土的值域是()

COSX

A.[-4,0]B.[-4,4)C.[-4,0)D.(-4,0]

【答案】D

【解析】

jr工

试题分析：先由cosxx0=XHz)得函数的定义域为｛xc出x=再由

I=cos三:一c°sX化简得I，=Tsin：X,由于XH%r+2.(kez)所以04sin?x<1,从而

cosx2

-4<-4sin:x<0,BP-4<y<0,故选D.

考点：三角函数的值域.

热点三三角函数的性质

1.12015高考新课标1,理8】函数/(x)=cos(3x+°)的部分图像如图所示，则/(x)的单调递减区间为

()

1313

(A)(攵4——,k兀+—),keZ(B)(2ZTT—2k4H—),kGZ

4444

keZ

【答案】D

171

—co+(p=—

A7TTTT

【解析】由五点作图知，■,解得0»=万，(p=—,所以/(x)=cos(乃x+—),令

53万44

—G)+(P=-----

142

2人%<%x+工<2k乃+肛AeZ,解得2k—上vx<2人+±,《wZ,故单调减区间为(2k——,2k+~),

44444

k&Z,故选D.

【考点定位】三角函数图像与性质

【名师点睛】本题考查函数y=Acos(«yx+e)的图像与性质，先利用五点作图法列出关于以夕方程，求

出59,或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出©,利用特殊点求出夕，再利用复合函数单调性

求其单调递减区间，是中档题，正确求。，夕使解题的关键.

2.12015高考湖南，理9】将函数/(x)=sin2x的图像向右平移以0<9<9个单位后得到函数g(x)的

图像，若对满足|/(X])—g(X2)|=2的X],X2,有ki-々Imin=9，则夕=()

57r_7t„7t7t

A.—B.—C.—D.一

12346

【答案】D.

【解析】

试题分析：向右平移夕个单位后，得至(Ig(x)=sin(2x-2(?),又『(xJ-gCq)1=2,...不妨

—丁一三

23=；+2左笈，2七一2夕=一;"+2也；r,・••演一七=：一夕+(左一次)；1,又丁|毛一工4心=工，

jrjr7T

--0=二=夕=二，故选D.

236

【考点定位】三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以

/(x)=Asin(©+e)为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉二角恒等变形，对」.

角函数进行化简；：是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.

3.12015高考上海，理13】已知函数/(x)=sinx.若存在占,x2,•••,x,“满足0<%<x2<…<x,"W6工，

且|/(须)-/卜2)卜|/(々)-/(演)卜・一+|/(七_1)-/(/)|=12(m>2,meN*),则m的最小值

为-

【答案】8

【解析】因为〃x)=sinx,所以|/(乙)一/(匕)仁/(初皿一/(初检=2,因此要使得满足条件

|/(%)一/(超)|+/(马)一/(七)|+…+/(X.T)一/(%)|=12的m最小,须取

人九■3乃5万7乃9乃1\n/口r.c

X\=0'X2=万，覆=—>X4=亏，工5=亏，％=~^X7=~Y^Xi=61,即m=8.

【考点定位】三角函数性质

【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的

一个行之有效的方法.

4.【2015高考重庆，理18】已知函数/(x)=sin［q-x)sinx-Jicos?x

(1)求〃x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论/(x)在上的单调性.

【答案】⑴最小正周期为p，最大值为弓旦(2)“X)在崇!|］上单调递增；/(x)在店，争上

单调递减.

【解析】

11j/(x)=sin-xsinx-^/3cos:x=cosxsinx-(1+cos2x)

=：sin2x-£(1+cos2x)=gsin2x-坐cos2x-*=sin(2x-m)-£

因此f(x)的最小正周期为,7,最大值为三&

㈡当工w［工工］时，有0K2x-1二乃，从而

633

当0S2x-14：时即.4x4蓑时，f(x)单调递噌，

TTTT'亢27F

当二£2万-三£『时即二WxWq时，/(x)单调递减,

23123

综上可知，/（x）在UTT,357r］上单调递增；/（X）在［537r,2丝7r］上单调递减.

612123

【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力.

【名师点睛】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式

这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函

数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解，三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的

方法进行研究.

【方法规律】y-Asin（<ax+（p）>y=Acos（3x+°）、y=Atan（&r+e）的性质：

①周期性

函数尸4sin（Qx+0）和y=4cos（3x+。）的最小正周期为y=tan（ox+。）的最小正周期为7^7.

②奇偶性

三角函数中奇函数•般可化为y=/sinox或y=/tana>x,而偶函数，一般可化为尸力cos。了+6的形式.

③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将。X+9看作一个整体.

如：【2015高考北京，理15】已知函数/（x）=&sin］cos:逝sin£.

（I）求〃x）的最小正周期；

（II）求“X）在区间［-兀,0］上的最小值.

【答案】（1）2万,（2）—1-----

2

【解析】

(I)f(x)=亚sin±cos——V2sin*'=也.-sinx-&1-cosX

2222

⑴/G）的最小正周期为T=半=2兀；

（2）V一然二一三4x+三42，当x+2=-2,x=-正时，/Q）取得最小值为:

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考点定位：本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降基公式与辅助角公

式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等.

【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用

降幕公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y