奥数-圆-圆幂定理6学

第10讲圆幕定理，圆中比例线段

证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有（1）利用平行线分线段成比例定理；（2）利用相似三角

形给出证明；（3）利用圆塞定理给出证明；（4）利用面积或三角函数给出证明.

一、基础知识

1、相交弦定理

如果圆内两条弦AB和CD相交于点P,那么PA•PB=PC•PD（如下图1）；

2、割线定理

如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD,那么PA•PB=PC•PD（如下图2）；

3、切割线定理

如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC,那么PA•PB=PC2（如下图3）；

二'例题

例1已知，如图AB是OO的弦，P是AB上一点，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求：。。的半径.

例2如图，已知。Oi和。02相交于CD两点，其外公切线AB分别切。Oi、。。2于点AB,求证：直线

CD平分线段AB.

例3如图，E是圆内弦AB、CD的交点，直线EF〃CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G,连结EG,

求证：ZFEG=ZFGE.

例4如图，PA切。O于A,PBC是。。的割线，M是PA的中点，MC交。。于N,PN的延长线交。O

于D,连结BD,求证：PA〃BD;

例5如图，已知B是线段AC上任一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、AnC,

若CD切半圆AMB于点D,EB±AC,B为垂足，且交半圆于E,M是DE的中点，求证：CM±DE.

例6如图，在/ABC中，AB>AC,如果/ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC=2AC；

例7图中，AB是。O的直径，直线MN切。O于点C,AD_LMN于D,AD交。O于E,AB的延长线

交MN于点P,求证：AC2=AE•AP；

例8如图，/ABC中，NA的平分线AD交BC于D,。。过点A,且和BC切于点D,和AB、AC分

别相交于E、F,AD与EF相交于G,求证：BD•EG=BE•EA；

例9如图，已知BC是圆中一条弦，EF切圆于A,AD_LBC于D,BE_LEF于E,CF_LEF于F,求证:

AD2=BE•CF；

例10如图，P是。O的直径AB延长线上一点，割线PCD交。O于C、D两点，弦DFLAB于H,CF

交AB于点E,求证：PA•PB=PO•PE；

例11如图，已知PA、PB是。O的切线，切点为A、B,PCD是割线，求证:

AC•BD=AD•BC

例12如图，BC是圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A,ADLBC于点D,

求证：PD•PO=PC•PB

CDAC2

例13如图，过/ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延长线于D,求证:

BD—AB2

例14（托勒密定理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB•CD+BC•AD=AC•BD

练习题

1.如图，PA为。O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm,PB=5cm,求。O的半径.

2.过。O外一点P作。O的两条切线PA、PB,连结OP与AB交于D,与。O交于C,过C作AP的

垂线，垂足为E,若PA=10cm,PC=5cm,则CE=；

3.AB、AC分别是。。的切线与割线，若NC=45°,ZBDA=60°,CD=J^,求切线AB的长;

4.如图A、B、C、D四点在同一个圆周上，且BC=CD=4,AE=6,线段BE和DE的长都是正整数,

则BD的长等于；

5.在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切，若AB=4,BE=5,

贝!