常微分方程试题

《常微分方程》期末考试卷(1)

姓名班级_______座号成绩

一、填空题：(每小题3分，5X3=15分)

1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子〃="(y)的充要条件为.

2、//(%,y)连续是保证/(x,y)对y满足李普希兹条件的条件.

3、方程位=sinx•cosy满足解的存在唯一性定理条件的区域是______.

dr

4、若y=/(x),y=e2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)

共同零点.

5、设〉(》)=，］»(%)+€72(》)+匕,(》)是方程＞"+了+/=1的通解，则limy(x)=.

二、选择题：(每小题3分，5X3=15分)

1、方程寸=3)冰过点(0,0)有().

dr

(A)只有一个解(B)无数个解(C)只有两个解(D)只有三个解

2、设p(x),q(x)连续,(x),〉2。)是〉"+0(外＞'+4(%)天=0在(-8,+0。)上的两个线性

无关解，且为"(0)=0,><(0)=0,则().

(A)p(0)=0,q(0)=0(B)p(0)=1,式0)=0

(C)p(0)=0,贝0)=1(D)p(0)=l,q(0)=l

3、二阶线性非齐次微分方程的所有解().

(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间

4、如果f(x,y),都在xoy平面上连续,而且/(x,y)有界，则方程位=/(x,y)的

oydx

任一解的存在区间().

(A)必为(-00,+8)(B)必为(0,+00)

(C)必为(-00,0)(D)将因解而定

5、若①(x)是线性齐次方程组史=A(x)Y的一个基解矩阵，T为非奇异〃x〃常数矩阵，那

dx

么①(x)T是否还是此方程组的基解矩阵.()

（A）不是（B）是（C）也许是（D）也许不是

三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8X2=16分）

1、y—+xy2=x2、（x+2y）6x-xdy=0

dx

四、设有连接点。（0,0）和4（1,1）的一端向上凸的曲线弧04,对04上任一点尸（x,y）,曲线

OP与直线段方所围图形的面积为求曲线弧0A的方程.（8分）

五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8X3=24分）

1、x"+x-sint

2、y/+（y）2=0

3、已知方程—3y=4/有一个解%（x）=xe、，试求该方程的通解.

六、求解下列微分方程组

，

虫

小=3x+y+1「［

<

电满足初始条件。（o）=一的解。（io分）

，

=3y_1一

力

)

七、证明题：（每小题6分，6X2=14分）

1、假设方程位=/（x,y）在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且％（x）,%。）是定义在

dx

区间/上的两个解.求证：若丹（%）<乃（项）），/£/，则在区间/上必有力（幻<y2（^）

成立.

2、证明当p>0,q>0时，方程y"+py'+qy=0的一切解当xf+8时，都趋于零.

2

《常微分方程》期末考试卷（1）

评分标准既参考答案

一、填空题：（每小题3分，5X3=15分）

1、。鲁一詈2、充分条件，3、整个X。y平面，4、无，5、1

二、选择题：（每小题3分，5X3=15分）

1、B2、A3、C4、A5、B

三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8X2=16分）

1、解y包=x（l—）2）..........（3分）

dx

当yw±l时，一=xdx........（3分）

1-丁

从而得y2=]_ce”（c为非零的常数）

另外y=±l是方程的解，所以通解为丁2=1一*4（。为任意的常数）……（2分）

2、解xdx+2ydx-xdy=0

两边乘以积分因子4有.....（3分）

T

1,x2dy-2xydx八,八、

—dx----；）=0……（3分）.

XX

得-+-4=C（c为任意的常数）……（2分）

XX

四、解设曲线弧0A的方程为了=/（%）

山题意可知，^f（x）dx--xf（x）^x2……（3分）

Jo2

两边对x求导，有r（x）=2—4,……（3分）

X

得/（x）=cx-4xlnx,由=可知c=l

所以曲线弧0A的方程为/（x）=x—4xlnx.....（2分）

五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8X3=24分）

1、解特征方程为万+1=o,得4=±i...（3分）

3

由于％=也是单根，因此设非齐次方程的特解£=f（Acosf+8sint）

代入原方程得A=-工,8=0,所以特解为土二

=—cost...(3分)

22

1

f

故原方程的通解为x=ctcosr+c2siin/--icost（2分）

2、解方程化为（力'）'=0

于是有yy'=q,G为任意的常数（4分）

y—=c},BPydy=cidx（2分）

dx

1.

所以通解为=C|X+C2CpC2')5任意白勺常数…（2分）

3、解将%（刈=配、代入原方程得。=2...(3分)

于是齐次方程为/+2/-3y=0

相应的特征方程为/I?+22-3=0,得4=：-3,4=1...(3分)

3xx

所以原方程的通解是y=c,e-+c2e''+xe（2分）

六、求解下列微分方程组

解特征方程为

2-3-1

=（几一3）2=0,所以特征根为2=3（二重）…（2分）

02-3

对应齐次方程组的基解矩阵

expAf=e"(/+(A-3E)f)=e"；；(3分)

满足初始条件的特解

=expAf〃+expAf]exp(-As)/(s)ds.................(2

分）

4

iJ+eL°i」［o

ee33''

七、证明题：（每小题6分，6X2=12分）

1、证明：设存在为€/,使弘（演）>>2（/）……（2分）

令50）=%（％）-%0）于是有5（5）<0,$0］）>0……（2分）

又知s（x）在/上连续，由连续函数的性质必存在Je/（J介于/与西之间）

使得s（9=0,即3（9=），2«），从而破坏了解的存在唯一性

所以假设不成立，在区间/上必有必（x）<%（x）成立（2分）

2、证明：特征方程为/V++q=0

_-p±ylp2-4q

4,2-2"

（2分）

当p〉0应>0,而且p?-4q20时，此时方程的特征值均为负实数，

当p>0,q>0,而且p2-4q<0时，此时方程的特征值均具有负实部........（2分）

而方程的通解表示为y=C1/x+C2e5（或y=（C1+C2X）/,）

故当p>0闯>0,

方程y〃+py'+/=o的一切解当Xf+8时，都趋于零.................（2分）

5

《常微分方程》期末考试卷Q)

姓名班级_______座号成绩

一、填空题(每小题3分，共30分).

1.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.

2.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为恰当方程的充要条件为.

3.(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的条件.

4.设y(x)=c.j](x)+cy2(x)+yp(x)是方程y"+y'+y=1的通解，则limy(x)=.

5.在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(f)X+/(f),X(f0)=〃的近似解时，则

的")=-

6.以函数组为基本解组的线性齐次微分方程是.

7.函数组e',e-',e2'的伏朗斯基行列式为.

8.方程y'=J]-/过点30)的解y=sinx,这个解的存在区间是.

9.向量函数组X(x),V2(x),…，工(x)在区间I上线性相关的条件是在区间I上它们

的朗斯基行列式卬(x)=0

10.若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕#2,…，乙，它们对应的特征值分别为4，%，…%，

那么常系数线性方程组x=Ax的一个基解矩阵①(。=

6、若X,(f),X?⑺,…,Xn(t)为n阶齐线性方程的〃个解，则它们线性无关的充要条件是。

7、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(f)X+/«),XI%)=7的近似解时，则%(I)==

8、若①Q)和甲⑴都是X'=A(f)X的基解矩阵，则①⑴和+«)具有关系为：。

9、微分方程(虫)"+生—/=。的阶数是

dxdx

10、对于任意的。,月)，(尤为)wR(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N>0)使,

则称/(羽y)在R上关于y满足利普希兹条件.

6

二、计算题(每小题8分，8X5=40分).

1.求解方程/虫=y(l+lny-lnx).

dx

2.求解方程[y-尤(x2+y2)]dx-xdy=0.

3.求解方程yy"-(y')2=0.

4.求解方程x-2x+2x=elcost.

5.求解方程Z2x+3/x+x=0.

dy2,2

三、求初值问题|区="+)/?：凶41，341的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解

.y(0)=0

的存在区间的误差估计.(io分)

四、求解微分方程组

dx-,

—=3x+4y

«dt满足初始条件夕(0)=〃=0的解。⑺.(10分)

—^2x+y+e'

Idt

五、证明题(10分).

设/(X)在［0,+8)上连续，且lim/(x)=0,求证：方程电+y=/(x)的任意解

X—Rdx

y=y(x)均有limy(x)=0.

7

《常微分方程》期末考试卷⑵

评分标准既参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

dMdN

1.2维2.--=--

dydx

3.充分条件4.1

t

5.(p⑺=77+J[A(s)供t⑸+"s)]ds

k6.Q-1)X"TX'+X=0

e'e-'e2'

7.e'-e''2e2'

e'e-'4e2f

9.必要条件10.

二、计算题（每小题8分，8X5=40分）

1.解：原方程变形为虫=工（1+Inf）

.............（2分）

dxxx

令〃则y'=〃+xu',从而原方程变为

x

du.

x—=u\nu.............（2分）

dx

当In”*0时，有*一=空等号两边积分得

winwx

即ln|lnH|=ln|x|+ln|C|CHO（2分）

又In〃=0,即In2=0是方程的解

X

故原方程的通解为ln』=Cx...(2分)

X

2.解：原方程可变形为ydx-xdy-x（x2+y2）dx^O...(2分)

于是M=十二是积分因子，将乘以方程的两边…（3分）

X+y-X+y

得受竺一郎=0

y1

故原方程的通解为arctg---x2=c（3分）

y2

8

3.解：当y#0时，方程两边乘以-V，则方程变为（2分）

y

=0,即（Xy=O

yy

于是有二=q,即虫=c/x...（3分）

yy

故原方程的通解为InI），1=qx+c2

另外y=0也是原方程的解.…（3分）

4.解：齐次方程的特征方程为/P—2几+2=0,42=1±»

齐次方程的通解为x=e'Ccost+。2sinf）....（3分）

令x'—2x+2x=fe（"'",并求其特解如下：

由于1+i是单根，故设特解为x^t（At+B）e（'+iV

代入原方程比较系数得A=—=L

44

所以x-—te'［（cost+tsint'）+i（sint-tcost）］.

4

则原方程有特解Re{x}=-te'（cost+tsint）....（3分）

4

故原方程的通解为x=e'（Gcosf+。2sinf）+；招'（cost+fsinr）….（2分）

5.解：令方程的解为x=/，代入原方程有（2分）

k（k-l）+3k+l=0.........（3分）

于是人=—1（二重）

故原方程的通解为x=c「+C2尸Inlfl（3分）

三、解：M-max|/(x,y)|=2,|x—x0|<1=a,|y-y0|<1=/?,/?=min(a,《)=；

解的存在区间为|x-x（J=凶＜〃=一（3分）

2

即-3x4」

22

令夕0。）=汽=o

9

pt2

例(x)=0+]xdx=—

r3x31

22x

(p2W=O+£x+(—)dx一+一（4分）

3363

堂

又\2y\<2^L

办

误差估计为：.2（》）一0（》）|4（3分）

(2+1)!6

34

四、解：A=，其特征多项式

21

2-3-4

\AI-A\=/l2-4/l-5=0

-22-1

4=-i,4=5（2分）

当4=—1时对应的特征向量为匕=

-1

当7^=5时对应的特征向量为匕=（3分）

所以基解矩阵

于是满足初始向量的解为

帕）=①（f）①（0）7+①（f）£①（s）/（s）ds

...(5分)

五、证明题（10分）

证明：设y=y（x）是方程的任一解,

满足y（x0）=y0,则该解的表达式为

10

-(AXo)()u-x())

y(x)=yoe-+e"^「/(5)ed5(4分)

J%

两边取极限

厂"s)e(f>)ds

(vAo)

limy(x)=limyoe"-+lim

1+8xf+00E8e*r。

»X/\(2分)

/(si』)ds

=0+limJX。

XT+OOe'f

0,若(/(s)e"f>)ds<oo

J.”

(4分)

lime)…；。,

若f/(s)e(f)ds=8

.lxefJx()

故对一切y(x)，均有limy(x)=0.

Xfoo

《常微分方程》期末考试卷(3)

姓名___________班级________座号成绩

—、填空题(每小题3分，3X10=30分)

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=O称为恰当方程，或称全微分方程。

2、若产》(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示

为•

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的条件

4、求生=/(x,y)满足0(%)=打的解等价求积分方程的连续解。

dx

5、若须⑺,乙«)，…%⑺为〃阶齐线性方程的〃个解，则它们线性无关的充要条件是

______O

6、n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.

7、齐线性微分方程组Y'(x)=A(x)y的解组匕(x),%(x)，…，％(x)为基本解组的

条件是它们的朗斯基行列式W(x)中0.

8、若①(f)是常系数线性方程组x'=Ax的基解矩阵，则expAt=。

9、方程y"+4y=0的基本解组是.

10、方程曳+ysinx=e*的任一解的最大存在区间必定是

dr

11

二、求下列方程(组)的通解(每小题8分，8X5=40分)

1、—+3j=e2t

dr.

2、(/+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0

3、ey+y'-x=0

4、y"-5y'=sin5x

dx

-------=X+V

dt

5、

dy

=4x+y

dr

求微分方程初植问题生=X+y2,y(0)=0的第三次近似解。

三、(10分)

dx

四、证明题(每小题10分，10X2=20分)

1、设y=/(x)和y=*2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式

W(x)三C,其中。为常数.

2.设/(x)在［0,+8)上连续，且lim/(x)=0,求证：方程曳+y=/(x)的任意解y=y(x)均

XTEdx

有limy(x)=0.

x->+00

12

《常微分方程》期末考试卷⑶

评分标准既参考答案

一、填空题（每小题3分，3X10=30分）

dM（x,y）dN（x,y）\,山/\

1、-----=-z----20、CJy,（x）-y（x）］+y,（x）3、充分，

oyox2

4、y=y（）+［5、（r）,x（f,x（r）］^0,

2n6、n

7、充分必要，8、①⑺①T（O）9、sinlx,coslx,10、（-00,+00）

二、求下列方程（组）的通解（每小题8分，8X5=40分）

1、解齐次方程的通解为

y=Ce-ix.…….（3分）

令非齐次方程的特解为y=C（x）e-3x...（5分）

代入原方程，确定出

C（x）=|e5j+C

原方程的通解为

y=Ce*3x+-e2x..（8分）

5

2、解由于跑=2盯=丝，所以原方程是全微分方程.

分）

dydx

取（x（），打）=（0,0），......（5分）

原方程的通积分为

f（/+盯2）dx+/y3由,=G

即/+2/y2+y4=。….（8分）

3、解令了=/,则原方程的参数形式为

x=t+e'

.........（3分）

y'=t

由基本关系式

dy=y'dx=f（l+e'）dt

积分有y=g产+e'（f—1）+C

（5分）

13

得原方程参数形式通解

x=/+ez

（分）

y=；J+e(_i)+c8

4、解方程的特征根为4=0,%=5

齐次方程的通解为

5j

y=C,+C2e............（4分）

因为e士$=±5i不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y(x)=Asin5x+8cos5x（6分）

代入原方程，比较系数得

-254+258=1

‘-254-258=0

确定出A=-----,

50

5x（分）

原方程的通解为y=Ct+C2e+—(cos5x-sin5x).............8

5、解特征方程为

,1-21

A-花==0即用一2义一3=0_（2分）

41-A

特征根为4=3,丸2=-1（4分）

4=3对应特征向量应满足

1-31a,0

可确定出

4

%1

（5分）

.伍2

同样可算出4=-1对应的特征向量为

a21

%「［一2......（6分）

所以，原方程组的通解为

xe"

=G（8分）

y.2e3(

14

三、（10分）

解：0o（x）=O.......（2分）

<P\(x)=[[x+(x)j/x=；/

（4分）

加±

+

X5......（7分）

2±0

+

x5+—x"+—%8（10分）

204400160

四、证明题（每小题10分，10X2=20分）

1、证明如果y=%（x）和y=%（x）是二阶线性齐次方程

y"+p（x）y'+q（x）y=0

的解，那么由刘维尔公式有

-fp“)dr

W(x)=W(x°)e儿....(5分)

现在，p（x）三0故有

-|0df

W(x)=W(Xo)e/=W(x°)=C（10分）

2.证明设y=y（x）为方程任一解满足），（%）=打，由常数变易法有

y(x)=+)[/(s)eA'ds........(5分)

于是

f/(5)e'-J»d.y

Jimy(x)=limX+lim——-x-----

x->oox->ooe"°XT8e*°

0，若「/(s)efds收敛

Jx()

（10分）

lim"?e、"=o,若「/(s)e'f,ds发散

XTOOe’‘与J*O

《常微分方程》期末考试卷（4）

姓名班级_______座号成绩

一、填空题（每小题3分，3X10=30分）

1、方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0有只含x的积分因子的充要条件是。

15

2、求虫=f(X,y)满足y(x0)=y0的解等价于求积分方程的连续解。

dx

3、方程空=/+y2定义在矩形域R：_2WxW2,—2Wy42上，则经过点(0,0)的解的存在区

dx

间是.

4、若x,3(i=l,2,……，〃)是〃阶齐线性方程。")+%(力川1)+…+a.(t)x=0

的n个解，w(0为其伏朗斯基行列式，则w(f)满足一阶线性方程。

5、设①⑺是微分方程组x'=4(f)x的基解矩阵，5=奴。是£=4«比+/«)的某一解,则它的任

―解x(f)可表示为。

6、若X«),X2(f),…,X,Q)为〃阶齐线性方程的〃个解，则它们线性无关的充要条件是。

7、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(t)X+=7的近似解时，则%«)=o

8、若①⑴和甲⑴都是X'=4⑺X的基解矩阵，则①⑺和5。)具有关系为：。

9、微分方程(女)"+生一/+/=0的阶数是

dxdx

10、对于任意的(x,%),(x,乃)eR(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N>0)使

则称/(x,y)在K上关于y满足利普希兹条件•

二、求下列微分方程(组)的通解(每小题8分，8X5=40分)

1、生=6上-孙2,2、电+工=*,

dxxdxx

3、x''+6x'+5x=e",4、x''——。

2x,

,ri2]

5、试求方程组x=4x的基解矩阵expAr,其中43

三、(10分)求初值问题的近似解

求初值问题

dy_2_2

五一~y+的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在

,y(-D=o

区间的误差估计。

四、证明题(每小题10分，2X10=20分)

1、如果尤二夕(。是x=Ax满足9(%)=〃的解，那么^(/)=[expA(r-z0)]?7

2.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，已知〃(x),夕(x)在(-00,+8)上连续.求证：该方程

16

的任一非零解在XO），平面上不能与x轴相切.

17

《常微分方程》期末考试卷（4）

评分标准既参考答案

一、填空题（每空3分，3X10=30分）

1、------=N（p（x）,2、y=y+f（x,y）dx,3、--<x<—

dyox0与44f

4、w«）+Q]⑺w⑺=0,5、x«）=①⑺C+0。）6、W[X]⑺…X〃Q）]wO

7、77+[[4s）°i（s）+/（s）ms8、¥Q）=①（f）C（C为非奇异矩阵）

9、1.10、|/（元必）-/（左为）|《时必一乃|

二、求下列微分方程（组）的通解（每小题8分，8X5=40分）

1、解：这是n=2时的伯努利不等式，令2=/,算得起=一尸或一一（2分）

dxdx

代入原方程得到

化=上+%，..........（3分）

dxx

这是线性方程，求得它的通解为

z=—H---（5分）

%68...............

带回原来的变量y,得到

1X2X6/

二=三c+二或者—=c,这就是原方程的通解。（7分）

yx68y8

此外方程还有解y=0.............（8分）

-5dyhy-y

2、解：上=e冷一/=------二

dxxx

xdy=（xe个-y）dx_________（2分）

xdy4-ydx=xe^dx

dxy=xexydx_______________（3分）

dxy.工门八一外

---=xdx,积分：一e-==-x2+c（5分）

e2

1o

故通解为：一X+e-冷+c=0..（8分）

3、解：齐线性方程x''+6x'+5x=0的特征方程为矛+6A+5=0,.......（2分）

18

4=-1,A-,—5...........（3分），

故通解为x（f）=c/T（4分）

/I=2不是特征根，所以方程有形如

xQ）=Ae"的特解，把xQ）代回原方程比较系数得

i___i

A=一，贝心«)=—/.......（6分）

2121