浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题

2023学年第一学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，即，由，解得，即，所以.故选：A2.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】因为，，则.故选：D3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法，分别求得不等式构成的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，构成集合，又由，解得，构成集合，则集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的纵截距表示成本，倾斜角与门票价格的关系判断.【详解】对于A，当时，虚线值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误；对于C，当时，值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；对于D，当时，虚线值变大，说明成本见减小，又因为虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，D正确，故选:D.5.已知函数，则使成立的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式.【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增，所以，即，，得，解得：所以不等式的解集为.故选：C6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分别求得的取值范围，即可求解.【详解】由对数的运算性质，可得，可得，且，又由指数函数的性质，可得，所以.故选：A.7.我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（）A. B.的最大值为C.的最小正周期为 D.在上是增函数【答案】D【解析】【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，性质，判断BCD选项.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，函数取得最大值1，，当，时，函数取得最大值，，当，时，函数取得最大值，由，但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；C.的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误；D.，，，所以函数，，在都是单调递增函数，则函数在上是增函数，故D正确.故选：D8.已知函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式易得，从而得到即，逐一判断选项即可.【详解】因为在单调递增，所以，所以函数在单调递增，且，所以函数在上只有一个零点；而函数，且函数的零点为，所以，所以，故B错误；对于A，因为函数的零点为，所以，所以，所以，故A正确;对于，故C正确；对于，故D正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将的解析式变形化为，从而可得，建立了的关系，后面再用这个关系判断各选项.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.给出下列四个选项中，其中正确的选项有（）A.若角终边过点且，则B.设角为锐角（单位为弧度），则C.命题“，使得”的否定是：“，均有”D.若，，则“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据与的推出关系判断.【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确；对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴，角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确；对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误；对于选项D：由可得，故充分性成立，若成立，则不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确；故选：ABD.10.若，，，则下列命题正确的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若，则 D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值判断A，利用作差法判断B、C、D.【详解】对于A：当，时，满足且，但，故A错误；对于B：因为且，所以，故，故B正确；对于C：因为，所以，即，故C错误；对于D：因为，所以，故D正确．故选：BD．11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（）A.函数的初相为 B.1秒时，函数的相位为0C.4秒后，点第一次到达最高点 D.7秒和15秒时，点高度相同【答案】BC【解析】【分析】由函数模型，求出、和、、，再判断选项中的命题是否正确．【详解】由题意知，函数模型中，，，，所以，又，得，显然，所以，即函数的初相为，故A错误；因为，1秒时，，所以函数的相位为，故B正确；4秒时，，点第一次到达最高点，故C正确；，，所以7秒和15秒时，点高度不相同，故D错误．故选：BC．12.已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（）A.是偶函数 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据，利用赋值法逐项判断.【详解】因为，令，得，因为，所以，故B错误；令，则，即，所以，故A正确；令，则，所以，令，则，所以，则，所以函数周期为，则，所以，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.对数函数的反函数是________.【答案】【解析】【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数求得的反函数.【详解】由于同底的指数函数和对数函数互为反函数，所以的反函数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查反函数有关知识，属于基础题.14.已知扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是______.【答案】【解析】【分析】求出扇形的弧长，即可求出该扇形的面积.【详解】解：由题意在扇形中，弧长扇形面积故答案：.15.设函数，，则函数的值域是______．【答案】【解析】【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域.【详解】，，令，设，设，，因为，则，，，即，，所以函数在上单调递增，又也为增函数，所以函数在单调递增，，所以函数的值域为.16.已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______．【答案】【解析】【分析】首先由条件确定函数的一条对称轴，并求，并根据，求的取值范围，并结合三角函数的图象和性质，即可求解.【详解】因为函数的周期为，再由可知，函数的一条对称轴是，所以，，得，，又，所以，所以，当，，由函数在区间上有且只有三个零点，所以，解得：.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）求和；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解.小问1详解】解：由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，则.【小问2详解】解：由集合，且，可得，则满足，解得，所以实数的取值范围．18.在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边过点．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）首先由三角函数的定义求，再将齐次分式用正切表示，即可求解；另解：根据三角函数的定义，求，再代入求解.（2）利用两角和差公式，以及二倍角公式，即可求解.【小问1详解】由题意得，，则；另解：由角终边过点，得，，则；【小问2详解】由题意得，，，，，19.随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示．01030700132533759275为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值．【答案】（1）选，（2）车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为【解析】【分析】（1）根据题意，得到，结合提供的数据，列出方程组，取得，即可求解；（2）设车速为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：对于，当时，它无意义，所以不符合题意；对于，它显然是个减函数，所以不符合题意，故选．根据提供的数据，则有，解得，当时，．【小问2详解】解：设车速为，所用时间为，所耗电量，要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即．所以当测试员控制的车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为．20.已知定义域为的函数是奇函数．（1）判断函数的单调性，并证明；（2）解关于的不等式．【答案】（1）在上是递减函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）是定义在上的奇函数求得，再用单调性的定义证明为减函数；（2）根据的单调性与奇偶性得，求得的取值范围.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，则，即，解得，所以，故在上是递减函数．证明：任取，，且，，，，，即，故是定义在上的递减函数；【小问2详解】，，是上的减函数，，，.21.2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．（1）承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；（2）因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积．【答案】（1）元（2）【解析】【分析】（1）设，过点做的垂线，求得，，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由，求得，得到，结合，即可求解.【小问1详解】解：设，，过点做的垂线交于，则，，所以，则所以预算应该设定为元．【小问2详解】解：由题意得，，因为，可得，则，所以，所以.22.已知函数满足，函数．（1）求函数的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解；（2）首先不等式转化为在上恒成立