山东省淄博市高三三模数学试题

高三仿真试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得指数不等式和对数不等式从而解得集合，再求即可.【详解】为上的单调增函数，又，故集合的元素为大于等于的整数；，即，解得，又，故集合；则.故选：C.2.已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为A.1 B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意求得方程的两个复数根，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，方程，可得，所以方程的两个复数根分别为或，所以.故选：B.3.甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A.36 B.72 C.144 D.288【答案】B【解析】【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数.同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：第一步，从甲校选出2人，有种选择方式；第二步，2人站在两边的站法种数有；第三步，从乙校选出1人，有种选择方式；第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有.根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有.同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有.根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有.故选：B.4.在中，，的平分线交BC于点D．若，则（）A B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．【详解】设，因为，所以，又是的平分线，所以，，，又，所以，所以．故选：B．5.中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】设圆的直径为，则，将矩形截面抵抗矩表示成关于的的函数，利用导数求此函数的单调性、最值，从而得出结果.【详解】设圆的直径为，则，，，令，由时，解得；由时，解得；所以在单调递增，在单调递减，所以时取最大值.此时，所以.故选：B.6.已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，设，，则，，，，中，，整理得到，即，故.故选：A7.如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（）A.1011 B. C.1012 D.【答案】B【解析】【分析】根据图形规律可知是以公比为2，首项为1的等比数列，进而根据，并项求和即可.【详解】第一个正方形的边长为，面积为，第二个正方形的边长为，面积为，第三个正方形的边长为，面积为，……,进而可知：是以公比为2，首项为1的等比数列，所以，由于,所以，故选：B8.设A，B是半径为3球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，，则，，设，，则，整理得到，故轨迹是以为圆心，半径的圆，转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，同时在球上，故在两球的交线上，为圆.球心距为，为直角三角形，对应圆的半径为，周长为.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（）A.若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植B.若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大C.从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是D.若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则【答案】CD【解析】【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X服从二项分布，,可判断D选项.【详解】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A选项错；若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，，则，且，可得，且，所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B选项错；记事件A:样本A种子中随机取一粒8天内发芽；事件B:样本B种子中随机取一粒8天内发芽；根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：，故C选项正确；由题意可知X服从二项分布，，所以，故D选项正确；故选：CD10.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（）A.事件A与事件B相互独立 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；从甲袋中任取1球是红球的概率为：，从甲袋中任取1球是白球的概率为：，所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：，故B错误；，所以，故C正确；，故D正确.故选：CD11.已知抛物线的焦点为点F，准线与对称轴的交点为K，斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为，则下列结论正确的是（）A.若，则点M到准线的最小距离是3B.当直线l过点时，C.当时，直线FM的斜率最小值是D.当直线l过点K，且AF平分∠BFK时，【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线定义判断A，由判别式求出的范围结合中点坐标公式判断B，利用均值不等式判断C，根据角平分线定理及抛物线定义判断D.【详解】对A，如图，作，连接，其中为准线，由抛物线定义知，，所以，当且仅当在上时，等号成立，故A正确；对B，直线l过点时，直线方程为，联立可得，设，，则，解得，所以，即，故B正确；对C，设，联立可得，当时，设，，则，即，，所以，可得，即，所以，解得或（舍去），此时，满足题意，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误；对D，如图，作，由题意知，，连接，其中为准线，则，联立抛物线联立可得，当时，设，，则，，由抛物线定义知，，因为AF平分∠BFK，所以，由可知，所以，即，所以，又，解得，，所以，即，故D正确.故选：ABD12.如图，已知圆柱母线长为，底面圆半径为，梯形内接于下底面，是直径，//，，点在上底面的射影分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）A.若面交线段于点，则//B.若面过点，则直线过定点C.的周长为定值D.当点Q在上底面圆周上运动时，记直线，与下底面圆所成角分别为，，则【答案】ABD【解析】【分析】对A：先证//面，再利用线面平行的性质，即可判断；对B：根据共面，且面，即可判断；对C：取点与点重合，以及点与中点重合两个位置，分别计算三角形周长，即可判断；对D：根据题意，找到线面角，得到，结合余弦定理、基本不等式求的范围，即可判断结果.【详解】对A：由题可得//面，面，故//面；又//面，面，故//面；面，故面//面；又面，故//面；又面，面面，故可得//，A正确；对B：根据题意，共面，又分别为上的动点，故直线面；不妨设直线与平面的交点为，若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确；对C：设的周长为，当点与重合时，；当点与中点重合时，连接：此时；显然周长不为定值，C错误；对D：过作底面圆垂线，垂足为且在下底面圆周上，即面，连接，则、分别是直线，与下底面圆所成角，所以，，则，，所以，而，，底面圆半径为，若在对应优弧上时，则，所以，仅当时等号成立，此时，若在对应劣弧上时，则，所以，仅当时等号成立，此时，综上，，故，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：面面平行的性质、直线与平面的位置关系、动点问题以及线面角的求解；其中关于D选项中对范围的求解，将空间问题转化为平米问题进行处理，也可以直接建立空间直角坐标系进行处理；同时关于C选项中的定值问题，选取特殊位置验证，不失为一种较好的做题技巧。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：、、、、、、、、、、、，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】【解析】【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为：、、、、、、、、、、、，共有12个，所以，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：14.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为______.【答案】【解析】【分析】由已知先计算圆锥母线与底面圆半径的关系，再确定其内切球半径，最后由圆锥的侧面积与球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示圆锥IF，设其底面圆心为F，半径为r，内切球球心为O，半径为R，内切球与母线IH切于点G，则由题意可知，故，易知，即，所以，圆锥的侧面积为，内切球的表面积为，故.故答案为：15.已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则m的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先化简函数，利用零点求出，根据单调递增求出的值.【详解】因为，所以，因为的零点是以为公差的等差数列，所以周期为，即，解得；当时，，因为在区间上单调递增，所以，解得.所以m的最大值为.故答案为：.16.已知函数的定义域，且对任意的，都有，若在上单调递减，且对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由，得到是偶函数，再结合在上单调递减，不妨设，再根据对任意的，不等式恒成立求解.【详解】因为数的定义域，且对任意的，都有，所以，故，则，所以是偶函数，又在上单调递减，由偶函数的对称性可得在上单调递增，因为对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，则，所以实数a的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）给出以下三个条件：①，b＝4；②；③.若以上三个条件中恰有两个正确，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求解即可；（2）先由余弦定理分析条件确定正确的是②③，然后由正弦定理求解即可.【小问1详解】因为，若，则，不满足，所以，因为，所以.【小问2详解】由及①，由余弦定理可得，即，由，解得；由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形面积公式可得，可得.经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，.代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.18.已知数列中，，点，在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，Sn为数列的前n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据点在直线上，将点坐标代入方程，可得与的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，进而可求得的表示式，化简整理，可得，利用累加法，即可求得的表达式，结合题意，即可得答案.【详解】（1）因为点，在直线上，所以，即，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；（2），所以，所以，即，所以，，所以所以，根据题意恒成立，所以，所以存在关于n的整式，使得恒成立，【点睛】解题的关键是根据表达式，整理得与的关系，再利用累加法求解，若出现（关于n的表达式）时，采用累加法求通项，若出现（关于n的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.19.在长方体中，，过，，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.（1）求棱的长；（2）求平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用长方体和三棱锥体积公式，结合题意，计算即可；（2）以为坐标原点建立空间之间坐标系，求得两个平面的方向量及其夹角的余弦值，即可求得结果.【小问1详解】设，由题设；，即，解得，故的长为.【小问2详解】以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由已知及（1），可知，，，，设平面的法向量为，有，，其中，，则有，即，解得，，取，得平面的一个法向量；设平面的法向量为，有，其中，，即，解得，得平面的一个法向量，故，则平面和平面夹角的余弦值为.20.有一大批产品等待验收，验收方案如下：方案一：从中任取6件产品检验，次品件数大于1拒收；方案二：依次从中取4件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍无次品，通过验收.（1）若本批产品次品率为，选择“方案二”，求需要抽取次数X的均值；（2）若本批产品次品率为，比较选择哪种方案容易通过验收？【答案】（1）均值为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出的取值所对应的概率，然后按照期望的求解公式，即可得到结果.（2）根据题意，分别表示出方案一与方案二对应的概率，通过比较，即可得到结果.【小问1详解】随机变量需要抽取次数.其分布列为：，，，；.需要抽取次数的均值为.【小问2详解】按照方案一：通过验收的概率为：按照方案二：通过验收的概率为：当时，即，解得，此时选择方案一更容易通过验收；当时，，此时选择方案一、方案二结果相同；当时，即，解得，此时选择方案二更容易通过验收；21.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线的距离为列方程组求解；（2）方法①设点，写出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把，表示为点的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线的斜率为k，利用角平分线的向量表示，韦达定理，弦长公式，参数间的转化，最终把表示为关于k的函数进行求解.【小问1详解】由题意可知：△ARS是正三角形，所以点A到渐近线的距离为所以，解得，所以双曲线标准方程是：【小问2详解】方法①：由双