宝鸡市金台区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)-含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度2．由①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是(）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②3．图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A．2xdx B．(2x﹣1）dx C．（2x+1）dx D．(1﹣2x）dx4．命题甲:f（x）在区间（a,b）内递增；命题乙：对任意x∈（a，b)，有f'（x）＞0．则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是(）A．12 B．13 C．14 D．156．若复数（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b=（)A． B． C． D．27．利用数学归纳法证明+++…+＜1(n∈N＊，且n≥2)时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对8．设P为曲线C：y=x2﹣2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，］，则点P横坐标的取值范围为(）A．[﹣1,﹣] B．［﹣1,0] C．[0，1] D．[1,］9．函数y=f（x）在定义域内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A． B．C． D．10．已知f(x）=x2+2xf′（1）﹣6,则f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．211．已知函数f（x)的定义域为(a，b），导函数f′（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f(x）在（a，b）上的极大值点的个数为（)A．1 B．2 C．3 D．412．设F（x）=是(﹣∞,0）∪（0,+∞)上的偶函数，当x＜0时,f’(x）g（x）﹣f(x）g'（x）＞0，且f（2）=0,则不等式F（x）＜0的解集是(）A．(﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0)∪（0，2） C．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞,﹣2)∪（0，2）二、填空题：本大题共4小题,每小题6分，共24分.13．如果复数z=a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数，那么实数a的值为．14．=．15．定义一种运算如下:=ad﹣bc，则复数的共轭复数是．16．在△ABC中，D为BC的中点,则有，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论为：．三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在数列{an｝中,，an+1=．（1）计算a2，a3,a4并猜想数列｛an｝的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．18．设函数f(x）=2x3﹣3(a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．(1)求f（x）的解析式；（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．19．(1）求证：．（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°)+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；sin2(﹣25°）+cos255°﹣sin(﹣25°)cos55°．①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4,当x=2时，函数f（x）有极值﹣．（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根,求实数k的取值范围．

2016-2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定：“是"的否定:“不是”；“能"的否定:“不能"；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”;“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”;“任意的”的否定：“某个"；“任意两个”的否定：“某两个";“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有";即“三内角都大于60度"．故选B2．由①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论"形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念,由三段论:①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；我们易得大前提是③，小前提是①,结论是②．则易得答案．【解答】解：三段论：①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；大前提是③,小前提是①,结论是②．故排列的次序应为：③①②,故选：D．3．图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A．2xdx B．（2x﹣1）dx C．(2x+1)dx D．(1﹣2x）dx【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据定积分的几何意义,可用定积分表示曲边形的面积．【解答】解:由题意积分区间为[0，1］，对应的函数为y=2x，y=1，∴阴影部分的面积用定积分表示为（2x﹣1）dx．故选：B．4．命题甲：f(x)在区间（a,b）内递增;命题乙：对任意x∈（a,b)，有f'（x）＞0．则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题乙：对任意x∈（a,b）,有f'（x)＞0,可得f（x）在区间（a，b）内递增，即乙⇒甲．反之不成立，例如取f（x)=x3满足f′(x)≥0因此．在(﹣2，3）内单调递增．【解答】解：命题乙:对任意x∈（a，b),有f’（x）＞0,可得f（x)在区间（a，b）内递增，即乙⇒甲．反之不成立,例如取f(x)=x3满足f′（x）≥0因此．在(﹣2，3）内单调递增．因此甲是乙的必要不充分条件．故选：B．5．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】8B：数列的应用．【分析】把这些圈看作是数列：1，1，2,1，3，1,4，1…求前n项和小于等于120时的最大的整数项数．【解答】解:s=（1+2+3+…+n)+n=+n≤120∴n（n+3）≤240∴n=14故选C．6．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b=（）A． B． C． D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2:复数的基本概念．【分析】化简复数为+,由题意可得=﹣,由此解得b的值．【解答】解：∵复数===+．由题意可得=﹣，解得b=﹣．故选C．7．利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项,同时减少了这一项D．以上都不对【考点】RG:数学归纳法．【分析】当n=k时,写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较,关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端=+++…+，那么当n=k+1时左端=++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．8．设P为曲线C：y=x2﹣2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,］,则点P横坐标的取值范围为（）A．［﹣1，﹣] B．［﹣1，0] C．［0，1］ D．［1，]【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线对应函数的导数,设出切点P(m，n），可得切线的斜率，由直线的斜率公式,结合正切函数的单调性可得切线的斜率范围,解不等式即可得到m的范围．【解答】解：y=x2﹣2x+3的导数为y′=2x﹣2,设切点P（m，n），可得切线的斜率为k=2m﹣2，由切线倾斜角α的取值范围为［0，]，可得切线的斜率k=tanα∈[0，1],即为0≤2m﹣2≤1，解得1≤m≤．故选：D．9．函数y=f（x)在定义域内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′(x）≤0的解集为（）A． B．C． D．【考点】6A:函数的单调性与导数的关系．【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减确定函数f（x)的单调性【解答】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为[﹣,1]∪[2，3],故选:A．10．已知f（x）=x2+2xf′(1）﹣6，则f′(1）等于(）A．4 B．﹣2 C．0 D．2【考点】63:导数的运算．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1)的值【解答】解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1)，令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1)，解得：f′（1）=﹣2，故选：B．11．已知函数f（x）的定义域为(a，b),导函数f′（x)在(a，b）上的图象如图所示,则函数f（x）在（a,b）上的极大值点的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】导函数f′(x）在（a,b）上的图象如图所示,由函数取得极大值点x0的充要条件是:在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，即可判断出结论．【解答】解：导函数f′（x）在（a,b）上的图象如图所示，由函数取得极大值点x0的充要条件是：在x0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，由图象可知：函数f(x）只有在点A，C处取得最大值，而在B点处取得极小值，而在点O处无极值．故选：B．12．设F（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，f’(x）g（x)﹣f（x）g’（x）＞0,且f（2）=0，则不等式F（x)＜0的解集是（)A．（﹣2，0）∪(2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．(﹣∞，﹣2)∪（0,2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】当x＜0时，F′（x）=［]′=＜0，从而F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，利用f（2）=0，得到F（﹣2）=F(2)=0，由此能求出F（x）＜0的解集．【解答】解:∵F（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数,∴f（x)和g（x)同为偶函数或同为奇函数，当f（x）和g(x）同为偶函数时,f（﹣x）=f(x），g(﹣x）=g(x),当f（x）和g(x)同为奇函数时,f（﹣x)=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g(x），∵当x＜0时，f′(x)g（x）﹣f（x）g′（x)＜0∴当x＜0时，F′（x)=［］′=＜0，∴F(x）在（﹣∞，0）上单调递减∵F(x）为偶函数,根据偶函数的性质可得函数F（x）在（0,+∞）单调递增，又f（2）=0,∴f（﹣2）=0，∴F(﹣2)=F(2）=0F(x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．故选：B．二、填空题:本大题共4小题,每小题6分，共24分.13．如果复数z=a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数,那么实数a的值为2．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由实部为0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵复数z=a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数,∴，解得a=2．故答案为：2．14．=2π．【考点】67:定积分．【分析】根据定积分的定义,找出根号函数f(x)=的几何意义，计算即可．【解答】解:，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积,故其值是2π故答案为：2π．15．定义一种运算如下：=ad﹣bc，则复数的共轭复数是﹣1﹣3i．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用新定义和复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解:复数=3i（1+i）﹣(﹣1）×2=﹣1+3i,其共轭复数为﹣1﹣3i．故答案为：﹣1﹣3i．16．在△ABC中，D为BC的中点,则有，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论为:在四面体A﹣BCD中,G为△BCD的重心，则有．【考点】F3：类比推理．【分析】“在△ABC中，D为BC的中点，则有"，平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有:在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有,由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心,则有．故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在数列{an}中，，an+1=．（1）计算a2，a3，a4并猜想数列｛an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）根据，an+1=可求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想数列{an｝的通项公式；（2)根据数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】解：（1）∵，an+1=．∴a2==，a3==,a4==猜想数列｛an｝的通项公式为an=（2）①n=1时，a1==满足通项公式;②假设当n=k时猜想成立，即，则==，当n=k+1时猜想也成立．综合①②，对n∈N＊猜想都成立．18．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8,其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．（1）求f(x）的解析式；（2)求f（x）在点A(1，16）处的切线方程．【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出原函数的导函数，根据f（x）在x=3处取得极值,得到f′（3）=0，由此求得a的值，则函数f（x）的解析式可求;（2）由（1）得到f′（x)=6x2﹣24x+18，求得f′（1)=0，∴f(x）在点A（1,16）处的切线方程可求．【解答】解:(1）∵f(x）=2x3﹣3（a+1)x2+6ax+8，∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a,又∵f(x）在x=3处取得极值，∴f′（3）=6×9﹣6(a+1）×3+6a=0，解得a=3．∴f（x）=2x3﹣12x2+18x+8；（2）A（1，16）在f（x)上，由（1)可知f′（x）=6x2﹣24x+18，f′（1）=6﹣24+18=0，∴切线方程为y=16．19．(1）求证：．（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°;sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°;sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°）+cos248°﹣