微分方程及其定解条件等效积分

关于微分方程及其定解条件等效积分几个典型的问题弦振动问题的微分方程及定解条件传热问题的微分方程及定解条件位势方程及定解条件第2页,共55页，2024年2月25日，星期天

弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表示弦。

这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位移与平衡位置垂直第3页,共55页，2024年2月25日，星期天弦的长度l，线密度为，弦的张力为T弦振动的微分方程为：f是垂直于平衡位置的外力第4页,共55页，2024年2月25日，星期天这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态，但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：初始时刻各点的位移初始时刻各点的速度第5页,共55页，2024年2月25日，星期天另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有三种：第一种给定弦端点的位移第二种给定位移梯度的端点值位移的梯度表示弦线的挠度第6页,共55页，2024年2月25日，星期天第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是一个已知函数，对于弦振动这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1第7页,共55页，2024年2月25日，星期天以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的，称为边值问题。第8页,共55页，2024年2月25日，星期天下面来看第二个典型问题：热传导问题三维非定常热传导问题的微分方程为：物体的比热容物体的密度物体的热传导系数物体内部热源强度第9页,共55页，2024年2月25日，星期天与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条件也包括两种：初值条件和边值条件初值条件，是初始时刻物体的温度场边值条件也有三种第10页,共55页，2024年2月25日，星期天第一种：给定边界的温度第二种：给定边界的热流量第三种：给定边界的热流量和温度线性组合第11页,共55页，2024年2月25日，星期天下面来看第三个典型问题：位势方程在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即定常热传导，三维热传导方程可以写为假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化这个方程又称为泊松（Poisson）方程第12页,共55页，2024年2月25日，星期天再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程为这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标也成立系泊松方程拉普拉斯方程第13页,共55页，2024年2月25日，星期天其中，在笛卡尔坐标系下：称为哈密顿（Hamilton）算子称为拉普拉斯算子第14页,共55页，2024年2月25日，星期天从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场称为有势场的位势场或位势函数在定常热传导问题中，温度场的梯度为也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因第15页,共55页，2024年2月25日，星期天现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件类似三维热传导方程的三种边界条件，第16页,共55页，2024年2月25日，星期天现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程第17页,共55页，2024年2月25日，星期天第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如果做移项整理这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似这类的方程又称为双曲型微分方程第18页,共55页，2024年2月25日，星期天再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更直观这个方程可以，我们写出一维的情况这个方程形式和抛物线方程形式类似这类方程又称为抛物型微分方程第19页,共55页，2024年2月25日，星期天最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的情况这个方程形式和椭圆方程形式类似这类方程又称为椭圆型微分方程第20页,共55页，2024年2月25日，星期天微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭圆型请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的有关书籍和资料有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。第21页,共55页，2024年2月25日，星期天现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合，这种边界条件称为第三边界条件第22页,共55页，2024年2月25日，星期天我们总结一下这一小节的内容描述物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、双曲型、抛物型有限元法特别适合求解椭圆型微分方程边界条件主要有三种：第一边界条件（Direchlet条件、强制边界条件）、第二边界条件（Neumann条件）和第三边界条件第23页,共55页，2024年2月25日，星期天思考题：这小节中，三维热传导问题的微分方程和位势方程、以及哈密顿算子给出的都是笛卡尔坐标下的形式，试查阅资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系下的表达式。第24页,共55页，2024年2月25日，星期天拓展前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实际中遇到的、使用的、包括我们自己在分析问题时建立的微分方程是非常多的，为了便于研究，我们采用一种符号表示法来表示微分方程，例如：这个表达式代表任意一个微分方程，就像我们用f(x)表示任意函数的道理一样,同样，边界条件我们也可以用符号表达第25页,共55页，2024年2月25日，星期天例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程并且有边界条件这是一个微分方程和一个边界条件，单个待求函数的情况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待求函数和多个边界条件的情况。第26页,共55页，2024年2月25日，星期天可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边界条件带求解函数向量微分方程组向量边界条件向量第27页,共55页，2024年2月25日，星期天例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一部分的边界上给定函数方向导数，这样第28页,共55页，2024年2月25日，星期天了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的，因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这时抽象表达是就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分形式第29页,共55页，2024年2月25日，星期天虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二维拉普拉斯方程及其边界条件第30页,共55页，2024年2月25日，星期天这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域在求解域内的一个小区域内拉普拉斯方程也是成立的，也就是如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是这样第31页,共55页，2024年2月25日，星期天设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的面积等于这些小区域面积和对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的现在我们把它对所有小区域求和第32页,共55页，2024年2月25日，星期天现在我们把它对所有小区域求和再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到对于边界条件我们同样可以做类似的分析第33页,共55页，2024年2月25日，星期天上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立对于边界条件也可以这样按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式第34页,共55页，2024年2月25日，星期天这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形式。我们可以把它推广到一般情况。第35页,共55页，2024年2月25日，星期天现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的都是任意的函数，把这些积分加起来第36页,共55页，2024年2月25日，星期天对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分上面这两个积分，我们可以写成矢量形式这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了第37页,共55页，2024年2月25日，星期天这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。第38页,共55页，2024年2月25日，星期天上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行计算在这个积分式中，要使这个积分存在，不能出现无穷大的情况第39页,共55页，2024年2月25日，星期天要达到这个目的，就要对做出一些限制对，由于是我们可以选择的函数，那就选择那些单值，且在求解域和求解域边界上可积分的函数就可以对，虽然是待求解，我们也可以定性的给出它的一个性质，它的选择要根据微分方程的阶数来选择，如果微分方程（组）中最高微分阶次为n，那么待求解必然是一个具有n-1阶连续的导数，这样的函数也称为具有Cn-1连续性。这可以用于指导近似解或近似函数的选择。第40页,共55页，2024年2月25日，星期天微分方程的最高阶数对待求解提出了要求，但这种要求有时过于苛刻，例如下面这个微分方程：这个微分方程的等效积分若可以计算，则要求待解函数具有3阶连续偏导数。这个要求太过严格，实际上只要待求解函数的二阶偏导数为常数，这个微分方程就已经得到满足了，只需二阶连续导数就可以了，如果能有办法降低偏微分方程的阶数，就可以降低对待求解函数连续性的要求了。第41页,共55页，2024年2月25日，星期天从微分方程等效积分形式出发，如果要降低等效积分中微分方程的阶数要怎么办呢？通过分步积分的方法可以降低等效积分中微分方程的阶数，代价是对进行微分，等于说降低对待求函数的要求，却提高了对连续性的要求。第42页,共55页，2024年2月25日，星期天我们用一个一维问题的微分方程来说明这个问题。一个微分方程这个微分方程的等效积分形式要求待求解函数具有一阶连续导数，现在对二阶导数部分进行分步积分第43页,共55页，2024年2月25日，星期天经过这样的分步积分之后，对待求函数的要求由原来的具有一阶连续导数，下降为连续可导，而对函数v的要求则有原来的单值可积提高为连续可导。对于二维、三维的情形，分步积分可能复杂一些，但基本思想是一致的，现在把这种思想拓展到一般情况。第44页,共55页，2024年2月25日，星期天类似之前用符号表达微分方程一样，我们把对中每一个函数的微分运算用一个符号来表示，那么等效积分分步积分后的表达式可以写为：这就是等效积分的“弱”形式对于二维和三维的情况，直接从分步积分的方法推导等效积分的“弱”形式，可能有些困难，可以利用数学分析中“格林公式”和“高斯公式”推导。第45页,共55页，2024年2月25日，星期天最后还有一个小问题，在等效积分“弱”形式的推导过程中，由于分步积分，一方面使得在积分项中待求函数的最高微分阶数降低了，同时还产生了另外一项例如，之前介绍的一维问题里面第一项，就是由于分布积分而产生的，一般来说，这一项往往可以合并掉或者消去，因此在等效积分“弱”形式的一般表达式里，并没有专门写出这一项。第46页,共55页，2024年2月25日，星期天总结与思考请大家理解用一般符号表示微分方程及边界条件的方法请大家理解微分方程等效积分的概念，弄清楚为什么等效积分与微分方程及其边界条件是等效的请牢记，微分方程及其边界条件的等效积分是有限元的重要理论基础微分方程等效积分“弱”形式是从何而来，它与等效积分有什么关系？等效积分“弱”形式较之等效积分有什么好处？就是为什么要推导等效积分“弱”形式第47页,共55页，2024年2月25日，星期天例题：二维导热微分方程及其边界条件的等效积分及等效积分“弱”形式。第48页,共55页，2024年2月25日，星期天这个例子中，第一个边界条件，我们已经知道这是第一边界条件或Direchlet边界条件，在有限元或其他基于等效积分的近似解