2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数

第六讲对数与对数函数知识梳理知识点一对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0，且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①loga1＝0；②logaa＝1(其中a>0且a≠1)；③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式alogaN＝N(其中a>0且a≠1，N>0)．(3)对数的换底公式logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)．(4)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．归纳拓展1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论①logab＝eq\f(1,logba)；②logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R且m≠0.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(×)(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(3)log2x2＝2log2x.(×)(4)2lg3≠3lg2.(×)(5)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(×)(6)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一函数．(√)[解析](4)设2lg3＝M,3lg2＝N，则lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.题组二走进教材2．(必修1P127T3改编)写出下列各式的值：(1)log2eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(1,2)；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝0；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝－1；(4)(log29)·(log34)＝4.[解析](1)log2eq\f(\r(2),2)＝log22－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝log51＝0.(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg10－2＝－1.(4)解法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.解法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.3．(多选题)(必修1P127T2改编)下列各式正确的是(BD)A.eq\f(loga6,loga3)＝loga2 B．lg2＋lg5＝1C．(lnx)2＝2lnx D．lgeq\r(5,x3)＝eq\f(3,5)lgx[解析]A选项，由换底公式，可得eq\f(loga6,loga3)＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg2＋lg5＝lg(2×5)＝1，故B正确；C选项，(lnx)2＝lnx×lnx≠2lnx，故C错误；D选项，lgeq\r(5,x3)＝lgxeq\f(3,5)＝eq\f(3,5)lgx，故D正确．4．(必修1P131T1改编)函数f(x)＝eq\r(lnx－1)的定义域是(D)A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)[解析]要使函数f(x)＝eq\r(lnx－1)有意义，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－1≥0，,x－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥1，,x－1>0，))解得x≥2，所以函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，结合对数函数y＝logax的图象即可求解．∵b>a>1，∴函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1，∴函数y＝loga(x＋b)的图象不经过第四象限，故选D.6．(必修1P127T5改编)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是(2,2).[解析]当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．题组三走向高考7．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(C)A．25 B．5C.eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)[解析]由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝eq\f(log23,log28)＝eq\f(1,3)log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2eq\f(5,3)＝eq\f(log4\f(5,3),log42)＝2log4eq\f(5,3)＝log4eq\f(25,9)，所以4a－3b＝4log4eq\f(25,9)＝eq\f(25,9)，故选C.8．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.9．(