2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣35．（3分）若一个八边形的每个内角都相等，则该八边形的每一个内角的度数为（）A．45° B．135° C．150° D．1080°6．（3分）用配方法解一元二次方程p2﹣2p﹣5＝0时，可配方得（）A．（p+1）2＝6 B．（p+2）2＝9 C．（p﹣1）2＝6 D．（p﹣2）2＝97．（3分）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（）A．40% B．50% C．60% D．70%8．（3分）用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（）A．四边形中每个角都是锐角 B．四边形中每个角都是钝角或直角 C．四边形中有三个角是锐角 D．四边形中有三个角是钝角或直角9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则图中阴影面积（△PEF和△PGH的面积和）等于（）A．7 B．8 C．12 D．1410．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（）A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）二次根式，则x的取值范围是．12．（3分）把一元二次方程化成一般形式是．13．（3分）如图，是一座建筑物的截面图，高BC＝8m，坡面AB的坡度为，则斜坡AB的长度为．14．（3分）已知x2+2（n+1）x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n＝．15．（3分）我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则m＝，n＝．16．（3分）在▱ABCD，∠DAB、∠ABC的平分线分别与边CD交于点M、N，若点C、D、M、N相邻两点间的距离相等，则的值为．三、解答题（本题有8个小题，共72分）17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）解方程：（1）x2﹣6x＝﹣8；（2）x（x+4）＝3x+12．19．（8分）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．（1）求图②的边长；（2）求图中阴影部分的面积．20．（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．21．（10分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．22．（10分）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．23．（12分）根据以下素材，完成探索任务：如何故剪出符合要求的矩形纸片？素材1如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上．素材2甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为800cm2的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．任务1计算矩形纸片的边长请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长任务2计算矩形纸片的面积请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积任务3计算矩形纸片的最大面积请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积24．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G．（1）求证：线段FH与线段BE互相平分；（2）若EF＝12，求GH的长度；（3）求OG：CD的值．

2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，3．【分析】根据二次根式加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．【解答】解：A、不能合并，不符合题意；B、5﹣4＝，不符合题意；C、×＝3，符合题意；D、÷＝，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．4．【分析】将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的方程求解即可．【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．5．【分析】根据多边形内角和的计算方法求出八边形的内角和，再根据各个内角都相等，进而求出每一个内角的度数．【解答】解：这个八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，由于这个八边形的每个内角都相等，所以该八边形的每一个内角的度数为1080°÷8＝135°，故选：B．【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算公式是正确解答的前提．6．【分析】先根据等式的性质移项，再配方，即可得出选项．【解答】解：p2﹣2p﹣5＝0，p2﹣2p＝5，配方得：p2﹣2p+1＝5+1，（p﹣1）2＝6，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．7．【分析】设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，利用2023年该市的绿化投资额＝2021年该市的绿化投资额×（1+这两年该市绿化投资额的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．故选：A．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9．【分析】根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GH，同理可得EG＝FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：连接EG，FH，∵在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，CH＝CD﹣DH＝4﹣1＝3，∴AE＝CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF＝GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG＝FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和＝×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积＝4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），＝24﹣3﹣2﹣3﹣2，＝14，∴△PEF和△PGH的面积和＝×14＝7．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形EGHF是平行四边形是解题的关键．10．【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤．【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°，∴AO≠2BO，故①错误；∵CG⊥BD，∴∠GED＝∠CED，∵BD平分∠ADC，∴∠GDE＝∠CDE，又∵DE＝DE，∴△GED≌△CED（ASA），∴GE＝CE，∵AC中点为F，∴EF∥AD，故②正确；如图所示，延长AB，DC交于点H∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠HBD＝90°，∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD，∴△ABD≌△HBD（ASA），∴AB＝HB，∵点F为AC的中点，∴BF是△AHC的中位线，∴BF∥DH，∴∠FBD＝∠HDE，∵∠GDE＝∠CDE，∴∠FBD＝∠GDE，∵EF∥AD，∴∠FEB═∠GDE＝∠FBD，∴FB＝FE，∵EF是△AGC的中位线，∴AG＝2FE，∴AG＝2BF，故③正确；如图所示，连接FD，∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD，∴△FOB≌△COD（ASA），∴FB＝CD，又∵FB∥CD，∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确；∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，∴FB≠2GE，故⑤错误，综上所述，其中判断正确的是②③④．故选：D．【点评】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：根据题意知：3+x≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），进行计算即可解答．【解答】解：，x2﹣3+x2﹣4x+4＝2，x2﹣3+x2﹣4x+4﹣2＝0，2x2﹣4x﹣1＝0，故答案为：2x2﹣4x﹣1＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．【分析】根据坡度求得∠A＝30°，解Rt△ABC，即可求解．【解答】解：依题意，，∴∠A＝30°．在Rt△ABC中，BC＝8m，∴．故答案为：16m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求得是∠A＝30°解题的关键．14．【分析】利用x2+2（n+1）x+4n是一个关于x的完全平方式，则x2+2（n+1）x+4n＝0的判别式等于0，据此即可求得n的值．【解答】解：根据题意得：[2（n+1）]2﹣4×4n＝0，解得：n＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了完全平方式的定义以及根的判别式，得出判别式等于0是关键．15．【分析】画出方程x2+mx﹣n＝0的拼图过程，由面积之间的关系得m2＝4，4n＝14﹣4，即可求解．【解答】解：如图，由题意得：m2＝4，4n＝14﹣4，解得：m＝2，负值舍去，．故答案为：2，．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．16．【分析】设AD＝a，则BC＝a，①当点N在点M左侧时，得出DM＝CN＝AD＝a，再得出DN＝MN＝CM，进而得出AB＝a，即可得出答案；②当点N在点M右侧时，得出DM＝CN＝AD＝a，进而得出AB＝CD＝3a，即可得出答案．【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，∴∠AMD＝∠MAB，∵AM平分∠BAD，∴∠DAM＝∠BAM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DM＝AD，同理BC＝CN，∴DM＝CN＝AD，设AD＝a，则BC＝a，①当点N在点M左侧时，如图1，∴DM＝CN＝AD＝a，∵点C，D，M，N相邻两点间的距离相等，∴DN＝MN＝CM，设DN＝MN＝CN＝x，∴DM+CN＝DN+MN+MN+CM＝4x＝2a，∴x＝a，∴CM＝a，∴AB＝CD＝DM+CM＝a，∴；②当点N在点M右侧时，如图2，∵DM＝CN＝AD＝a，∵点C，D，M，N相邻两点间的距离相等，∴DM＝MN＝CM＝a，∴AB＝CD＝DM+MN+MN＝3a，∴；即的值为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，得出DM＝CN＝AD是解本题的关键．三、解答题（本题有8个小题，共72分）17．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则，先算乘法，再算减法；（2）根据分母有理化，二次根式的除法法则化简，再算减法．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．18．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，∴x1＝4，x2＝2；（2）x（x+4）＝3x+12，x（x+4）＝3（x+4），x（x+4）﹣3（x+4）＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，∴x+4＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．19．【分析】根据开方运算，可得正方形①、正方形②的边长，根据线段的和差，可得阴影的长、阴影的宽，根据矩形的面积，可得答案．【解答】解：（1）正方形①的边长是＝2，正方形③的边长是，正方形②的边长是（2﹣），（2）阴影的宽是（2﹣﹣）＝4﹣2，图中阴影部分的面积是：×（2﹣2）＝6﹣6．【点评】本题考查了算术平方根，利用开方得出正方形①、正方形②的边长，利用线段的和差得出阴影的长、阴影的宽是解题关键．20．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．21．【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠DCF＝∠BAE，由DF∥BE，得∠CFD＝∠AEB，即可证明△CFD≌△AEB，得DF＝BE，则四边形DEBF是平行四边形；（2）作CG⊥AB交AB的延长线于点G，因为∠CAB＝30°，所以CG＝AC＝4，则S平行四边形ABCD＝6×4＝24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠DCF＝∠BAE，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠AEB，在△CFD和△AEB中，，∴△CFD≌△AEB（AAS），∴DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）解：作CG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，∵∠CAB＝30°，AC＝8，AB＝6，∴CG＝AC＝×8＝4，∴S平行四边形ABCD＝AB•CG＝6×4＝24，∴平行四边形ABCD的面积是24．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的面积公式等知识，证明△CFD≌△AEB是解题的关键．22．【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ＞0，根据判别式的意义即可得出结论；（2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进而得到方程的解．【解答】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程，∴b＝ac，∵b＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；（2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程，∴m＝2n，∵方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，∴n＝0或2，当n＝0时，方程为2x2＝0，解得x1＝x2＝0；当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．故此方程的解为0或﹣1．【点评】此题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．23．【分析】任务1：证明△CFE为等腰直角三角形，得出EF＝CF，设AF＝xcm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，得出x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，得出甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；任务2：分两种情况讨论：当MQ：PQ＝1：2时，当MQ：PQ＝2：1时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别求出能够裁剪出的矩形的最大面积，然后比较即可．【解答】解：任务1：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵四边形ADEF为矩形，∴AD＝EF，DE＝AF，∠AFE＝90°，∴∠CFE＝180°﹣90°＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形，∴EF＝CF，设AF＝xcm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，∴x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，当AF＝20cm时，EF＝60﹣20＝40（cm），当AF＝40cm时，EF＝60﹣40＝20（cm），即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；任务2：当MQ：PQ＝1：2时，设MQ＝NP＝xcm，则PQ＝2xcm，∵△ABC为等腰直角三角形，∴，∠B＝∠C＝45°，∵四边形MNPQ为矩形，∴∠MQP＝∠NPQ＝90°，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴△MBQ和△CPN为等腰直角三角形，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝x，∴，解得：，即，，即此时矩形面积为；当MQ：PQ＝2：1时，设MQ＝NP＝2xcm，则PQ＝xcm，∵四边形MNPQ为矩形，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝2xcm，∴，解得：，即，，即此时矩形面积为；综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为900cm2或576