矩阵与行列式基础知识

矩阵与行列式基础知识

介绍我们常常会碰到一些求解方程的问题：能否如一元一次方程一样求解?矩阵概念的引入把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B矩阵的概念

一.矩阵的定义：由个数排成的m行n列数表，称为m行n列矩阵。表示矩阵A的第i行第j列的元素。矩阵表示如下：

A=

矩阵A也记作m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.矩阵概念的引入引入矩阵形式：类比怎样求解矩阵方程？？

因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。相等矩阵记为A=B.

特殊矩阵零矩阵:如行矩阵、列矩阵：行矩阵、列矩阵也称为向量矩阵的相关概念对角矩阵：aii

称为对角元.单位矩阵：方程组的矩阵和向量表示形式

m个方程n个未知量的线性方程组：向量形式矩阵形式若右端向量矩阵的运算

1.矩阵的加法运算加法定义：有矩阵，那么矩阵为A和B的和。

C=

记作：C=A+B注意：

(1)同型矩阵才能相加、减；

(2)相加、减结果为同型矩阵;

负矩阵：减法：

2.减法运算

设有一个矩阵，是一个数，那么矩阵

称为矩阵A与数的乘积（简称矩阵的数乘），记作．3.矩阵的数乘

矩阵的线性运算律：加法、数乘.①②③④⑤1.乘法的定义：和，如果则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。即我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作．4.矩阵的乘法注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，矩阵乘法的运算规律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA4.矩阵的转置

1.定义（转置）例2.运算律①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT

(kA)T=kAT

④(AB)T=BTAT⑤(A1A2……Ak)T=ATk

ATk-1……AT1

例

已知

，，求解

因为

所以

另解

行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本节主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。一阶行列式：二阶行列式：三阶行列式：二、全排列与逆序数例

把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法．因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。计算排列逆序数的方法：

不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi

前面的元素有τi个，就说pi

这个元素的逆序数是

i，即：

(p1

p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是这个排列的逆序数。

对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）．一般,n个自然数1,2,…,n的一个排列可以记作

其中是某种次序下的自然数.n个不同元素的所有排列的种数，通常用表示.由例结果可知仿照例子的推导方式我们容易得到

对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定自小到大为标准次序；此时，对应的排列称作自然排列），于是在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作！．逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.

例1排列83265147是偶排列还是奇排列？解把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排成平行的两行，连接上下两行所有相同元素（要避免出现三条连线相交于一点的情况），得到排列的交叉图.那么，交叉图中交点的个数就是排列的逆序数.

12345678

83265147n阶行列式的定义所有位于不同行不同列的n个数乘积之“和”行列式的性质性质1.设是n阶矩阵，是A的转置矩阵，则即行列式经过转置后其值不变.那么D等于下列两行列式的和，即，其中性质2.如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如行列式D的第i行的元素都是两数之和

性质3（行列式的初等变换）设A为n阶矩阵，（1）交换A第i,j行（列）的位置得到A1，则;

（2）把A的第j行（列）乘以数得到A2

，则；

（3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到A3，则