新课标理科高考导数复习(四)

导数〔四〕1．函数，，且在点〔1，〕处的切线方程为。〔1〕求的解析式；〔2〕求函数的单调递增区间；〔3〕设函数，假设方程有且仅有四个解，求实数a的取值范围。【答案】〔1〕；〔2〕当，那么，无解，即无单调增区间，当，那么，即的单调递增区间为，当，那么，即的单调递增区间为；〔3〕【解析】试题分析：(1)利用导数的几何意义：曲线在某点处的导数值等于该点处曲线切线的斜率，联立方程组求解；(2)求导，利用倒数分析单调性，注意一元二次不等式根的情形；〔3〕通过导数对函数单调性分析，结合图像分析零点的问题试题解析：〔1〕，由条件，得，即，4分〔2〕由，其定义域为，，令，得〔*〕6分①假设，那么，即的单调递增区间为；7分②假设，〔*〕式等价于，当，那么，无解，即无单调增区间，当，那么，即的单调递增区间为，当，那么，即的单调递增区间为10分〔3〕当时，，，令，得，且当，在上有极小值，即最小值为11分当时，，，令，得，①假设，方程不可能有四个解；12分②假设时，当，当，在上有极小值，即最小值为，又，的图象如图1所示，111111图1从图象可以看出方程不可能有四个解14分③假设时，当，当，在上有极大值，即最大值为，又，的图象如图2所示，111111图2从图象可以看出方程假设有四个解，必须，综上所述，满足条件的实数的取值范围是16分考点：导数，函数的单调性，函数的最值2．设函数〔其中〕，，它们在处有相同的切线.〔1〕求函数，的解析式；〔2〕求函数在上的最小值；〔3〕判断函数零点个数.【答案】〔1〕.〔2〕；〔3〕函数只有一个零点.【解析】试题分析：(1)应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.(2)应用导数研究函数的最值，根本步骤明确，此题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.当时，在单调递减，单调递增，得到.当时，在单调递增，得到；即.〔3〕由题意求导得，由,确定的单调区间：上单调递增，在上单调递减根据，得到函数只有一个零点.13分，即得所求.试题解析：(1)，1分由题意，两函数在处有相同的切线.，.3分(2)，由得，由得，在单调递增，在单调递减.4分当时，在单调递减，单调递增，∴.5分当时，在单调递增，；6分〔3〕由题意求导得，8分由得或，由得所以在上单调递增，在上单调递减10分11分12分故函数只有一个零点.13分考点：应用导数研究函数的单调性、最值，函数的零点.3．，，且直线与曲线相切．〔1〕假设对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；〔2〕当时，求最大的正整数，使得对〔是自然对数的底数〕内的任意个实数都有成立；〔3〕求证：．【答案】〔1〕〔2〕见解析〔3〕见解析【解析】〔1〕设点为直线与曲线的切点，那么有．〔*〕，．〔**〕由〔*〕、〔**〕两式，解得，．……………2分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，那么是增函数，，是增函数，，．…5分因此，实数的取值范围是．………6分〔2〕当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．………10分〔3〕证明〔法一〕：当时，根据〔1〕的推导有，时，，即．………11分令，得，化简得，………………13分．………14分〔法二〕数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据〔1〕的推导有，时，，即．令，得，即．因此，时不等式成立．………………11分〔另解：，，，即．〕假设当时不等式成立，即，那么当时,，要证时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．时命题也成立．………13分根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．…14分此题主要考查函数的性质、导数运算法那么、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．4．设函数〔其中〕，，它们在处有相同的切线.(1)求函数，的解析式；(2)求函数在上的最小值；(3)假设对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)；〔3〕满足题意的的取值范围为.【解析】试题分析：(1)应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.(2)应用导数研究函数的最值，根本步骤明确，此题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.当时，在单调递减，单调递增，得到.当时，在单调递增，得到；即.〔3〕构造函数，问题转化成.应用导数研究函数的最值，即得所求.试题解析：(1)，1分由题意，两函数在处有相同的切线.，.3分(2)，由得，由得，在单调递增，在单调递减.4分当时，在单调递减，单调递增，∴.5分当时，在单调递增，；6分〔3〕令，由题意当7分∵恒成立，8分，9分，由得；由得∴在单调递减，在单调递增10分①当，即时，在单调递增，，不满足.11分当，即时，由①知，，满足.12分③当，即时，在单调递减，在单调递增，满足.综上所述，满足题意的的取值范围为.13分考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.5．函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝alnx，a∈R.(1)假设对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)＝假设P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．【答案】〔1〕(－∞，－1]〔2〕(－∞，0]【解析】(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x..由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x－lnx＞0.从而a≤恒成立，a≤min.(4分)设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.(6分)x∈[1，e]，x－1≥0，lnx≤1，x＋2－2lnx＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．(8分)(2)F(x)＝设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，那么＜0.(10分)①假设t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.当t＝－1时