高中数学-单元测试卷2-新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题

..PAGEDOC版.第二讲单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t为参数)等价的普通方程为()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1)C．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤y≤2) D．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)答案D2．直线3x－4y－9＝0与圆：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)的位置关系是()A．相切 B．相离C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心答案D3．圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝rsinφ)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（1＋cosφ），,y＝rsinφ))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝r（1＋sinφ）)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（1＋cos2φ），,y＝rsin2φ))答案D4．直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)上与点P(－2，3)的距离于eq\r(2)的点的坐标是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－3，4)或(－1，2)D．(－4，5)或(0，1)答案C5．设椭圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点，M，N对应的参数为θ1，θ2，且x1<x2，则()A．θ1<θ2 B．θ1>θ2C．θ1≥θ2 D．θ1≤θ2答案B6．双曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4secθ，,y＝2tanθ))(θ为参数)上，当θ＝eq\f(2π,3)时对应的点为P，O为原点，则OP的斜率为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2答案A7．过点(0，2)且与直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)互相垂直的直线方程为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t，,y＝2＋t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2＋t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2－t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\r(3)t，,y＝t))答案B解析直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))化为普通方程为y＝eq\r(3)x＋1－2eq\r(3)，其斜率k1＝eq\r(3)，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－eq\f(\r(3),3)，故参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2＋t))(t为参数)．8．若动点(x，y)在曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4（0<b≤4）,2b（b>4）)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4（0<b<2）,2b（b≥2）))C.eq\f(b2,4)＋4 D．2b答案A9．过点(0，2)且与直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)互相垂直的直线的参数方程(t为参数)为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t,y＝2＋t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t,y＝2＋t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t,y＝2－t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\r(3)t,y＝t))答案B解析直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)化为普通方程为y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)＋1，它的斜率为eq\r(3)，因此过点(0，2)且与已知直线互相垂直的直线的普通方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋2，与它等价的参数方程为B，故选B.10．已知两曲线参数方程分别为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它们的交点坐标为()A．(1，eq\f(\r(5),5)) B．(1，eq\f(2\r(5),5))C．(eq\f(1,2)，eq\f(\r(5),5)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(2\r(5),5))答案B解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为eq\f(x2,5)＋y2＝1(y≥0，x≠－eq\r(5))和y2＝eq\f(4,5)x，联立解得交点坐标为(1，eq\f(2\r(5),5))，故选B.11．圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2eq\r(3))是圆上一点，则参数θ的值是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2,3)πC.eq\f(4,3)π D.eq\f(5,3)π答案B解析由4cosθ＝－2，得θ＝eq\f(2,3)π或θ＝eq\f(4,3)π.由4sinθ＝2eq\r(3)，得θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2,3)π，故θ＝eq\f(2,3)π.12．直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝1－t))(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为()A．7eq\r(2) B．40eq\f(1,4)C.eq\r(82) D.eq\r(93＋4\r(3))答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,\f(y,2)＝et－e－t))(t为参数)的普通方程为________．答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1(x≥2)14．若过点P(－3，3)且倾斜角为eq\f(5π,6)的直线交曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))于A、B两点，则|AP|·|PB|＝______．答案eq\f(164,7)解析直线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋tcos\f(5π,6)，,y＝3＋tsin\f(5π,6)))(t为参数)，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－\f(\r(3),2)t＝2cosθ，,3＋\f(1,2)t＝sinθ，))消去θ，得eq\f(7,16)t2＋eq\f(12＋3\r(3),4)t＋eq\f(41,4)＝0.设其两根为t1、t2，则t1t2＝eq\f(164,7)，∴|AP|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝eq\f(164,7).15．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝1＋2sinθ，))则C上各点到l的距离的最小值为________．答案2eq\r(2)－2解析圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心到直线的距离为d＝eq\f(|1－1＋4|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2).∴距离最小值为2eq\r(2)－2.16．已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)与圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)相切，则α＝________．答案0或eq\f(2π,3)解析直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)的普通方程式为y＝tanα(x－eq\r(3))，且过定点A(eq\r(3)，0)，倾斜角为α，圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.圆心为C(0，1)，半径为r＝1，l：tanαx－y－eq\r(3)tanα＝0.∴圆心到直线的距离d＝eq\f(|－1－\r(3)tanα|,\r(1＋tan2α))＝1∴tanα＝0或tanα＝－eq\r(3)，∴α＝0或α＝eq\f(2,3)π.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ为参数)化成普通方程．解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，①,y＝－1＋cos2θ，②))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝sin2θ，①,y＋1＝1－2sin2θ.②))∴①×2＋②，得2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.∴普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．18．(12分)已知点P(x，y)在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，且x＋y＋a≥0恒成立，求a的取值范围．解析设椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上的点P(eq\r(3)cosθ，sinθ)，则x＋y＝eq\r(3)cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))的最大值等于2，此时θ＝eq\f(π,6)，最小值等于－2，此时θ＝eq\f(7π,6)，∴－2≤x＋y≤2，－2≤－(x＋y)≤2.∴a≥－(x＋y)恒成立，即a≥2.19．(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t＋m，,y＝\f(\r(2),2)t))(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝eq\r(14)，试求实数m的值．解析(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，直线l的直角坐标方程为y＝x－m.(2)由(1)知：圆心的坐标为(2，0)，圆的半径r＝2，∴圆心到直线l的距离为d＝eq\r(22－（\f(\r(14),2)）2)＝eq\f(\r(2),2).∴eq\f(|2－0－m|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)⇒|m－2|＝1.∴m＝1或m＝3.20．(12分)已知曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cosα，,y＝3＋sinα，))(α为参数)，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ为参数)．(1)分别求出曲线C1，C2的普通方程；(2)若C1上的点P对应的参数为α＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t，))(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标．解析(1)由曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cosα，,y＝3＋sinα，))(α为参数)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，它表示一个以(－4，3)为圆心，以1为半径的圆；由C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ为参数)，得eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当α＝eq\f(π,2)时，P点的坐标为(－4，4)，设Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，PQ的中点M(－2＋4cosθ，2＋eq\f(3,2)sinθ)．∵C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t，))∴C3的普通方程为x－2y－7＝0，∴d＝eq\f(|－2＋4cosθ－4－3sinθ－7|,\r(5))＝eq\f(|4cosθ－3sinθ－13|,\r(5))＝eq\f(|5sin（θ＋φ）－13|,\r(5))，∴当sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)时，d的最小值为eq\f(8\r(5),5)，∴Q点坐标为(eq\f(32,5)，－eq\f(9,5))．21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．解析(1)∵曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∵ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)，))得t2－2eq\r(2)t＋2－8a＝0.则Δ＝(－2eq\r(2))2－4(2－8a)＞0，即a＞0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2－8a，))根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2t22＝2－8a，))解得a＝eq\f(1,36)＞0，符合题意；当t1＝－2t2时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－t2＝2\r(2)，,t1·t2＝－2t22＝2－8a，