高中数学复习提升-高中数学专题-立体几何专题(学生版)

PAGEPAGE16立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算一、看图选择正确的三视图1、（2010广东理数）6.如图1，△ABC为三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是2、（2010北京理数）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为ABABCD二、根据三视图求几何体的面积、体积1、（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280 B、2922、（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若，，则此正三棱锥的全面积为_________．3、（2010全国卷1文数）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)题型2空间点、线、面位置关系的判断例1（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．例2（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A．若，则B．若则C．若，则D．若则题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算例1．(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．例2．（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题）在四棱锥中，，，平面，为的中点，．（1）求四棱锥的体积；（2）若为的中点，求证平面；（3）求证∥平面．题型4求空间的角的大小一、异面直线所成的角例1（2007年广东理数）如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。例2．（2009年广东理数）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ，Ｇ在平面内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；（３）求异面直线所成角的正统值二、直线与平面所成的角例3（2008年广东理数）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点FCPGEAB图5FCPGEAB图5D（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积。三、求二面角大小：求解二面角大小的常用方法(一)定义法：根据二面角的平面角的定义，在二面角的棱上选择恰当的一点，经过这点作出二面角的平面角，这里点的选择是关键，常选择中点、垂足等。例1如图所示在正方体中，求两个平面与平面相交所成二面角的大小。AABCDA1B1C1D1例2如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且D1BACDA1B1C1OD1BACDA1B1C1O（二）直接法：图形中已有二面角的平面角，只要加以认定或证明，然后计算即可。例3(2010年广东理数)如图是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。（1）证明：；（2已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值。。（三）三垂线法：根据三垂线定理或逆定理，从二面角的一个面内的一点P作另一个面的垂线，将得到的第二个垂足B与P连接，则就是二面角的平面角，该法应用广泛，不过应注意要有必要的说明与论证。例4（2010全国卷2理数）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的正切值。（四）面积射影公式法：运用射影面积定理“”求射影面积与截面所夹的二面角的大小，这种方法可以免去寻找二面角的平面角及证明过程，使解法直截了当。A1AB1CA1AB1C1D1BCDFE(1)若为的中点，求证:∥面；(2)若为的中点,求二面角的余弦值；(五)补形法：当二面角的图形不完整时，特别是没有给出二面角的两个半平面的交线时，可以将两个半平面延伸，使其相交，构成完整的二面角。例6（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且。（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段的中点，求证：平面；（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．例7已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：直线MF∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1（3）求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小．题型5空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）例8．（2009年福建省理科数学高考样卷第18题）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．（1）求证：∥平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．例9（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）求此几何体的体积的大小．【巩固练习】一、选择题1．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点） （）A． B． C．D．2．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A． B． C． D．3．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为 （）A． B． C． D．4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A． B． C． D．5．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（） A． B． C． D．6．点在直径为的球面上，过作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的倍，则这三条弦长之和为最大值是（）A． B． C． D．7．正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是 （）A． B． C． D．8．已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成角都是的直线有且仅有 （）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．如图所示，四边形中，，将△沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面10．设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①、、均为直线；②、是直线，是平面；③是直线，、是平面；④、、均为平面．其中使“⊥且⊥∥”为真命题的是 （）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②11．已知三条不重合的直线、、两个不重合的平面、，有下列命题①若，则；②若，且，则；③若，，则；④若，，，，则．中正确的命题个数是（）A． B． C． D．12．直线与直二面角的两个面分别交于两点，且都不在棱上，设直线与平面所成的角分别为，则的取值范围是（） A．B． C． D．二、填空题13．在三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点，则蚂蚁经过的最短路程是．14．四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若把四面体的体积表示成的函数，则的增区间为，减区间为．15．如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个说法中，正确说法的序号依次是．16．已知棱长为的正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是．三、解答题17．已知，如图是一个空间几何体的三视图．（1）该空间几何体是如何构成的；（2）画出该几何体的直观图；（3）求该几何体的表面积和体积． 18．如图，已知等腰直角三角形，其中，．点分别是,的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值．19．如下图，在正四棱柱中，，点分别为的中点，过点三点的平面交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为（），求的值．20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积．21．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求二面角的大小．ACDA1B1C1D1MNE1.(本题14分)如图,长方体中,是ACDA1B1C1D1MNE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线和所成角的余弦值；ABCDAABCDA1B1C1D1FM且面，，，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）求证：面；3、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积．4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB、BC的中点。（Ⅰ）试判截面MNC1A1（Ⅱ）证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1。5．如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面．6．ABCDFEO如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥ABCDFEO（1）证明FO//平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．7．如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。（1）证明：（2）证明：（3）求三棱锥B-PDC的体积V。第8题图第8题图CDBAPEF8．已知ABCD是矩形，，E、F分别是线段AB、BC的中点，面ABCD.(1)证明：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.9．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∥，，E、F分别为PC、CD的中点证明：CD⊥平面BEF10．ABCDEPABCDEPAB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．(=1\*ROMANI)求证：平面PDC平面PAD；(=2\*ROMANII)求证：BE//平面PAD．ADEPCB11．如图，四棱锥P－ABCD中，ADEPCBPB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90，PA=BC=EQ\F(1,2)AD．求证：平面PAC⊥平面PCD；21.如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．22．在正方体中，如图、分别是，的中点，（1）求证：平面；（2）求．APBCDEF24．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，APBCDEF（1）求证：PA⊥BC；（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；（3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．25.ABCA1B1C1DABCA1B1C1D（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小.26．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.27.如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱锥的体积.30．如图，在四棱锥中，底面APEBCDAPEBCD (I)证明：； (II)证明：平面； (III)求二面角的大小.31、如图，矩形中，，，ABCDEFG为上的点，且ABCDEFG（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．BBMEDCA32．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；(Ⅲ)求二面角的大小．33．如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，，，设AE与平面ABC所成的角为,且,四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC．（1）求三棱锥C－ABE的体积；（2）证明：平面ACD平面；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO//平面？证明你的结论．34．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上