高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2-2

PAGE1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A基础达标]1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，所以y′|x＝1＝4.2．函数y＝cos(－x)的导数是()A．cosx B．－cosxC．－sinx D．sinx解析：选C.法一：[cos(－x)]′＝－sin(－x)·(－x)′＝sin(－x)＝－sinx.法二：y＝cos(－x)＝cosx，所以[cos(－x)]′＝(cosx)′＝－sinx.3．(2018·郑州高二检测)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：选C.因为f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2（x－2）（x＋1）,x)，又x>0，所以f′(x)>0即x－2>0，解得x>2.4．对于函数f(x)＝eq\f(ex,x2)＋lnx－eq\f(2k,x)，若f′(1)＝1，则k等于()A.eq\f(e,2) B.eq\f(e,3)C．－eq\f(e,2) D．－eq\f(e,3)解析：选A.因为f′(x)＝eq\f(ex（x－2）,x3)＋eq\f(1,x)＋eq\f(2k,x2)，所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq\f(e,2)，故选A.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()A．－3 B．2eC.eq\f(2,1－2e) D.eq\f(3,1－2e)解析：选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2exf′(1)＋eq\f(3,x)，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝eq\f(3,1－2e).6．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________．解析：因为f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,（2x－1）ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,（2x－1）ln3)，所以f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)7．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－28．已知f(x)＝eq\f(ex,x)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．解析：因为f′(x)＝eq\f(（ex）′x－exx′,x2)＝eq\f(ex（x－1）,x2)(x≠0)．所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq\f(ex0（x0－1）,xeq\o\al(2,0))＋eq\f(ex0,x0)＝0.解得x0＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．求下列函数的导数：(1)y＝cos(1＋x2)；(2)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(3)y＝ln(2x2＋x)；(4)y＝x·eq\r(2x－1).解：(1)设u＝1＋x2，y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝(cosu)′·(1＋x2)′＝－sinu·2x＝－2xsin(1＋x2)．(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).(3)设u＝2x2＋x，则y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(2x2＋x)′＝eq\f(1,u)·(4x＋1)＝eq\f(4x＋1,2x2＋x).(4)y′＝x′·eq\r(2x－1)＋x·(eq\r(2x－1))′.先求t＝eq\r(2x－1)的导数．设u＝2x－1，则t＝ueq\s\up6(\f(1,2))，t′x＝t′u·u′x＝eq\f(1,2)·u－eq\s\up6(\f(1,2))·(2x－1)′＝eq\f(1,2)×eq\f(1,\r(2x－1))×2＝eq\f(1,\r(2x－1)).所以y′＝eq\r(2x－1)＋eq\f(x,\r(2x－1))＝eq\f(3x－1,\r(2x－1)).10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解：因为曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，所以a＋b＋c＝1.①因为y′＝2ax＋b，所以4a＋b＝1.②又因为曲线过点Q(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.[B能力提升]11．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26 B．29C．212 D．215解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x解析：选D.若f(x)＝sinx＋cosx，则f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝lnx－2x，则f″(x)＝－eq\f(1,x2)，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)>0，不是凸函数．13．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．解：因为y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，所以y′|x＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设符合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.所以符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.14．(选做题)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．(1)求f(1)＋f′(1)；(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得