高二数学下学期导数的概念、运算及导数的几何意义专题复习卷(提升篇)(江苏等八省新高考专用)(解析版)

2020-2021学年高二数学下学期专题专题强化训练试卷一（提升篇）导数的概念、运算及导数的几何意义一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若函数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则．故选：A2.设，，，…，，，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，因此，故，故选：C。3.若函数满足，则的值为（）．A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】，则，则，故.故选：C.4.如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（）．A．－1 B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】将点代入直线的方程得，得，所以，，由于点在函数的图象上，则，对函数求导得，，故选:B．5.已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴，又，∴，即倾斜角的取值范围是．故选：C。6.曲线上的点到直线的最短距离是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，将直线平移至与函数图象相切时，切点到直线的距离最短,设切点坐标为，,令得，，则切点坐标为，所以切点到直线的距离为：.故选：A.7.已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设函数，的公共点设为，则，即，解得，故选：B.8.已知，，记，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．由，得，与直线平行的直线的斜率为．令，得，则切点坐标为，切点到直线的距离．即的最小值为．又过且与垂直的直线为，即，联立，解得，即当最小时，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求切线方程，代入点后，转化为关于的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求的取值范围.【详解】设切点坐标为，因为，所以，所以切线方程为，将点代入可得，化简得，过点作曲线的切线有且仅有两条，即方程有两个不同的解，则，解得：或，故实数的取值范围是.，所以由选项判断可知正确.故选：BCD10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx【答案】AC【解析】对于选项A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A正确；对于选项B，若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B错误；对于选项C，若f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x)，令lnx＝eq\f(1,x)，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x)的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C正确；对于选项D，若f(x)＝tanx，则f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(1,cos2x)，令tanx＝eq\f(1,cos2x)，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D错误．故选：AC.11.若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题正确的是（）A.直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；B.直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；C.直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；D.直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.【答案】AC【解析】对于选项A,y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，而时，，时，，∴直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，故A正确；对于选项B,由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，作出y=x-1与y＝lnx的图像可知不满足题意，故B错误；对于选项C,y＝sinx的导数为y′＝cosx，可得在点P（π，0）处切线方程为y=﹣x+π，由y＝sinx和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx，故C正确；对于选项D,y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，作出y=-x+1与y＝ex的图像可知不满足题意，故D错误；故选：AC.12.若以曲线y=f(x)上任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥lA.；B.；C.；D.．【答案】AC【解析】由题意知，曲线具有“可平行性”的条件是方程y'=a至少有两个根．对于选项A，，即x=±-a，此方程有不同的两个根，故A正确；对于选项B，②y'=3x2+1知，y'=1时，x取值唯一，只有0，对于选项C，由y'=-sinx和三角函数的周期性知，-sinx=a(-1≤a≤1)的解有无穷多个，对于选项D，0)'/>，令2x-4+1x=a，则有2x2-(4+a)x+1=0，当Δ=0时，解唯一，故三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则_________.【答案】5【解析】，令，得，则，故，．故答案为：514.已知直线是曲线的一条切线，则________.【答案】4【解析】设，切点为，因为，所以，解得，所以，故切点为，又切点在切线上，故.故答案为：415.已知函数，则__________;曲线在点处的切线方程为_______________,【答案】4,【解析】设函数，则，所以，则曲线在点处的切线方程为.故答案为：4,16.直线与函数的图象相切于点，则__________【答案】【解析】由已知，且.因为，所以，即，所以，所以，即，两边同时取自然对数得，整理的，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以，化简可得，；（3）因为，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得，；18.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【答案】(1)y＝13x－32;(2)(－2，－26);(3)y＝4x－18或y＝4x－14【解析】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.19.设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为7x－4y－12＝0．（1）求f(x)的解析式；（2）证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】（1）f(x)＝x－eq\f(3,x)；（2）答案见解析，6.【解析】（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3．当x＝2时，y＝eq\f(1,2)．又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))故f(x)＝x－eq\f(3,x)．设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0)))．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为：S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6．故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．20.(1)函数存在与直线平行的切线，则求实数的取值范围；(2)若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】由题意，得，故存在切点，使得，所以有解，因为，所以（当且仅当时取等号），所以，则实数的取值范围是.故答案为：.（2）∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x)(x＞0).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋eq\f(1,x)－a＝0有解，∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取等号).21.设A，B为函数y＝f(x)图像上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数．在点A，B处分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条不重合的切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(lnx，,0<x<1，,ax2，,x>1)))不存在“优点”，求实数a的值；(2)求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；【答案】(1)eq\f(1,2)；(2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】(1)不妨设A(t，f(t))(0<t<1)，当0<x<1时，f′(x)＝eq\f(1,x)，则f′(t)＝eq\f(1,t)；当x>1时，f′(x)＝2ax，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))＝eq\f(2a,t)，因为函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，0<x<1，,ax2，x>1))不存在“优点”，所以对任意的0<t<1，都有eq\f(1,t)＝eq\f(2a,t)，所以a＝eq\f(1,2).(2)设A(t，t2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，\f(1,t2)))，由题意t≠0，±1，过A，B两点的切线方程分别为y－t2＝2t(x－t)，y－eq\f(1,t2)＝eq\f(2,t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))，联