高中物理带电粒子在复合场中的运动(一)解题方法和技巧及练习题

一、带电粒子在复合场中的运动专项训练1．两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力），若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且，两板间距。（1）求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值。（2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h表示）。（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。【来源】带电粒子的偏转【答案】（1）粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径（3）粒子在板间运动的轨迹如图：【解析】【分析】【详解】（1）设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为s1①②又已知联立解得：（2）解法一粒子在t0~2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v1，轨道半径为R1，周期为T，则联立解得：又即粒子在t0~2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t0~3t0时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移大小为s2解得：由于s1+s2＜h，所以粒子在3t0~4t0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为R2，有：解得由于s1+s2+R2＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t0~5t0时间内，粒子运动到正极板（如图所示）：因此粒子运动的最大半径。解法二由题意可知，电磁场的周期为2t0，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为：方向向上。后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T粒子恰好完成一次匀速圆周运动。至第n个周期末，粒子位移大小为sn又已知由以上各式得：粒子速度大小为：粒子做圆周运动的半径为：解得：显然因此粒子运动的最大半径。（3）粒子在板间运动的轨迹如图所示：2．如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为、带电量、重力不计的带电粒子，以初速度垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功（2）粒子第次经过电场时电场强度的大小（3）粒子第次经过电场所用的时间（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）．【来源】河北省衡水中学滁州分校2018届高三上学期全真模拟物理试题【答案】（1）（2）（3）（4）如图；【解析】（1）根据，因为，所以，所以,（2）=，，所以．（3），，所以．(4)3．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q＞0)和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g．（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向．（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由．（3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由．【来源】带电粒子在电场中运动压轴大题【答案】（1），方向沿y轴正方向；，方向垂直xOy平面向外（2）通过坐标原点后离开；理由见解析（3）范围是x＞0；理由见解析【解析】【详解】(1)带电微粒平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力的大小相等，方向相反．设电场强度大小为E，由：可得电场强度大小：方向沿y轴正方向；带电微粒进入磁场后受到重力、电场力和洛伦兹力的作用．由于电场力和重力相互抵消，它将做匀速圆周运动．如图（a）所示：考虑到带电微粒是从C点水平进入磁场，过O点后沿y轴负方向离开磁场，可得圆周运动半径；设磁感应强度大小为B，由：可得磁感应强度大小：根据左手定则可知方向垂直xOy平面向外；(2)从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，如图（b）所示，设P点与点的连线与y轴的夹角为，其圆周运动的圆心Q的坐标为，圆周运动轨迹方程为：而磁场边界是圆心坐标为（0，R）的圆周，其方程为：解上述两式，可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为或：坐标为的点就是P点，须舍去．由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的；(3)带电微粒初速度大小变为2v，则从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为：带电微粒在磁场中经过一段半径为的圆弧运动后，将在y轴的右方（x＞0区域）离开磁场并做匀速直线运动，如图（c）所示．靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x＞0．答：（1）电场强度，方向沿y轴正方向和磁感应强度，方向垂直xOy平面向外．（2）这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的；（3）若这束带电微粒初速度变为2v，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x＞0。4．扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面．一质量为m，电量为-q，重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角（1）当Ⅰ区宽度、磁感应强度大小时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0（2）若Ⅱ区宽度磁感应强度大小，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h（3）若、，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件（4）若，，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出．为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、、L2、之间应满足的关系式．【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试物理卷（山东)【答案】（1）（2）（3）（或）（4）【解析】图1（1）如图1所示，设粒子射入磁场Ⅰ区的速度为，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为，由动能定理和牛顿第二定律得①②由几何知识得③联立①②③，带入数据得④设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期为，运动的时间为⑤⑥联立②④⑤⑥式，带入数据得⑦（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为，有牛顿第二定律得⑧由几何知识得⑨联立②③⑧⑨式，带入数据得⑩图2（3）如图2所示，为时粒子能再次回到Ⅰ区，应满足[或]⑾联立①⑧⑾式，带入数据得（或）⑿图3图4（4）如图3（或图4）所示，设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向得夹角为，有几何知识得⒀[或]⒁[或]联立②⑧式得⒂联立⒀⒁⒂式得⒃【点睛】（1）加速电场中，由动能定理求出粒子获得的速度．画出轨迹，由几何知识求出半径，根据牛顿定律求出B0．找出轨迹的圆心角，求出时间；（2）由几何知识求出高度差；（3）当粒子在区域Ⅱ中轨迹恰好与右侧边界相切时，粒子恰能返回Ⅰ区，由几何知识求出半径，由牛顿定律求出B2满足的条件；（4）由几何知识分析L1、L2与半径的关系，再牛顿定律研究关系式．5．如图1所示，宽度为的竖直狭长区域内（边界为），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图2所示），电场强度的大小为，表示电场方向竖直向上。时，一带正电、质量为的微粒从左边界上的点以水平速度射入该区域，沿直线运动到点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的点，为线段的中点，重力加速度为g，上述、、、、为已知量。(1)求微粒所带电荷量和磁感应强度的大小；(2)求电场变化的周期；(3)改变宽度，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求的最小值。【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷)理综【答案】(1)；(2)；(3)。【解析】【分析】根据物体的运动性质结合物理情景确定物体的受力情况。再根据受力分析列出相应等式解决问题。【详解】(1)根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，则mg=qE0①∵微粒水平向右做直线运动，∴竖直方向合力为0.则mg+qE0=qvB②联立①②得：q=③B=④(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，作圆周运动的周期为t2，则=vt1⑤qvB=m⑥2πR=vt2⑦联立③④⑤⑥⑦得：t1=，t2=⑧电场变化的周期T=t1+t2=+⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩联立③④⑥得：R=，设N1Q段直线运动的最短时间t1min，由⑤⑩得t1min=，因t2不变，T的最小值Tmin=t1min+t2=。答：(1)微粒所带电荷量q为，磁感应强度B的大小为。(2)电场变化的周期T为+。(3)T的最小值为。【点睛】运动与力是紧密联系的，通过运动情况研究物体受力情况是解决问题的一个重要思路。6．如图，区域I内有与水平方向成°角的匀强电场，区域宽度为，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场，区域宽度为，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下.一质量为m、电量大小为q的微粒在区域I左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了，重力加速度为g，求：(1)区域I和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度的大小.(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小.(3)微粒从P运动到Q的时间有多长.【来源】【市级联考】陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)理综物理试题【答案】(1),(2)(3)【解析】【详解】(1)微粒在区域I内水平向右做直线运动，则在竖直方向上有：求得：微粒在区域II内做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，有：求得：(2)粒子进入磁场区域时满足：根据几何关系，分析可知：整理得：(3)微粒从P到Q的时间包括在区域I内的运动时间t1和在区域II内的运动时间t2，并满足：经整理得：7．如图所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在边长为2L的正方形abcd区域（包括边界）内有方向垂直纸面向外的匀强磁场．一电子从y轴上的A（0，）点以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，已知电子的质量为m、电荷量为e，正方形abcd的中心坐标为（3L，0），且ab边与x轴平行，匀强电场的电场强度大小．（1）求电子进入磁场时的位置坐标；（2）若要使电子在磁场中从ab边射出，求匀强磁场的磁感应强度大小B满足的条件．【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试理综物理试题【答案】（1）（2L，0）（2）≤B＜【解析】试题分析：电子在电场中做类平抛运动，分别列出竖直和水平方向的方程，即可求出电子进入磁场时的位置坐标；电子从ab边界射出，其运动轨迹的临界状态分别与ab相切和bc相切，根据几何关系求出相应半径，由洛伦兹力提供向心力即可求出强磁场的磁感应强度大小B满足的条件．（1）电子在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示：则有：竖直方向有：加速度为：水平方方向为：竖直速度：vy＝at1解得：y1＝vy＝v0所以电子射出电场时的速度方向与x轴成45°角，则电子在电场中沿x轴正方向和沿y轴负方向运动的距离分别为L和，又因为A点的坐标是（0，），电子在无电场和磁场的区域内做匀速直线运动，则电子射入磁场区的位置坐标为（2L，0）且射入磁场区的速度大小：v＝v0，方向与x轴成45°角．（2）分使电子从ab边界射出，其运动轨迹的临界状态分别与ab相切和bc相切当运动轨迹与ab相切时，有r1＋r1sin45°＝L电子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，有：解得：当运动轨迹与bc相切时，有：r2＋r2sin45°＝2L电子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，有：解得：匀强磁场的磁感应强度大小B满足的条件：≤B＜点睛：本题主要考查了带电粒子由电场进入磁场的情况，电子在电场中做类平抛运动，分别列出竖直和水平方向的方程列式分析求解；在磁场中，关键要画出轨迹图分析，根据几何关系求解．8．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，与x轴的交点分别为M、N，在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为，飞出电场后从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。（1）求0≤x≤L区域内电场强度E的大小和电子从M点进入圆形区域时的速度vM；（2）若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子在圆形区域内运动的时间t；（3）若在电子从M点进入磁场区域时，取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向），最后电子从N点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向相同，请写出磁场变化周期T满足的关系表达式。【来源】【省级联考】吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试物理试题【答案】（1），，设vM的方向与x轴的夹角为θ，θ＝45°；（2），；（3）T的表达式为（n＝1，2，3，…）【解析】【详解】（1）在加速电场中，从P点到Q点由动能定理得：可得电子从Q点到M点，做类平抛运动，x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，由以上各式可得：电子运动至M点时：即：设vM的方向与x轴的夹角为θ，解得：θ＝45°。（2）如图甲所示，电子从M点到A点，做匀速圆周运动，因O2M＝O2A，O1M＝O1A，且O2A∥MO1，所以四边形MO1AO2为菱形，即R＝L由洛伦兹力提供向心力可得：即。（3）电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为90°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方向上的位移恰好等于轨道半径，即因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达N点且速度符合要求的空间条件为：（n＝1，2，3，…）电子在磁场中做圆周运动的轨道半径解得：（n＝1，2，3，…）电子在磁场变化的半个周期内恰好转过圆周，同时在MN间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是又则T的表达式为（n＝1，2，3，…）。9．如图为近代物理实验室中研究带电粒子的一种装置．带正电的粒子从容器A下方小孔S不断飘入电势差为U的加速电场．进过S正下方小孔O后，沿SO方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在照相底片D上并被吸收，D与O在同一水平面上，粒子在D上的落点距O为x，已知粒子经过小孔S时的速度可视为零，不考虑粒子重力．（1）求粒子的比荷q/m；（2）由于粒子间存在相互作用，从O进入磁场的粒子在纸面内将发生不同程度的微小偏转．其方向与竖直方向的最大夹角为α，若假设粒子速度大小相同，求粒子在D上的落点与O的距离范围；（3）加速电压在（U±△U）范围内的微小变化会导致进入磁场的粒子速度大小也有所不同．现从容器A中飘入的粒子电荷最相同但质量分别为m1、m2（m1＞m2），在纸面内经电场和磁场后都打在照相底片上．若要使两种离子的落点区域不重叠，则应满足什么条件？（粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向的最大夹角仍为α）【来源】浙江诸暨市牌头中学2017-2018学年高二1月月考物理试题【答案】（1）（2）最大值最小值（3）【解析】【详解】（1）沿SO方向垂直进入磁场的粒子，最后打在照相底片D的粒子；粒子经过加速电场：qU=mv2

洛伦兹力提供向心力：qvB=m落点到O的距离等于圆运动直径：x=2R

所以粒子的比荷为：

（2）粒子在磁场中圆运动半径由图象可知：粒子左偏θ角（轨迹圆心为O1）或右偏θ角（轨迹圆心为O2）落点到O的距离相等，均为L=2Rcosθ

故落点到O的距离最大：Lmax=2R=x

最小：Lmin=2Rcosα=xcosα

（3）①考虑同种粒子的落点到O的距离；当加速电压为U+△U、偏角θ=0时，距离最大，Lmax=2Rmax=

当加速电压为U-△U、偏角θ=α时，距离最小Lmin=2Rmin

cosα=cosα

②考虑质量不同但电荷量相同的两种粒子由R=和

m1＞m2，知：R1＞R2要使落点区域不重叠，则应满足：L1min＞L2maxcosα＞解得：．

（应有条件m1cos2α＞m2，否则粒子落点区域必然重叠）10．如图所示，A、B两水平放置的金属板板间电压为U(U的大小、板间的场强方向均可调节)，在靠近A板的S点处有一粒子源能释放初速度为零的不同种带电粒子，这些粒子经A、B板间的电场加速后从B板上的小孔竖直向上飞出，进入竖直放置的C、D板间，C、D板间存在正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场的方向水平向右，大小为E，匀强磁场的方向水平向里，大小为B1。其中一些粒子能沿图中虚线做直线运动到达上方竖直圆上的a点，圆内存在磁感应强度大小为B2、方向水平向里的匀强磁场。其中S、a、圆心O点在同一竖直线上。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。求：(1)能到达a点的粒子速度v的大小；(2)若e、f两粒子带不同种电荷，它们的比荷之比为1︰3，都能到达a点，则对应A、B两金属板间的加速电压U1︰U2的绝对值大小为多大；(3)在满足(2)中的条件下，若e粒子的比荷为k，e、f两粒子在磁场圆中射出的两位置恰好在圆形磁场的同一条直径上，则两粒子在磁场圆中运动的时间差△t为多少?【来源】河南省名校联盟2019届年高三第五次（3月份)调研考试理科综合物理试题【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】解：(1)能达到a点的粒子速度设为v，说明在C、D板间做匀速直线运动，有：解得：(2)由题意得e、f两粒子经A、B板间的电压加速后，速度都应该为v，根据动能定理得：它们的比荷之比：得出：(3)设磁场圆的半径为R，e、f粒子进入磁场圆做圆周运动对e粒子：对f粒子：解得：e、f两粒子在磁场圆中射出的两位置恰好在同一条直径上，说明两粒子的偏转角之和为，e、f两粒子的轨迹图如图所示，由几何关系有：联立解得：，e、f两粒子进入磁场圆做匀速圆周运动的周期满足：在磁场中运动的时间：两粒子在磁场中运动的时间差为：11．如图，平面直角坐标系xOy内，x<0、y>0区域存在沿x轴正方向的匀强电场E，x>0区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.2T。一比荷qm=5×108C/kg的粒子，从点P(－6cm，0)进入电场，初速度v0=8×106m/s，方向沿y轴正方向，一段时间后经点Q(0，16cm)(1)匀强电场的电场强度E；(2)粒子第一次回到电场时的位置坐标。【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三统一联合考试理科综合试题（物理部分)【答案】(1)6×105N【解析】【分析】（1）粒子从P运动到Q做类平抛运动，利用平抛运动的知识求解；（2）进入磁场做圆周运动，正确地画出轨迹，找好相应的几何关系。【详解】（1）粒子由P到Q做类平抛运动，设运动时间为t，粒子的质量为m，电荷量为q，设y轴方向粒子做匀速直线运动y=沿x轴正方向粒子做匀加速直线运动x=解得：E=6×（2）如图所示，设进入磁场时速度为v，方向与y轴夹角为θ，在磁场中做圆周运动的圆心为O洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m则圆周运动半径r=设粒子第一次从y轴回到电场时的左边为y1，根据几何关系：在电场，电场力对粒子做正功：qEx=12解得：y即粒子第一次回到电场时的位置坐标为(0,4cm)12．如图，竖直平面内（纸面）存在平行于纸面的匀强电场，方向与水平方向成θ=60°角，纸面内的线段MN与水平方向成α=30°角，MN长度为d．现将一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电小球从M由静止释放，小球沿MN方向运动，到达N点的速度大小为（待求）；若将该小球从M点沿垂直于MN的方向，以大小的速度抛出，小球将经过M点正上方的P点（未画出），已知重力加速度大小为g，求：(l)匀强电场的电场强度E及小球在N点的速度；(2)M点和P点之间的电势差；(3)小球在P点动能与在M点动能的比值．【来源】【市级联考】江西省南昌市2019届高三下学期4月第二次模拟考试理综物理试题【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】解：（1）由小球运动方向可知，小球受合力沿MN方向，如图甲，由正弦定理：得：合力：F=mg从,有：得：（2）如图乙，设MP为h，作PC垂直于电场线，小球做类平抛运动：得：（3）如图乙，作PD垂直于MN，从，由动能定理：13．如图所示，半径为r的圆形匀强磁场区域Ⅰ与x轴相切于坐标系的原点O，磁感应强度为B0，方向垂直于纸面向外．磁场区域Ⅰ右侧有一长方体加速管，加速管底面宽度为2r，轴线与x轴平行且过磁场区域Ⅰ的圆心，左侧的电势比右侧高．在加速管出口下侧距离2r处放置一宽度为2r的荧光屏．加速管右侧存在方向垂直于纸面向外磁感应强度也为B0的匀强磁场区域Ⅱ．在O点处有一个粒子源，能沿纸面向y>0的各个方向均匀地发射大量质量为m、带电荷量为q且速率相同的粒子，其中沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿轴线进入长方形加速管并打在荧光屏的中心位置．（不计粒子重力及其相互作用）（1）求粒子刚进入加速管时的速度大小v0；（2）求加速电压U；（3）若保持加速电压U不变，磁场Ⅱ的磁感应强度B=0.9B0，求荧光屏上有粒子到达的范围？【来源】江苏省扬州市高邮市2018－2019学年度第二学期高三年级阶段性物理调研试题【答案】（1）v0=qB0rm（【解析】【分析】由运动方向通过几何关系求得半径，进而由洛伦兹力作向心力求得速度；再由几何关系求得半径，由洛