高等数学-微分方程

精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档第十二章微分方程§1微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（）的解。A.(x-2y)y=2-xyB.(x-2y)y=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C2(C为任意常数)所满足的微分方程（）4.微分方程y=SKIPIF1<0写成以y为自变量，x为函数的形式为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.x=2x-yD.y=2x-y§2可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（）A.可分离变量的微分方程B.一阶微分方程的对称形式，C.不是微分方程D.不能变成SKIPIF1<02、方程xy-ylny=0的通解为（）Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C3、方程满足初始条件：y=e2x-y,y|x=0=0的特解为（）A.ey=e2x+1B.SKIPIF1<0C.y=lne2x+1-ln2D.ey=SKIPIF1<0e2x+C4、已知y=y(x)在任一点x处的增量SKIPIF1<0，且当x0时，是x高阶无穷小，y(0)=,则y(1)=()A.2B.C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=SKIPIF1<0解：分离变量为tanydy=tanxdx，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC，cosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0特解为：SKIPIF1<0cosy=cosx6、求微分方程SKIPIF1<0满足y(0)=的特解。解：由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，积分得：SKIPIF1<0代入初始条件：y(0)=，得C=-27、求微分方程SKIPIF1<0满足y(0)=0的特解解:分离变量得SKIPIF1<0两边积分SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，将y(0)=0代入得C=0特解：SKIPIF1<0§3齐次方程1.(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（）A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C2.SKIPIF1<0,y|x=1=2，则特解为（）A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+23.SKIPIF1<0的通解为（）A.x=2y+CB.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.以上都不对4、求yx2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<05、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)，即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，得通解SKIPIF1<0§4一阶线性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0；C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=SKIPIF1<0的解为（）A.SKIPIF1<0，B.SKIPIF1<0，C.SKIPIF1<0，.SKIPIF1<03、y+y=y2(cosx-sinx)的通解为（）A.y=Cex-sinxB.SKIPIF1<0=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C4、求通解SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，5、求通解xdy-ydx=y2eydy解：整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<09、已知连续函数f(x)满足方程SKIPIF1<0，求f(x)解：原方程两边对x求导数f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x解得：f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e3x-2e2x2、数(x)具有二阶连续导数，且(0)=(0)=0，并已知y(x)dx+(sinx-(x))dy=0是一个全微分方程，则(x)=()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.x2exD.SKIPIF1<03、别下列方程的类型并求其通解（1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程SKIPIF1<0，通解为:SKIPIF1<0（2）(1+e2)d+2e2d=0解：是全微分方程d(+e2)=0，通解为+e2=C4、f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：对任意闭曲线L有SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-2，SKIPIF1<0§6可降阶的高阶微分方程1、yy+y2=0满足初始条件y|x=0=1，y|x=0=SKIPIF1<0的特解为（）A.y2=x+CB.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.y2=C1x+C22、方程xy=ylny的通解为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0，C.SKIPIF1<0D.以上都不对3、(1)求y=y+x的通解解：令y=p得p-p=xp=-x-1+C1exSKIPIF1<0(2)求xy+y=0的通解解：令y=p，则xp+p=0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0y=C1lnx+C2§7高阶线性微分方程1、证明：SKIPIF1<0是方程y-3y+2y=e5x的通解2、已知二阶线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求方程满足初始条件y(0)=1,y(0)=3的特解。解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y(0)=3代入得：C1=-1,C2=2，所以特解为y=2e2x-ex§8常系数齐次线性微分方程设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为（）A.y+2y+y=0B.y-2y+2y=0C.y-2y=0D.y+y=02、设y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y+py+qy=0的解，则（）A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=23、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=i，则此方程通解为（）A.y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinxC.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx4、求下列微分方程的通解(1)y-4y+13y=0。解：r2-4r+13=0r1,2=23i，y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2)y+25y=0解：r2+25=0r=5i，y=C1cos5x+C2sin5x(3)SKIPIF1<0。解：r2+2r+1=0r1,2=-1，y=(C1+C2t)e-t(4)y(4)-2y+5y=0。解：r4-2r3+5r2=0r1,2=0,r3,4=12i，y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)5、求下列初值问题的特解y+(1+2)y+12y=0(12且为实数)满足y(0)=0,y(0)=1解：r2+(1+2)r+12=0r1=1r2=2，通解为SKIPIF1<0由y(0)=0,y(0)=1，得SKIPIF1<0§9常系数非齐次线性微分方程1、方程y+16y=sin(4x+a)(a为常数）的特解形式为y*=()A.Acos4x+Bsin4x；B.x(Acos4x+Bsin4x)；C.Acos4x-Bsin4x;D.x2(Acos4x-Bsin4x)2、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)=f(x)的特解，则函数y=(1-C1-C2)y1+C1y2+C2y3()（C1,C2为任意常数）A.是所给方程通解B.不是方程的解C.是所给方程的特解D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。3、方程y-2y=xe2x的特解具有形式（）A.y*=Axe2x;B.y*=(Ax+B)e2x;C.y*=x(Ax+B)e2x;D.y*=x2(Ax+B)e2x4.求解微分方程y+2y+2y=e-xsinx解：对应的齐次方程：y+2y+2y=0，特征方程r2+2r+2=0r1,2=-1i，齐次方程通解为：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)由于i=-1i是特征方程的根，设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=SKIPIF1<0,B=0，即y*=SKIPIF1<0xe-xcosx原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)SKIPIF1<0xe-xcosx5.求解初值问题y+9y=cosx,SKIPIF1<0解：由y+9y=0得：r1,2=3i，所以齐次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于i=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=SKIPIF1<0,B=0，即Y=SKIPIF1<0cosx通解为y=C1cos3x+C2sin3x+SKIPIF1<0cosx，由初始条件得特解SKIPIF1<06.求特解：y-y=4xex，y|x=0=0,y|x=0=1解：r2-1=0r1,2=1，所以y-y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x因=1是特征方程的单根，设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得：A=1,B=-1即y*=ex(x2-x)，原方程的通解为：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)代入初始条件得：C1=1,C2=-1，所求特解为：y=ex(x2-x+1)-e-x7.求y-4y=e2x的通解解：r2-4=0Þr1,2=±2，所以y²-4y=0的通解为Y=C1e2x+C2e-2x因l=2是特征方程的单根，设y*=Axe2x是原方程的一个特解，代入原方程得：A=1/4,即y*=1/4xe2x，原方程的通解为：y=C1e2x+C2e-2x+1/4xex10、设SKIPIF1<0，其中f(x)有连续的二阶导数，并且满足：SKIPIF1<0，试求函数f(x)解：由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得r2-r=0Þr1=0，r2=1所以齐次方程的通解为Y=C1+C2ex因l=1是单根，设y*=Axex是原方程的一个特解，代入原方程得：A=1,即y*=xe2x，所以：f(x)=C1+C2ex+xex将SKIPIF1<0代入得C1=2,C2=2,故f(x)=SKIPIF1<0第十二章自测题一、选择题(36=18分)1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是()A.线性非齐次方程;B.可分离变量方程；C.线性齐次方程；D.伯努利方程2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为()A.y=x(C-ex)；B.y=x(C+ex)；C.x=y(C+ey)；D.x=y(C-ey)3.由x2-xy+y2=C确定的隐函数满足的微分方程是()A.(x-2y)y=2x-yB.(x-2y)y=2x，C.-2yy=2x-yD.xy=2x-y4.微分方程y-2y=xe2xA.y*=(Ax+B)e2x;B.y*=Axe2x，;C.y*=Ax2e2x;D.y*=x(Ax+b)e2x5.已知y1,y2,y3为方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，C1,C2,C3均为任意常数，则该方程的通解为：A.C1y1+C2y2；B.C1y1+C2y2+C3y3；C.C1y1+C2y2+y3；D.C1(y1-y2)+C2(y1-y3)+y26.函数y=y(x)的图形上(0,-2)的切线为2x-3y=0且y(x)使y=6x，则函数y(x)为()A.y=x2-2B.y=x3+2C.3y-3x3+2x+6=0D.3x-3y2-2y-6=0二、填空题(36=18分)1.SKIPIF1<0的通解为SKIPIF1<02.方程y+sin(2x-y)=sin(2x+y)满足初始条件SKIPIF1<0的特解ln|cscy-coty|=sin2xSKIPIF1<03.积分SKIPIF1<0与路径无关，且f(0)=f(0)=0，则f(x)为SKIPIF1<04.设常系数方程y+by+cy=0的基本组是y1=e2xcosx,y2=e2xsinx，则b=_-4,C=55.方程y-4y+4y=x的通解为SKIPIF1<06.已知连续函数f(x)满足SKIPIF1<0则f(x)=3e3x-2e2x三、求通解(54=20分)1.（xlnx）y+y=ax(lnx+1)解：原方程化为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通解。2.SKIPIF1<0解：令u=y-2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0通解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<03.y-ay2=0,y(0)=0,y(0)=-1解：令y=p,即p=ap2=0得SKIPIF1<0代入初始条件得SKIPIF1<04.y+2y+y=cosx，y(0)=0,SKIPIF1<0，