2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（4分）己知实数a、b,若a>6,则下列结论正确的是（）

A.a+3<b+3B.a-4<b-4C.2a>2bD.A<k

33

2.（4分）下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）

A.'—B.

3.（4分）已知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是（）

A.9B.10C.11D.12

4.（4分）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（)

2

A.m（a+b+c）=ma+mb+mcB.x+5x=二x(x+5)

C.X2+5X+5=X（X+5）+5D.«2+l=a()

a

5.（4分）如图，AABC是等边三角形，。为3。边上的点,ZBAD=15°,△ABO经旋转

后到达AACE的位置，那么旋转了（）

A

A.75°B.60°C.45°D.15°

6.（4分）要使分式三工有意义，则尤的取值应满足（)

x-2

A.%W2B.C.x=2D.x=l

7.（4分）如图，在口ABC。中，已知AZ）=5cm,AB=3cm,AE平分NBA。交BC边于点E,

则等于（)

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

8.（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）

A.尤“-x+lB.1-Ix+x'C.cT+a+—D.-a"+b"-lab

2

9.（4分）如图，直线yi=x+＞与＞2=依-1相交于点尸，点尸的横坐标为-1，则关于尤的

不等式x+b＞区-1的解集在数轴上表示正确的是（）

10.（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点

A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=8D=54cff2,且与闸机侧立面夹角/PCA=

ZBZ）e=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

图1图2

A.(54\/3+10)cmB.(54^/2+10)cmC.64cmD.54cm

11.（4分）如图，在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,过点。作直线机〃AC,点E、F是

直线山上两个动点，在运动过程中所〃AC且所=AC,四边形ACPE的面积是（）

B

A.48B.40C.24D.30

12.（4分）如图，在菱形ABC。中，AB=6,ZDAB=60°,AE分别交BC、BD于点、E、

F,CE=2,连接CR以下结论：①△ABFMCBF；②点E到A3的距离是2、R；③A尸

）个

D.4

二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）

13.（4分）如果4-/?=2,ab=3,那么Jb-4/=.

2

14.（4分）使得分式工_二A值为零的x的值是

x+2

15.（4分）如图，已知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三

条直线h，12,13,上，且/1，，2之间的距离为2,，2,，3之间的距离为3,则AC的长是.

16.（4分）在平面直角坐标系中，若点尸（2x+6,5%）在第四象限，则％的取值范围是.

17.（4分）如图，口458的对角线AC,5。相交于点O,点片是8的中点，△A3。的周

18.（4分）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4«,对角线AC、2。相交于点。，现

将一个直角三角板OEF的直角顶点与0重合，再绕着0点转动三角板，并过点D作DH

LOF于点H,连接在转动的过程中，的最小值为.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）

19.（8分）（1）因式分解：4m2-

（2）先化简，再求值：（1+」-）+上，其中尤=2.

x2-lx+1

20.（6分）解不等式组俨+3、个+7①并把它的解集在数轴上表示出来.

l5（x-l）〉3x-l②

1I111111111A

-5-4-3-2-1012345

21.（6分）如图，在△ABC中，NC=90°,4。平分NCA3,交于点£»,过点。作。E

LAB于点E.

(1)求证：△ACD四△AED；

(2)若/2=30°,CD=1,求3。的长.

（1）在网格中画出AABC向右平移5个单位后的图形△4SC1；

（2）在网格中画出△ABC关于原点。成中心对称后的图形222c2；

（3）请直接写出点&、C2的坐标.

»

X

23.(8分)俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两

种品牌的足球供学生使用.已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足

球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元.

(1)求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？

(2)学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那

么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？

24.(10分)如图，在矩形A8CQ中，E是A8的中点，连接。E、CE.

(1)求证：△ADE且△BCE；

(2)若A2=6,AO=4,求△€»£的周长.

DC

25.(10分)如图所示，矩形。4BC的邻边。4、0c分别与尤、y轴重合，矩形。42c的对

称中心P(4,3),点。由。向A以每秒1个单位速度运动，点M由C向8以每秒2个

单位速度运动，点N由8向C以每秒2个单位速度运动，设运动时间为，秒，三点同时

出发，当一点到达终点时同时停止.

(1)根据题意，可得点2坐标为，AC=；

(2)求点0运动几秒时，△PCQ周长最小？

(3)在点M、N、。的运动过程中，能否使以点。、0、M、N为顶点的四边形是平行四

边形？若能，请求出f值；若不能，请说明理由.

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式,

例如由图1可以得至！］Ca+2b)(a+b)—c^+iab+lb2.

请解答下列问题:

(1)写出图2中所表示的数学等式；

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：己知a+b+c—l\,ab+bc+ac-38,

求a,+t^+c1的值；

(3)图3中给出了若干个边长为。和边长为。的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b

的长方形纸片，

①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出

的几何图形的面积为2cT+5ab+2b2,

②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2/+5浦+2星分解因式.

即2/+5如2/=.

27.(12分)正方形ABCZ)中，点E、F、G分别是边4。、AB,的中点，连接ERFG.

(1)如图1,直接写出与FG关系为

（2）如图2,若点尸为BC延长线上一动点，连接叮，将线段EP以点尸为旋转中心,

逆时针旋转90°,得到线段FH,连接

①证明：△印石注△PFG；

②直接写出EAEH、8P三者之间的数量关系；

（3）如图3,若点尸为CB延长线上一动点，连接叮，按照（2）中的做法在图3中补

全图形，并直接写出EREH、8P三者之间的数量关系.

2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（4分）已知实数服b,若a>b,则下列结论正确的是（）

A.a+3<b+3B.a-4-<b-4C.2a>2bD.A<k

33

【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向

不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除

以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案.

【解答】解：A、不等式的两边都加3,不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都减4,不等号的方向不变，故B错误；

C、不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变，故C正确；

D、不等式的两边都除以3,不等号的方向不变，故。错误；

故选：C.

【点评】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的

问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.

2.（4分）下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）

心

D.

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析.

【解答】解：4不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

3.(4分)己知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是()

A.9B.10C.11D.12

【分析】多边形的外角和是360°,正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为

30°,由此即可求出答案.

【解答】解：因为360+30=12,

则正多边形的边数为12.

故选：D.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，己知正多边形的外角求正多边形的边数

是一个考试中经常出现的问题.

4.(4分)下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是()

2

A.m(〃+/?+c)—ma+mb+mcB.x+5x=x(x+5)

-271

C.x+5x+5=x(x+5)+5D.a+\=a(tz+—)

a

【分析】利用因式分解的定义判断即可.

【解答】解：A、m(a+A+c)=ma+mb+mc,不符合题意；

B、x+5x=x(x+5),符合题意；

C、X2+5X+5=X(X+5)+5,不符合题意；

D、a2+l=a(tz+—),不符合题意，

a

故选：B.

【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键.

5.(4分)如图，△ABC是等边三角形，。为边上的点，ZBAD=15°,4ABD经旋转

后到达AACE的位置，那么旋转了()

【分析】由△ABD经旋转后到达AACE的位置，而根据旋转的性质得到N84C

等于旋转角，即旋转角等于60°.

【解答】解：•••△ABC是等边三角形，

J.AB^AC,ZBAC=60°,

"?AABD经旋转后到达△ACE的位置，

等于旋转角，

即旋转角等于60°.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线

段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的性质.

6.（4分）要使分式二1有意义，则无的取值应满足（）

x-2

A.xW2B.xWlC.x=2D.x=1

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，x-2#0,

解得尤不2.

故选：A.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0,分式无意义，分母

等于0.

7.（4分）如图，在。ABC。中，己知AO=5CHI,AB^3cm,AE平分NA4D交BC边于点E,

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角

形，推得根据A。、A8的值，求出EC的长.

【解答】解：

：.ZDAE=ZBEA,

：4£平分/姑。，

ZBAE=ZDAE,

:./BAE=/BEA,

1・BE=AB=3cm,

•：BC=AD=5cm,

EC=BC-BE=5-3=2cm,

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当

出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.

8.（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）

777179

A.x-x+1B.1-2x+xC.a+a+—D.-a+b-lab

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【解答】解：能用完全平方公式分解的是1-2x+/=（尤-1）2,

故选：B.

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

9.（4分）如图，直线力=尤+方与》2=依-1相交于点尸，点尸的横坐标为-1，则关于尤的

不等式1的解集在数轴上表示正确的是（）

凶=x+b

j3=/a-l

—1—•1

一2-10-2—10

【分析】观察函数图象得到当x>-1时，函数y=x+b的图象都在1的图象上方,

所以不等式1+。>丘-1的解集为-b然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选

项进行判断.

【解答】解：当-1时，x+b>kx-1,

即不等式区-1的解集为了>-1.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量尤的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线>=息+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了在

数轴上表示不等式的解集.

10.（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点

A与2之间的距离为10c",双翼的边缘AC=8£）=54cm,且与闸机侧立面夹角NPCA=

/2。。=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

两机制一机一

图1图2

A.（54>/3+10）cmB.（54>/2+10）cmC.64cmD.54cm

【分析】过A作AE，CP于E,过B作BP，。。于R则可得AE和的长，依据端点

A与8之间的距离为10。H，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.

【解答】解：如图所示，过A作AELC尸于E,过B作BE，。。于F，贝I]

RtzXACE中，Ax54=27（cm）,

22

同理可得，BF—21cm,

又,点A与2之间的距离为10cm,

.•.通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm）,

故选：C.

司机循司机第

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它

可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

11.（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,过点。作直线优〃AC,点E、F是

直线机上两个动点，在运动过程中跖〃AC且斯=AC,四边形ACPE的面积是（）

C.24D.30

【分析】证明四边形ACFE是平行四边形，得出四边形ACFE的面积=24AC£»的面积=

矩形A3。的面积=48即可.

【解答】解：：矩形ABC。中，AB=8,AD=6,

二矩形ABCD的面积=ABXAO=8X6=48；

'：EF//ACS.EF=AC,

四边形ACFE是平行四边形，

.••四边形ACFE的面积=2Z\AC。的面积=矩形A2C£＞的面积=48；

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及三角形面积；熟练掌握

矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键.

12.（4分）如图，在菱形A8C。中，AB=6,ZDAB=60°,AE分另lj交BC、BD于点E、

F,CE=2,连接CR以下结论：①AABF会ACBF；②点E到A3的距离是2、后；③AF

=CF；④AAB尸的面积为其中一定成立的有（）个

【分析】利用SAS证明AAB尸与ACB尸全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角

形的性质得出点E到AB的距离是2«,得出②正确；由菱形的对称性质得出③正确；

同时求出的面积为工等，得出④错误；即可得出结论.

【解答】解：：四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC^6,

VZDAB=60°,

：.AB=AD=DB,NABD=/DBC=60°,

fAB=BC

在△ABB与△C8F中，，ZABF=ZFBC，

BF=BF

AABF^△CBF(SAS),①正确；

过点E作EG_LAB,过点/作MH_LCO,MH±AB,如图：

•:CE=2,BC=6,ZABC=120°,

：・BE=6-2=4,

9：EG±AB,

，EG=2«,

点E到AB的距离是2«,②正确；

:菱形是轴对称图形，直线8。是对称轴，尸在2。上，

J.AF^CF,③正确；

：BE=4,EC=2,

S/\BFE-S△尸EC=4：2=2：1,

••S/\FBE=3：2,

...△AM的面积为=35"郎=反义3*6><2«=生区，④错误;

5525

一定成立的结论有3个,

故选：C.

【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、

三角形面积等知识.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）

13.（4分）如果a-b=2,ab—3,那么a^b-ab'=6.

【分析】直接找出公因式必，进而提取公因式分解因式求出答案即可.

【解答】解：・・"-6=2,ab=3,

a^b-/=ab（a-Z?）

=2X3

=6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

2

14.（4分）使得分式三二A支值为零的x的值是2.

x+2

【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案.

【解答】解：X-4=0,

,x+2卢0

解得：x—2,

故答案为：2

【点评】本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属

于基础题型.

15.（4分）如图，己知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三

条直线/1，1»13,上，且/1，/2之间的距离为2,勿，3之间的距离为3,则AC的长是

zVi7_-

【分析】过A、C点作七的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出8c

的长，再利用勾股定理即可求出.

【解答］解：作相＞口3于。，作CE」3于£，

AZABD+ZCBE^90°，

又：NZ14B+NAB£)=90°,

：.ZBAD=ZCBE,

X'：AB=BC,/ADB=/BEC,

在△ABO与△BCE中，

,ZBAD=ZCBE

<NADB=/BEC，

AB=BC

.'.△ABD%ABCE（AAS）,

：.BE=AD=3,CE=2+3=5,

在RtZXBCE中，根据勾股定理，得叱=正2+52=存,

在Rt^ABC中，根据勾股定理，得AC='国玩f/^=2■7万，

故答案为：2A

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“A4S”；全等三角形的对应边相等.

16.（4分）在平面直角坐标系中，若点尸（2x+6,5x）在第四象限，则x的取值范围是_二

3c尤<0.

【分析】根据第四象限点的特征，列出不等式组即可解决问题；

【解答】解：：点P⑵+6,5x）在第四象限，

f2x+6>0

5x<0

解得-3cx<0,

故答案为-3<尤<0

【点评】本题考查点的坐标、一元一次不等式组等知识，解题的关键是学会用转化的思

想思考问题，属于中考常考题型.

17.（4分）如图，nABCO的对角线AC,AD相交于点。，点E是CO的中点，△A3。的周

长为16。“，则△ZJOE的周长是8cm.

【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，BC=AD,DC=AB,DO

=B0,E点是CD的中点，可得OE是△OCB的中位线，可得。e=工2。.从而得到结

2

果是8cm.

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形，

。是中点，AABD名ACDB,

又：E是CD中点，

；.OE是ABCD的中位线，

，OE=^BC,

2

即△OOE的周长=L4BCZ）的周长，

2

，ADOE的周长=工4。48的周长.

2

，4DOE的周长=上义16=8cm.

2

故答案为：8.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用.

18.（4分）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4«,对角线AC、2。相交于点O,现

将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着0点转动三角板，并过点D作DH

LOF于点H,连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为2近-2.

【分析】取。。的中点G,过G作GPLAO于尸，连接HG,AG,依据/&。8=30°,

可得PG=°J）G=1,依据N£»HO=90°,可得点X在以。。为直径的OG上，再根据

2

AH+HG2AG,即可得到当点A,H,G三点共线，且点X在线段AG上时，最短，

根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值.

【解答】解：如图，取。。的中点G,过G作GP±AD于P,连接HG,AG,

VAB=4,BC=4«=A。，

AB£>=7AB2+AD2=8,

；.BD=2AB,00=4,HG=2,

：.ZADB=3Q°,

：.PG=-DG=\,

2

:.PD=M，AP=3«,

'：DH±OF,

：.ZDHO=90°,

...点H在以。。为直径的OG上，

'：AH+HG^AG,

当点A,H,G三点共线，且点〃在线段AG上时，AH最短,

此时，RtZkAPG中，AG=JAp2+pG2=2^/7.

：.AH=AG-HG=247-2,

即AH的最小值为2方-2.

故答案为：2书-2.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据/

"70=90°,得出点”在以。。为直径的OG上.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）

19.（8分）（1）因式分解：4"/-为产

（2）先化简，再求值：（1+」-）其中x=2.

x2-lx+1

【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，

约分得到最简结果，把尤的值代入计算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=(2m+3«)(2/77-3w)；

2口

(2)原式二7一J一•三工二工

(x+l)(x-l)XX-1

当％=2时，原式=2.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3x+3<2x+7①

20.(6分)解不等式组.并把它的解集在数轴上表示出来.

5(x-l)>3x-l②'

一IIII111II.>

-5-4-3-2-1012345

【分析】分别解两不等式，进而得出公共解集.

【解答】解：解①得：x<4,

解②得：尤>2,

11111Ib1.

故不等式组的解为：2<xW4,-5-4-3-2-101Z345

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的解法，正确掌握基本解题思路是解题关

键.

21.(6分)如图，在△ABC中，ZC=90°,平分/CAB,交CB于点。，过点。作。E

±AB于点E.

(1)求证：△AC。丝△AED；

(2)若N8=30。，CD=\,求8。的长.

【分析】(1)根据角平分线性质求出CD=Z)E,根据乩定理求出另三角形全等即可;

(2)求出/Z)EB=90°,OE=1,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.

【解答】(1)证明：平分NCA8,DE1AB,NC=90°,

:.CD=ED,ZD£A=ZC=90°,

在RtAACD和RtAAED中

(AD=AD,

icD=DE，

RtAACD^RtAAED(HI)；

(2)'：DC=DE=\,DEYAB,

；.NDEB=90°,

VZB=30°,

:.BD=2DE=2

【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的

应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

22.(6分)如图，△ABC中，A(-1,1),8(-4,2),C(-3,4).

(1)在网格中画出△ABC向右平移5个单位后的图形△4凸G；

(2)在网格中画出△ABC关于原点。成中心对称后的图形AA232c2；

(3)请直接写出点比、C2的坐标.

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点4,Bi，Q即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点A2,历，C2即可.

(3)依据222c2各顶点的位置，即可得到点治、C2的坐标.

【解答】解：(1)△A121C1如图所示.

(2)八4282c2如图所示.

y小

（3）点&、C2的坐标分别为（4,-2）和（3,-4）.

【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，平移作图时要先找到图

形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对

应点即可得到平移后的图形.

23.（8分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两

种品牌的足球供学生使用.已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足

球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元.

（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？

（2）学校准备•次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那

么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？

【分析】（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）

元/个，根据数量=总价+单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种

足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设这所学校购买优个乙种品牌的足球，则购买（25-m）个甲种品牌的足球，根据

总价=单价X数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于机的一元一次不等式，解之

取其中的最大值即可得出结论.

【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）

元/个，

根据题意得：驷_=驷_,

xx+30

解得：x=50,

经检验，x=50是所列分式方程的解，且符合题意，

・\x+30=80.

答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个.

（2）设这所学校购买机个乙种品牌的足球，则购买（25-加）个甲种品牌的足球，

根据题意得：80m+50（25-m）W1610,

解得：mW12.

答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式.

24.（10分）如图，在矩形ABC。中，E是A8的中点，连接。E、CE.

（1）求证：△ADE2△BCE；

（2）若AB=6,AD=4,求△COE的周长.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形

的周长公式解答.

【解答】（1）证明：在矩形ABC。中，AD=BC,ZA=ZB=9Q°.

是AB的中点，

：.AE=BE.

在△ADE与△BCE中，

fAD=BC

<NA=NB，

kAE=BE

:.AADE经ABCE(SAS)；

（2）由（1）知：△ADE四△BCE,则。E=EC.

在直角△ADE中，AD=4,AE=LB=3,

2

由勾股定理知，DE=qAD2+AE2=442+32=5,

:ACDE的周长=2£)E+C£)=2£)E+AB=2X5+6=16.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是

结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选

择恰当的判定条件.

25.(10分)如图所示，矩形。1BC的邻边。4、0c分别与x、y轴重合，矩形。42c的对

称中心P(4,3),点。由。向A以每秒1个单位速度运动，点M由C向8以每秒2个

单位速度运动，点N由B向C以每秒2个单位速度运动，设运动时间为f秒，三点同时

出发，当一点到达终点时同时停止.

(1)根据题意，可得点2坐标为(8,6),AC=10；

(2)求点Q运动几秒时，△PCQ周长最小？

(3)在点M、N、。的运动过程中，能否使以点。、。、M、N为顶点的四边形是平行四

【分析】(1)由矩形的性质得出。4=BC=8,AB=OC=6,ZAOC=90°,得出B(8,

6),由勾股定理得出AC=Q0A2+0(2=1。即可;

(2)作尸关于x轴的对称点P',连接P'C交x轴于。，则P(4,-3),此时PQ+CQ

的值最小=尸9,△PC。的周长最小，由相似三角形对应边成比例列出方程，即可得出结

果；

(3)由题意得：。。=/,CM=BN=2t,贝I]8M=CN=8-2力由OQ〃MN,当OQ=MN

时，以点。、。、M、N为顶点的四边形是平行四边形，得出方程t=8-2r-2。或f=2f

-(8-20,解方程即可.

【解答】解：(1):矩形048。的对称中心为尸(4,3),

.•.OA=BC=8,AB=OC=6,NAOC=90°,

B(8,6),AC=iyJ0人2,2=10,

故答案为：(8,6),10；

(2)作P关于x轴的对称点P,连接PC交x轴于。，P'轴于N

如图2所示：则P(4,-3),

此时PQ+CQ的值最小=「。APCQ的周长最小，

P'N=4,CN=9,

"：P'N//OQ,

：.APZCNS^QCO,

.­.PL_N=CN；即且=9,

OQOCOQ6

。。=旦，

3

/.点Q运动看秒时，△PC。周长最小；

(3)由题意得：OQ=t,CM=BN=2t,贝!J8M=CN=8-2f,

,?OQ//MN,

...当OQ=MN时，以点0、。、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

/.r=8-It-It,或£=2L(8-2/),

解得：/=旦，或t=—；

53

即在点M、N、。的运动过程中，能使以点0、。、M,N为顶点的四边形是平行四边形,

r值为a秒或反秒.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平

行四边形的判定、最短路线等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和平行四边形

的判定是解题的关键.

26.(12分)阅读下列文字:

b

abb

ba

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式,

例如由图1可以得到(a+26)(a+6)=a+3ab+2b2.

请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式2=a~+c~+2ab+2ac+2bc；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c—11,ab+bc+ac—38,

求/+/+C2的值；

（3）图3中给出了若干个边长为。和边长为6的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b

的长方形纸片，

①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出

的几何图形的面积为2a'+5ab+2b2,

②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2/+5帅+27分解因式.

即2/+5ab+2/=（2。+6）（。+26）.

【分析】（1）直接根据图形写出等式；

（2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可；

（3）①画出图形，答案不唯一，

②根据原图形面积=组合后长方形的面积得出等式.

【解答】（1）（a+b+c）"—a^+b^+c~+2ab+2ac+2bc；

故答案为：（a+6+c）2=a2+b"+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)«2+Z>2+c2=(a+b+c)~-lab-2ac-2bc,

=112-2X38,

=45；

(3)①如图所示,

SAAA

②如上图所示的矩形面积=(2a+b)(a+2b),

它是由2个边长为a的正方形、5个边长分别为a、b的长方形、2个边长为6的小正方

形组成，所以面积为2