高考数学一轮复习-第四章-三角函数-解三角形-第6节-正弦定理和余弦定理练习-人教版高三全册数学试题

wordwordword第6节正弦定理和余弦定理[A级基础巩固]1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．2解析：因为S＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案：B2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0.因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．答案：A3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)解析：因为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).答案：B4．(2020·某某模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：由bsin2A＝asinB，及正弦定理得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝eq\f(1,2).又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×eq\f(1,2)＝3b2，得eq\f(a,b)＝eq\r(3).答案：D5．(2020·潍坊调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝()A.eq\f(\r(15),2)B.eq\f(\r(11),2)C.eq\f(3\r(15),4)D.eq\f(3\r(15),8)解析：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋16－4,2×3×4)＝eq\f(21,24)＝eq\f(7,8)，则sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(49,64))＝eq\r(\f(15,64))＝eq\f(\r(15),8)，则h＝ACsinA＝bsinA＝3×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(3\r(15),8).答案：D6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________．解析：根据正弦定理可得sinBsinA＋sinAcosB＝0，即sinA(sinB＋cosB)＝0，显然sinA≠0，所以sinB＋cosB＝0，故B＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，所以sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)>0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)8．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．解析：因为AB＝AC＝4，BC＝2，所以cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2·AB·BC)＝eq\f(1,4)，因为∠ABC为三角形的内角，所以sin∠ABC＝eq\f(\r(15),4)，所以sin∠CBD＝eq\f(\r(15),4)，故S△CBD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2).因为BD＝BC＝2，所以∠ABC＝2∠BDC.又cos∠ABC＝eq\f(1,4)，所以2cos2∠BDC－1＝eq\f(1,4)，得cos2∠BDC＝eq\f(5,8)，又∠BDC为锐角，所以cos∠BDC＝eq\f(\r(10),4).答案：eq\f(\r(15),2)eq\f(\r(10),4)9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝eq\r(3)bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝eq\f(1,3)，求sinC的值．解：(1)在△ABC中，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝eq\r(3)bsinA，得2asinBcosB＝eq\r(3)bsinA＝eq\r(3)asinB，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，得B＝eq\f(π,6).(2)由cosA＝eq\f(1,3)，可得sinA＝eq\f(2\r(2),3)，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＝eq\f(2\r(6)＋1,6).10．(2020·某某质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsinCcosA＋asinA＝2csinB.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)(一题多解)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．(1)证明：因为2bsinCcosA＋asinA＝2csinB，所以由正弦定理得2bccosA＋a2＝2cb，由余弦定理得2bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a2＝2bc，化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.故△ABC为等腰三角形．(2)解：法一由已知得BD＝2，DC＝1，因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1.又因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝－eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)，则eq\f(12＋22－c2,2×1×2)＝－eq\f(12＋12－b2,2×1×1)，得2b2＋c2＝9，由(1)可知b＝c，得b＝eq\r(3).法二由题设得CD＝eq\f(a,3)＝1，又由(1)知，AB＝AC，则∠B＝∠C，因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B.所以△CAB∽△CDA，所以eq\f(CB,CA)＝eq\f(CA,CD)，即eq\f(3,b)＝eq\f(b,1)，所以b＝eq\r(3).[B级能力提升]11．(2020·某某调研)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(2a－c,b)＝eq\f(cosC,cosB)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D.eq\r(3)解析：由eq\f(2a－c,b)＝eq\f(cosC,cosB)得2acosB－cosBc＝bcosC，由正弦定理得，2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，又知sin(B＋C)＝sinA＝sinBcosC＋cosBsinC，所以2sinAcosB＝sinA，则cosB＝eq\f(1,2).由B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).又知cosB＝eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥1－eq\f(b2,2ac)＝1－eq\f(16,2ac)，所以ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×16×sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×16×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).故△ABC的面积的最大值为4eq\r(3).答案：A12．(2020·某某模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，eq\r(3)sinAcosC＋(eq\r(3)sinC＋b)·cosA＝0，则A＝________．解析：由eq\r(3)sinAcosC＋(eq\r(3)sinC＋b)cosA＝0，得eq\r(3)sinAcosC＋eq\r(3)sinCcosA＝－bcosA.所以eq\r(3)sin(A＋C)＝－bcosA，即eq\r(3)sinB＝－bcosA.又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(\r(3),cosA)＝eq\f(－b,sinB)＝－eq\f(a,sinA).从而eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(1,\r(3))，则tanA＝－eq\f(\r(3),3).由0<A<π，所以A＝eq\f(5,6)π.答案：eq\f(5,6)π13．(2020·全国大联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°.(1)若△ABC的面积为3eq\r(3)，a＝eq\r(13)，求b－c；(2)若△ABC是锐角三角形，求sinBsinC的取值X围．解：(1)由S△ABC＝3eq\r(3)，得eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(3)，即eq\f(1,2)bcsin60°＝3eq\r(3)，得bc＝12.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－bc＝13，所以(b－c)2＝13－bc＝1，所以b－c＝1或b－c＝－1.(2)因为A＝60°，所以B＋C＝120°，所以C＝120°－B.所以sinBsinC＝sinBsin(120°－B)＝sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝eq\f(\r(3),4)sin2B＋eq\f(1－cos2B,4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2B－\f(1,2)cos2B＋\f(1,2)))＝eq\f(1,2)sin(2B－30°)＋eq\f(1,4).因为△ABC是锐角三角形，所以C＝120°－B<90°，得B>30°，所以30°<B<90°，则30°<2B－30°<150°，所以eq\f(1,2)<sin(2B－30°)≤1，eq\f(1,4)<eq\f(1,2)sin(2B－30°)≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)<eq\f(1,2)sin(2B－30°)＋eq\f(1,4)≤eq\f(3,4)，所以sinBsinC的取值X围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).[C级素养升华]14．(2018·卷)若△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________，eq\f(c,a)的取值X围是________．解析：依题意有eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)＝eq\f(\r(3),4)×2accosB，则tanB＝eq\r(3)，因为0<∠B<π，所以∠B＝eq\f(π,3).eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－