高职单招数学第二章第二节-函数的单调性与最值

4.2函数的单调性与最值知识整合[基础知识]1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f

(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f

(x1)<f

(x2)，那么就说函数f

(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f

(x1)>f

(x2)，那么就说函数f

(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f

(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f

(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f

(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f

(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f

(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f

(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[基础训练]1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k>eq\f(1,2) B．k<eq\f(1,2)C．k>－eq\f(1,2) D．k<－eq\f(1,2)3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()A．递减函数 B．递增函数C．先递减再递增 D．先递增再递减4．函数y＝eq\f(2,x－1)在区间[2，3]上的最大值是________.5．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．重难点突破考点1.确定函数的单调性确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．【例1】函数f

(x)＝x2－2x－8的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)【变式训练】1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－eq\f(1,x＋1) D．f(x)＝－|x|2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ B．y＝2－xC．y＝ D．y＝eq\f(1,x)3．函数f

(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．4.求下列函数的单调区间：(1)y＝|－x2＋2x＋1|；(2)y＝log(x2－3x＋2)．考点2.求函数的最值求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【例2】(1)函数g(x)＝eq\f(2x－1,x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值是()A．－1B．0C．－2D.eq\f(3,2)(2)函数f

(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x＋2)区间[－1,1]上的最大值为________．【变式训练】1.函数f(x)＝eq\r(x)－eq\f(1,x2)在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是()A.eq\f(31,16) B.2 C.eq\f(9,4) D.eq\f(11,4)2.函数f

(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg(x2＋1)，x<1，))则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________.巩固练习一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－eq\r(x＋1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．y＝x＋eq\f(1,x)2.函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B.－eq\f(8,3) C.－2 D.22．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)3.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－eq\f(1,x)4．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝eq\f(1,x)－x B.y＝x2－xC.y＝lnx－x D.y＝ex5．函数y＝eq\f(lgx＋1,x－1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)6．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A.f(m)>f(1) B.f(m)<f(1)C.f(m)≥f(1) D.f(m)≤f(1)7．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)8．函数f(x)＝1－eq\f(1,x－1)()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减二、填空题9．函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝________.10．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．11．已知函数f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．12.已知函数f

(x)是定义在(－1,1)上的减函数，且满足f

(2a－1)<f

(1－a)，则a的取值范围是________.三、解答题13.试判断函数f

(x)＝eq\f(x3－1,x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．14.已知函数f(x