课题学习最短路径问题

八年级数学上分层优化堂堂清一十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题（解析版）学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。体会图形的变化在解诀最值问题中的作用。2.感悟转化思想。重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。难点：路径最短的证明。老师对你说：老师对你说：垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动③两定两动造桥选址问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．AMMNNBB基础提升教材核心知识点精练知识点1垂直线段最短问题【例11】如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．解：如图，在上取一点E，使，连接，是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为5，故选D．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．【例12】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】．B【详解】试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.【例13】如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2C【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=∠AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．【详解】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=2，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选：C．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．知识点2将军饮马问题【例21】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接，∵是的垂直平分线，∴，∴周长．连接，∵，点F是的中点，∴，∴．∵，∴，，∴周长的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．【例22】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为.【答案】3【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【点拨】此题主要考查轴对称最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．【例23】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．【答案】【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定．作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．知识点3造桥选址问题【例31】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即P【详解】解：作PP'垂直于河岸l2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l则EF∥PP'且∴四边形EFP∴P'根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．【例32】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【例33】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1）见解析；(2)4；(3)4【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BCBPPQ=8x2=6x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BCBPPQ=832=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH×PF×TM×QH×CN=×8×8×8×4×6×3=7．【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键。能力强化提升训练1.如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点M、N，使得的周长最小，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．2.如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为．【答案】【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3.如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，证明即可．【详解】解：作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，，，，，，，，，是等边三角形，点E为边上的中点，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1．如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解．【详解】解：设与于点,连接，如图，∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，根据两点之间线段最短，，最小，此时点P与点M重合．所以的最小值即为的长，为6．所以的最小值为6．故选：D．【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则A．154 B．245 C．5 【答案】B【分析】作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据对称性的性质，可知：BP=B【详解】解：如下图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，连接AB根据对称性的性质，可知：BP=B在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，∴AB=A根据对称性的性质，可知：△ABC≅△AB∴S即12∴5B∴B故选：B．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质3.如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．故选：C．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．4.如图，OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【答案】B【分析】由题意可知CD与OA的交点为E，与OB的交点为F，根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】由题意可知CD与OA的交点为E，与OB的交点为F．∵OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线，∴ME=CE,MF=DF，∴小蚂蚁爬行的最短路径为ME+EF+FM=CE+EF+FD=CD=10cm【点睛】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．5.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为______．【答案】24【分析】作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'、B'E、FG'，根据对称的性质可得BE=B'E，FG=FG'，再由【详解】解：如图，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'∵BE=B'E∴BE+EF+FG+BG=B∵B'E+EF+F∴当B'E+EF+FG'=∵BG=CG=CG'=∴BB'=AB+A∴B'∴BG+B∴四边形BEFG的周长的最小值为24，故答案为：24．【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键．6.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即P【详解】解：作PP'垂直于河岸l2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l则EF∥PP'且∴四边形EFP∴P'根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，可得AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD，交EF于点M，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=1∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，AM=CM，∴此时△CDM∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13−CD=13−3=10，∴S故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．填空题（每小题4分，共20分）9.如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是．【答案】【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是锐角三角形∴R必在AC上∵N关于AD的对称点是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题.解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.10.小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是．【答案】7【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值．解：∵，点E为AB的中点，∴，∵，∴，∵将和分别沿CE、DE翻折得到和，∴，，，，，，∴，，∴是等边三角形，∴，∵∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即，【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．11.如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．【答案】【分析】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．【详解】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称可知：，，，，，是等边三角形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．12.如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为.【答案】3【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【点拨】此题主要考查轴对称最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．13.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．【答案】105°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°−60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案为105°.【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．．三、解答题（共6小题，48分）14.（9分）如图，平面上有五个点A，B，C，D，E．按下列要求画出图形．（1）连接BD；（2）画直线AC交线段BD于点M；（3）请在直线AC上确定一点N，使B，E两点到点N的距离之和最小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意连接BD即可；（2）根据题意画直线AB交BD于点M；（3）根据两点直线线段最短，连接BE交AC于点N，点N即为所求．【详解】解：（1）如图，连接BD；（2）如图，画直线AB交BD于点M；（3）如图，连接BE交AC于点N，根据两点之间线段最短可得点N即为所求．【点睛】本题考查了画线段，画直线，两点之间线段最短，掌握基本作图，理解线段和直线的区别是解题的关键．15.（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析，P坐标为(2，0)【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、（2）找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．【详解】解：（1）△A1（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点A'1,−1，连接A'B交x轴于点P，则点P为所求的点，连接△APB此时点P坐标为(2，0)【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．16.（9分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是；（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB＋PC与AC的关系．．【详解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°70°70°=40°∵的垂直平分线交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°∠A=50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P点为所求，的最小值是8cm．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．17.（8分）如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）．（1）为最大值，在图1中的直线l上画出点的位置；（2），在图2中的直线l上画出点的位置；（3）为最小值，在图3中的直线l画出点的位置．（1）的位置见解析；（2）的位置见解析；（3）的位置见解析．【分析】（1）根据三角形两边之差小于第三边可得，且当P在AB的延长线上时等号成立，由此可得点的位置；（2）根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，作AB的垂直平分线与l的交点即为点的位置；（3）作B点关于直线l的对称点，连接与l的交点即为点的位置，原理是两点之间线段最短和轴对称的性质．【详解】解：（1）如图，点的位置如下；（2）如图，点的位置如下；（3）如图，点的位置如下．【点拨】本题考查作线段的垂直平分线，涉及的知识点有三角形三边关系、垂直平分线的性质和轴对称——最短路径问题．掌握相关定理，能正确分析是解题关键．18.（8分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（1）见详解；（2）【分析】（1）由等边三角形的性质可知,再利用等量代换可得，最后利用SAS可证全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，求出此时BD的值即可得出答案.【详解】（1）∵△ABC是等边三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四边形ADCE的周长为∴当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.19.（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周长的最小值为14cm．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的和差即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵MN垂直平分AB，∴AM=MB，∴∠MBA=∠A=40°，∠MBC=∠ABC∠MBA=30°；故答案为：30°．（2）①由（1）可知，AM=BM，∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC=14－8=6（cm）；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，如图，∵MN垂直平分AB，∴PB=PA∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，熟记并能熟练运用这些性质是解题的关键拓展培优*冲刺满分1.如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．发（1）写出AE与BD的大小关系.（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．（3）△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE长的最大值和最小值．（1）AE＝BD，理由见解析；（2）AE＝BD，理由见解析；（3）线段AE长的最大值为7，最小值3．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS