2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（）A．﹣1 B． C． D．3.142．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（）米．A．0.244×108 B．2.44×106 C．2.44×107 D．24.4×1064．（3分）某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x4＝x6 B．x3+x5＝x8 C．（x2）3＝x5 D．6．（3分）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，则AF：CF＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：57．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30° B．35° C．40° D．50°9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，垂足为E，连接BD并延长，连接AC．若⊙O的半径为5，AC＝8（）A． B．13 C． D．1410．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）分解因式：a2﹣2a＝．12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1y2．（填“＜”“＞”或“＝”）13．（3分）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x．14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1（﹣3，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是．15．（3分）如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n，化简：|m﹣n|﹣＝．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，点P为线段AD的中点．动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关于直线EF的对称点C′，点C′的运动路径长为cm．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程组：．18．（4分）如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．19．（6分）春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：使用次数02346人数24121（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为，众数为，平均数为；（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．20．（6分）已知T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2．（1）化简T；（2）若a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，求T的值．21．（8分）某学校开展“劳动创造美好生活”活动，某班负责校园绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝的单价是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的2倍，且资金不超过600元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？22．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，且OA＝4，OB＝2（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，BC＝9．①求证：BC是⊙O的切线；②求弦AC的长．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，垂足分别为D、C，连接AB①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小25．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝6，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE（1）求BC的长；（2）连接AP，PD，请猜想AP与PD的数量和位置关系；（3）在（2）的条件下，若点M为AC中点，PC，求MP+PC的最小值．

2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（）A．﹣1 B． C． D．3.14【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，故选：B．2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、B、C均能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，D中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形，故选：D．3．（3分）已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（）米．A．0.244×108 B．2.44×106 C．2.44×107 D．24.4×106【解答】解：将24400000用科学记数法表示为：2.44×107．故选：C．4．（3分）某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，他选择“100米”项目的概率，故选：B．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x4＝x6 B．x3+x5＝x8 C．（x2）3＝x5 D．【解答】解：A．∵x2•x4＝x6，∴此选项计算正确，故此选项不符合题意；B．∵x3，x5不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；C．∵（x4）3＝x6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；D．∵，∴此选项计算错误；故选：A．6．（3分）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，则AF：CF＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∵点E为AD的中点，∴＝＝，故选：A．7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞【解答】解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣5m2＝﹣4m+4≥0，解得：m≤，故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30° B．35° C．40° D．50°【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又∵C、C′为对应点，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．故选：C．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，垂足为E，连接BD并延长，连接AC．若⊙O的半径为5，AC＝8（）A． B．13 C． D．14【解答】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE，∴AD＝AC＝8，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠ADB＝90°，AB＝10，∴BD＝＝＝6，∵AM是圆O的切线，∴∠ADB＝∠BAP＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAP，∴，即，解得：PB＝，∴AP＝＝．故选：C．10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣7≤x≤4，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣5，∴a＝4；当a＜0时，在﹣5≤x≤4，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣2，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）分解因式：a2﹣2a＝a（a﹣2）．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣5）．故答案为：a（a﹣2）．12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1＜y2．（填“＜”“＞”或“＝”）【解答】解：∵直线y＝﹣3x+5中，k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵x1＞x3，∴y1＜y2．故答案为：＜．13．（3分）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x25（1+x）2＝36．【解答】解：由题意得，25（1+x）2＝36．故答案为：25（2+x）2＝36．14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1（﹣3，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（1，0）．【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴交于（﹣3，∴另一个交点坐标（2，0），故答案为：（1，2）．15．（3分）如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n，化简：|m﹣n|﹣＝n．【解答】解：由数轴可知：m＜0，n＞1，∴m﹣n＜7，∴＝n﹣m﹣（﹣m）＝n﹣m+m＝n，故答案为：n．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，点P为线段AD的中点．动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关于直线EF的对称点C′，点C′的运动路径长为cm．【解答】解：连接AC，BP，CP交于点T，EF交于点O，∵在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°．∴AB＝AP＝4，DP＝DC＝2，∴PC＝PA＝PD＝4，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴AC⊥AB，∴AC＝BC•sin60°＝8×＝4．∵∠PCD＝60°，∴∠PCB＝60°＝∠ABC，∴△TBC是等边三角形，∵动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F从点C开始沿边CB以2cm/s的速度运动至点B，∴．∵AE∥CF，∴△AEO﹣△CFO，∴，∴，∵AB＝AP，∠BAD＝120°，∴∠ABP＝30，°，∴∠TBP＝∠CBP＝30°，∴BP⊥TC，BP过点O，∴点O是△TBC的外心，∴∠TOC＝2∠TBC＝120°，∵点C关于直线EF的对称点C，∴，∴当点E点运动到点P时，点F运动到点B，则C与点T重合，∴C的运动轨迹为，∴点C的运动路径长为．故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程组：．【解答】解：，①+②得：3x＝9，解得：x＝7，把x＝3代入①得：3+y＝2，解得：y＝2，所以原方程组的解为：．18．（4分）如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）．19．（6分）春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：使用次数02346人数24121（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为2，众数为2，平均数为2.5；（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．【解答】解：（1）这10位游客1天内使用“哈啰”共享电动车的次数的中位数是＝2（次），平均数是，故答案为：2，2，2.5；（2）根据题意得：1200×2.2＝3000（次），答：估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数为3000次．20．（6分）已知T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2．（1）化简T；（2）若a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，求T的值．【解答】解：（1）T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2＝a7﹣2ab+b2﹣a4﹣ab﹣b2＝﹣3ab；（2）∵a，b是方程x3+x﹣6＝0的两个根，∴ab＝﹣4，∴T＝﹣3ab＝﹣3×（﹣4）＝18．21．（8分）某学校开展“劳动创造美好生活”活动，某班负责校园绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝的单价是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的2倍，且资金不超过600元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，答：购买绿萝的单价为10元；（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为5m盆，由题意得：15m+10×2m≤600，解得：m≤，∵m为正整数，∴m的最大值为17，答：购买吊兰的数量最多是17盆．22．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，且OA＝4，OB＝2（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作CE⊥x轴，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴AO＝BE＝4，OB＝CE＝7，∴OE＝OB+BE＝2+4＝4，∴C（6，2），∵C（6，2）在反比例函数图象上，∴k＝6×3＝12，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）在y轴上存在点M，使以点A、M、C，理由如下：根据（1）中求C点坐标，同理可得点D坐标（4，设直线OD解析式为y＝kx，解得k＝，∴直线OD解析式为：y＝，当AC为平行四边形的对角线时，在y＝，令x＝6，∴N（5，9），∴NC＝9﹣2＝7，∵AMCN是平行四边形，∴AM＝7，∵OA＝7，∴OM＝3，∴M（0，﹣8）；当AC为平行四边形的边时，点A向上移动7个单位得到平行四边形MACN，此时点M的坐标为（0，11）．综上所述，符合条件的点M有8个，﹣3）或（0．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，BC＝9．①求证：BC是⊙O的切线；②求弦AC的长．【解答】（1）解：如图，⊙O；（2）①证明：连接OC，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠ADC＝90°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠A+∠OCD＝90°，∵∠DCB＝∠A，∴∠DCB+∠OCD＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线；②解：∵∠B＝∠B，∠DCB＝∠A，∴△CBD∽△ABC，∴，∵tan∠A＝＝，BC＝2，∴AB＝27，∵BC2＝BD•BA，∴BD＝3，∴AD＝AB﹣BD＝24，设CD＝k，AC＝4k2+9k7＝242，∴k＝（负根已经舍去），∴AC＝．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，垂足分别为D、C，连接AB①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小【解答】解：（1）∵y＝x2+2mx﹣6m+1，∴抛物线对称轴直线为x＝﹣＝﹣m；（2）①∵y＝x2+2mx﹣7m+1＝（x+m）2﹣m5﹣2m+1，∴顶点M（﹣m，﹣m8﹣2m+1），∴M到x轴的距离为|﹣m5﹣2m+1|，点M到边AB所在直线的距离d＝|﹣m﹣（﹣4m﹣2）|＝|m+2|，∵m＞﹣2，∴m+2