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文档简介

2023-2024学年贵州省铜仁市一中高三适应性调研考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.2.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则3.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b4.设分别是双线的左、右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点(位于轴右侧),且四边形为菱形,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.5.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.7.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.8.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线9.若集合,,则=()A. B. C. D.10.已知与分别为函数与函数的图象上一点,则线段的最小值为()A. B. C. D.611.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.12.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足,则的最小值为________.14.如图所示,边长为1的正三角形中,点,分别在线段,上,将沿线段进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点在线段上,则线段的最小值为_______.15.函数的值域为_________.16.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)表示,中的最大值,如,己知函数,.(1)设,求函数在上的零点个数;(2)试探讨是否存在实数,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.18.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2),,求实数的取值范围.20.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.21.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求的取值范围.22.(10分)数列满足,是与的等差中项.(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.2、D【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解:选项A中直线,还可能相交或异面,选项B中,还可能异面,选项C,由条件可得或.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.3、B【解析】

先利用幂函数的定义求出m的值,得到幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,再利用幂函数f(x)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知,m﹣1=1,∴m=2,∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故选:B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质,以及利用函数的单调性比较函数值大小,属于中档题.4、B【解析】

由于四边形为菱形,且,所以为等边三角形,从而可得渐近线的倾斜角,求出其斜率.【详解】如图,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,,两渐近线的斜率分别为和.故选:B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程,利用了数形结合的思想,属于基础题.5、C【解析】

根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.6、B【解析】

可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题7、D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.8、C【解析】

根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,

方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,

故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.9、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.10、C【解析】

利用导数法和两直线平行性质,将线段的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点,可知抛物线存在某条切线与直线平行,则,设抛物线的切点为,则由可得,,所以切点为,则切点到直线的距离为线段的最小值,则.故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,以及点到直线的距离公式的应用,考查转化思想和计算能力.11、A【解析】

根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.12、B【解析】

由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、5【解析】

先作出可行域,再做直线,平移,找到使直线在y轴上截距最小的点,代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图,令,则,作出直线,平移直线,由图可得,当直线经过C点时,直线在y轴上的截距最小,由,可得,因此的最小值为.故答案为:4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题,是基础题。14、【解析】

设,,在中利用正弦定理得出关于的函数,从而可得的最小值.【详解】解:设,,则,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴当即时,取得最小值.故答案为.【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用,属中档题.15、【解析】

利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.16、5【解析】

执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)个;(1)存在,.【解析】试题分析:(1)设,对其求导,及最小值,从而得到的解析式,进一步求值域即可;(1)分别对和两种情况进行讨论,得到的解析式,进一步构造,通过求导得到最值,得到满足条件的的范围.试题解析:(1)设,.............1分令,得递增;令,得递减,.................1分∴,∴,即,∴.............3分设,结合与在上图象可知,这两个函数的图象在上有两个交点,即在上零点的个数为1...........................5分(或由方程在上有两根可得)(1)假设存在实数,使得对恒成立,则,对恒成立,即,对恒成立,................................6分①设,令,得递增;令,得递减,∴,当即时,,∴,∵,∴4.故当时,对恒成立,.......................8分当即时,在上递减,∴.∵,∴,故当时,对恒成立............................10分②若对恒成立,则,∴...........11分由①及②得,.故存在实数,使得对恒成立,且的取值范围为................................................11分考点:导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值;属于难题.本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.18、(1);(2)【解析】

(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出的值;(2)利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有的不等式,求出不等式解集即可.【详解】(1)不等式,即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即,解得(2)因为所以要使不等式恒成立,只需当时,,解得,即;当时,,解得,即;综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.19、(1);(2).【解析】

(1)将代入函数的解析式,将函数的及解析式变形为分段函数,利用二次函数的基本性质可求得函数的值域;(2)由参变量分离法得出在区间内有解,分和讨论,求得函数的最大值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1)当时,.当时,;当时,.函数的值域为;(2)不等式等价于,即在区间内有解当时,,此时,,则;当时,,函数在区间上单调递增,当时,,则.综上,实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题,利用绝对值的应用将函数转化为二次函数,结合二次函数的性质是解决本题的关键,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.20、(1):,:;(2)【解析】

(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得的值.【详解】(1)消去参数,得直线的普通方程为,将两边同乘以得,,∴圆的直角坐标方程为;(2)经检验点在直线上,可转化为①,将①式代入圆的直角坐标方程为得,化简得,设是方程的两根,则,,∵,∴与同号,由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,属于中档题.21、(1)或;(2)或.【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得最小值,再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析:(1)等价于或或,解得:或.故不等式的解集为或.(2)因为:所以,由题意得:

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