2022年湖南省永州市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022年湖南省永州市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:__________班级:—________姓名:____________考号:____________

一、单选题(30题)

1.

设八““一,2；/则=()

C---D।—

+y◎x2+1x4+1

2.

rosiikr#0,

已知函数/(/)=Jx则在点工=0处.下列结论正确的是(

11・1=0.

A.a=1时，/(①)必然连续B.a=0时./(N)必然连续

C.a=1时./(1)不连续D.a=—1时./(①)必然连续

3.

设X〜N(3,2D.那么当P(X<c)=P(X>Q口寸.则c为()

A.0B.3C.2D.4

4.

(e",iVO,

.若f⑺—J在k=0处可导.则a,〃的值为()

+sin2xj

A.a=2,0=lB.a=l,6=2C.«=—1,/)=2D.a=2,Z>=—1

5.

微分方程y'=2»的通解》=()

A.Ce'B.ejl+CC.x2+CD.ex+C

6.

已知级数».则下列结论正确的是)

H=1■■■一

CO.；/

A,若lim%=0,则12%收敛

L8“=1

CK>

B.若的部分和数列｛S—有界，则收敛

界=1n=1

co

C.若31u„收敛,则以“绝对收敛

77=1n=1

D.若£Iun发散，则也发散

w-11

7.

在下列函数中不存在拉氏变换的是）

B.“(/)

C.sin2tD.>0)

8.

.在区间上下列函数中不满足罗尔定理的是（）

A./(Jr)=cos.rB.f(x)=3①4+2

C./(x)=4

D./(①)=ln(1+J,2)

|sin2id1=()

A.—sin2x+CB.cos2x+C

C.--^-cos2①+CD.-^-COS2JT+C

10.

试确定当工-0时.下列哪一个无穷小是对于T的三阶无穷小（）

A."-AB.Ji+7。—1

C.z3+0.0002?D.y/sinj'3

11.

设极限lim第一=-1.则点h=h。是函数八工）的（）

A.极大值点B.极小值点

C.驻点，但非极值点D.非驻点

12.

若点（1.2）为曲线），=ak+6/的拐点.则常数&与〃的值应分别为（）

A.—1和3B.3和一1C.—2和6D.6和一2

13.

已知x-2y+siny=0,则变的值为（）

dxx=o

yaO

A.-1B.0C.1D.-

2

14.

-f(2—h)=

设f(1)在JT=2处可导，且，(2)=1,则lim/(2+2A)I

ioh

A.1B.2C.3■•..D..4.•

15.

/(.r)=(x—)•g（z）,其中可导，则/'（Wo）=()

A.0B.(p(a、o)C.<p(JTO)D.oo

16.

arg(-1+3i)=()

A.nB.arctan3

C.it-arctan3D.n+arctan3

17.

若函数y=.间(a,b)内有f'(x)>011f"(x)〉O,则曲线y=f(x)(i

此区间内是（）.

A.单减且是网的B.电减II.是凸的

C.单增IL是网的D.单增IL是凸的

18.

.设皆(a)=(1+sin2/)d/.则(x)=()

Jo

A.2xs\n2x2B.2^(1+sin2j')

C.2a"+sin2.r2)D.2T(1+sin2.r2)

19.

由曲线y=上.直线y=4H及l=2围成的平面图形的面积为（）

A.yB.y-21n2C.竽-ln2D.21n2一竽

20.

曲线》=1+厂,+2的垂直渐近线共有（）

厂一J:一O

4.1条B.2条C.3条D.4条

21.

下列函数中，在［l，c］上满足拉格朗日中值定理条件的是（）

A.InlnzB.InxC.二D.|z—2|

lor

22.

曲线），=丝士4的渐近线

—3

A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线

C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线

下列微分方程中，可分离变量的是（)

A.~=xy+\B.虬e，+，

23.改dx

C.dy+ydx=e-vdxD.y'=x+y

24.

I

lim(1+2sinj)7=

A.eB.e2D.e-z

25.

函数y=r；+；(4〉D是)

A.偶函数B.奇函数

c.非奇非偶函数D,以上都不是

26.

d,1<o,

.若/(2・)=1在1=0处可导.则a、/)的值为()

b+sin2H》0

A.a=2*6=1B.a=l,6=2

C.a=-2,6=1D.<2=2J)=—1

27.

下列各函数是同一函数的是(

A.，(x)=lnx2"^g(x)=21nxB./々)=*与雇工)="

c/(X)=与=与g(6=G-iD./(x)=|x|与g(x)=(4]

X+1

28.

老/⑴二/⑴测下列等太中，正曲的一个是

/(2)dx=/(2)

A.

d[f(z)cLr]=/(JC)

B.~

z

F(JC)CIJT=/(JC)

c.①

/•

d[/（Jr）clJC]=/(JT)+C

D.J

29.

下列级数中收敛的是（）

工4"-7"x1C.D.VsinL

A.y--—B.y---

白3"白-27?=1/?：=1

30.

某公司要用铁板做成一个容积为27n?的有盖长方体水箱.为使用料最省，则该水箱

的最小表面积应为()

A.54m2B.27m2C.9m2D.6m2

二、填空题（20题）

设A.B为三阶方阵.|A|=4AB=E.则|B|=

31.

32.

设函数/（.r）满足/（0）=0,/（0)=2,则极限lim=___________.

‘200、

设矩阵4=231则，Q)=.

J31；

二阶方阵/满足114=2°,则H

121111

34.

35微分方程.y〃-2.y'+.y=0的通解为，

36.

当其f0时，若lim互与左=1,贝I」k=

37f'(x)=sinx,则Jf(x)dx=.

38.

设随机变量X〜N(2,，)，若P(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=.

39.

设/(7)在［0,1］上连续，|COSJT|)dj'=A,则/=|/(|cosx|)dr

JoJ0

型线r=±.，-Ji+8*-5的拐点是

40.

极限lim

/f8

41.

定积分coswsinadr=___________

42.J-f

43设/(.r)=.r(i+l)(.r+2)…(-r+2018),则/'(0)=

函数/（.r）=1二-的幕级数展开式是

44.1-2r

•rnln(1—2)

若COSX为/（x）的一个原函数，则/4'（工加=

(Inz4-1)d.r=

47.

48已知函数/（1）=7一1.则f（jc）的反函数是y=

若lim­=£觉＞0）,则正项级数的敛散性为

49.…N-i

曲线＞y=.re-r的拐点为

三、计算题（15题）

oo

求幕级数£〃（〃-1）彳"的和函数.

51.»=1

计算不定积分|产

J1—cos.r

52.

53.

设函数z=3/（式，Q），其中函数/具有二阶连续偏导数，求弃.

求极限lim—-7―1.

~,fxtanx

54.

求定积分「H:..-...;­）di.

55」;，2a>…，12

求不定积分arctanjd.r.

56.,

求不定积分jarc詈ne'd]

57.

58.

求由曲线y=*及）=芥所围成的平面图形的面积.

求极限lim一」一）.

59…x\xsinx/

60.

X1+x2+x3+x4=a

.已知线性方程组•X,+2X3+3X4=3，。取何值时，方程组有解？并求出通解.

4玉+5X2+3X3+2X4=2

61.

'Xj+x2+=4,

问左为何值时，＜-巧+丘2+曰=公，有唯一解？无解？有无穷多解？并求出通解.

2-X2+2X3=-4

62.

一个商家销售某商品•其销售量Q（单位：吨）与销售价格P有关系：Q=35-

5立・商品的成本函数。=3Q+1（万元）.若销售一吨商品,政府要征税“万元.求:

（1）商家获得最大利润（指缴税后）时的销售量Q：

（2）每吨税收”为何值时,商家既获得最大利润*且政府税收总额也最大？

。(吁sin’)，求之以

已知参数方程，

G।V=a(l—cost),didr

63.1

将/（x）=（1+x）ln（l+x）展开为x的哥级数，并指出其收敛域.

arctartz—1

求lim

•T-*0/sim

65.

四、证明题（10题）

66.

已知方程+32*—V=0有一负根w=-2.证明方程4+9J*2—5w*=0必有一个

大于一2的负根.

设e<a<。<e"证明—In2a>3。-a）.

67.e“

68.

设/（/）在［0，a］上连续•且f（z）+/（az）>0,试证明：

「_____/（n）_____>_a_

Jo/（jr）4-f（a—x）”2"

69.

设。阶方阵4满足Ak=O（k为正整数）.证明：E-A可逆（E为。阶单

位曲），并求（E-用t.

70.

设函数/（x）在口，3］上连续，在（1.3）内可导，且八3）=0.证明：至少存在一点

《6（1，3）,使占'（切1吒+/（。=0.

71.

设平面图形D由曲线工=20?=/=与宜线了=1围成,试求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

72.

已知方程w"一、—一犬+r=o有一正根1=1.证明方程11上/°—7戈$—3〃+1=0

必有一个小于1的正根.

73.

设函数/（z）在闭区间［0,用上连续，在开区间（05）内可导.证明在开区间（0,兀）内至

少存在一点£•使得/(^)sin^=­/($)cos^.

74.

设函数/(z)在闭区间［0,口上可导,且八0)•/(D<0.证明在开区间(0,1)内至少存在

一点久使得2/($)+“•«)=0.

证明当①〉。时，J1+7<1+£

75.N

五、应用题(10题)

76.

设Q是由抛物线v=2/和直线①=a,z=2及.y=0所围成的平面区域；D?是由

抛物线y=2M和直线y=0,*=a所围成的平面区域.其中0VaV2.

(1)试求D,绕了轴旋转而成的旋转体体积％;S绕.v轴旋转而成的旋转体体积匕；

(2)问当a为何值时％+匕取得最大值?试求此最大值.

77.

某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数CGr)=40000+

200H-0.002一,收入函数RO)=350H—0.004>，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

78.

求|Tdid”.。,>+，=i,，+?=21=0所围区域在第一象限部分且』・>

4；+72

已知二元函数二其中/(〃)为可导演数,

证明：上]a餐.+1!c?*=二*

x£r.rdj-J

79.

80.

某商品的需求函数为

Q=25—P,

求：(1)P=2时的需求弹性；

(2)在P=2时,若价格P上涨1%,总收益的变化情况；

(3)P为何值时，总收益最大.

81.

过点M(3,0)作曲线y=1水_1-3)的切线，该切线与此曲线及“轴围成一平面图形上

试求平面图形D绕1轴旋转一周所得旋转体的体积.

82.

曲线.y=0),直线z+),=2以及y轴围成一平面图形D.试求平面图形D绕

y轴旋转一周所得旋转体的体积.

83.

计算由曲线①=0,3=eLy=e所围成的平面图形的面积.

84.

18.计算由丁=9--直线工=2及y=一1所围成的平面图形上面部分(面积大的那部

分)的面积A.

85.

；.i....x"•工能：三洋“•心・*:$二‘

一曲线通过点,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求：

(1)该曲线的方程；

(2)该曲线与7轴及直线z=e"所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

.、”丁

六、综合题(2题)

设曲线/(x)=xe

(1)求其在点(0,0)处的切线方程；

⑵证明:当0V工V1时,/Cr)>/(—).

86.

87.

,过坐标原点作曲线y=e，的切线/.切线/与曲线y=e，及y轴围成的平面图形记为

G.求：

切线/的方程;

参考答案

义・i

产M应选

1.A

2.A

=lim’又知/(0)=1,故a=1时，/(片)必连续.

JT•<)X-0JC

3.B

［答案］B

【精析】P(X^c)=1-P(x>c)=P(_r>r).所以P(X><)=■.取「应满足

小(彳总)=9,贝4与'=0•故c=3.

［答案］A

【精析】因为lim/(.r)=lim(Z>-|-sin2.r)=b.

K-*0*I-。。*

lim/(J)=lim=e°=1.所以〃=1.

7-*0J-»0

又因为f\(0)=lim=lim显必=2,

4.A'~°+'i+?

/-(0)=lim=-----------------=lim---------=a,

LO-i-o1

所以a=2,故应选A.

A

<A【评注】本题考查的是变量可分离的微分方程的通解.

A项中若tt"=上，结论不成立;

n

B项中若u„=(―1)”，结论不成立；

D项中若%=(―l)n工,结论不成立；

6由绝对收敛的定义知,C项正确……………

V).vr_z

7.A

［答案1A

【精析】B项中，令M=1,C=0,则有|"(f)|W1,c""；

C项中.令M=1,C=0.则有|sin2z|<1•e""；

D项中.令M=1.C=".则有|e"|41•e"；

故B、C、D项均为指数级函数且满足拉氏变换的存在定理，而A项中，不论选M及('多

大，总有IJ故J不是指数级函数.故应选A.

8.C

【精析】因为只有C项中人工)=/在点,二°处不连续'所以函数/(工)=%不满

足罗尔定理*故应选C

9.C

【精析】卜in2j"cLr=~~sin2.rd27=一~^-cos2.r+C.故应选C.

10.B

「3।

【精析】lim行&=1而.g1=8,则人错；1向/1+：~^=1向0=[,

-0IL0——0XLOIZ

则产广一1在7―0时是/的三阶无穷小.故B正确;lim"一。"必=1+

L。X

lim°'°°°2=。。,故C错;lim内屋=lim二=lim士=oo,故D错.

j-0IT-0X工-0Xx-0x

11.A

【精析】由题可知，当Hf工。时，一）V0,又Q—工。>>0,故在近的邻域

2

2（z—x0）

内，/（工）ZU）<。，即/（X）<〃⑥），根据极值的定义可知/<XO）是/（X）的极大

值，故应选A.

12.A

【精析】因为点（1,2）是曲线的拐点，则当丁=1时、y"=6ar+2b—6a+2/,=0.又

当i1时,y=ab—2.所以可求得a=—1J>3.

13.C

C

【评注】两边同时对x求导，得l-2y+cosy・y=0,将x=O,y=O代入得：

ylx^o=1.

'>■0

14.C

15.B

【精析】/"（]）=伊（1）+（彳-io）-（7）*则f'（戈o）=中（见），故选B.

[答案1C

【精析】arg（—1+3i）=n+arctan-^7

-1

16c—it—arctan3.

17.C

18.D

[答案1D

【精析】W'（H）=[[（1+si/Dd/]'=（1+sin[/）•（f）'=2x（1+sin?/），故应

选D.

19.B

［答案］B

【精析】如图所示.联立〈“一丁’可得二者在第一象限的交点为

y—4①.

(；.2),所以所围图形的面积为

=弓•一21n2.

第I题图

20.A

.r+2

y=1+・显然彳=-2为可去间断点.

(才+2)(工一3)

limv=8.故］=3为曲线的垂直渐近线.故只有一条垂直渐近线.本题选A.

x・3

21.B

【精析】四个选项中只有B项满足拉格朗日中值定理的两个条件，故应选B.

22.B

【精析】lim—+=0.lim*.1=8.

所以.y=0是水平渐近线一=±箝是垂直渐近线•故应选B.

23.B

24.B

1.12aiu~.I•.Zsix-

lim(1+2sin①)；=lim(1+2siirr)w丁=「lim(1+2sinz)有丁=ew.

jt-0x»0L」.0」

25.A

【精析】,(z)="一,、(-“)=-工"一工m="汨=,Cz),所

以》为偶函数，故本题选A.

26.A

[答案1A

【精析】=lime"=1.lim/(a)=lim(〃+sin2、r)=b,

-

jr-*OJT-*O-1-*。+工--0+

由/(a)在①=0处可导知。=1,

口jz\I-/<)—f(0)..(14-sin2.r)—1°

又/+(n0)=hm-------《---=lim---------------=2,

LO+]一0LO+1

/,，-(c0)=hm-/-(-.-r-)---/-(-O-)=l..im-e-"---]-=a,

LO-d一01厂/

所以a=2,故应选A.

27.C

28.A

【精析】d]/⑴如二/⑴ii,放选项B和选项网不IE蒯F%)也二F(『)+C

VI

29.C

(〃+a§工3

解：因lim，X二/厮以《今收敛，故选C.

…n2"一工n2占2"

2n

30.A

[答案1A

【精析】设长方体的长宽分别为。方,则高为学，

ab

于是，表面积5=2(a/>+^+—)=2而+显+3

baab

a=3,

/?=3*

2727

由实际问题最值一定存在，可知最小表面积S=2(3X3+等+等)=54(nf).

31.

J_

T

【精析】AB=E,则IA||B|=IE|.即4IZJI=1，故IBI=-

4

32.

2

【精析】由于/(x)=0.lim=lim=/<o)=2.

x-*O1

33.

2

(200、"200、90

【评注】因为/=231->100100，所以r(4)=2.

J3J3bJ3L

2

110

【评注】9/.|/1|=2-

121

34.2

35.

3,=（G+aa）e，（G，a为任意常数）

【精析】特征方程为/一2厂+1=0.解得特征根为门=r2=1.

所以所求通解为3,=（（；+（、21）寸,其中G.Q为任意常数.

36.

1

1

1j_1

x~+z71+z诵

limlimlim1,故有£—：=0,即为x

k

x-*0xL07-*0T

37.

-sinx+C^+Q

-sinx+C,x+C2

【评注】Jy(x)±r=J(jsinxdxjdx=—sinx+Ctx+C2.

38.0

【精析】X〜N(2,d),则出心〜

a

P(0<X<4)=P(/)=1-29(一/)=0.3,故又一■|■)=().35,

P(X<0)=一)=©(一)=0.35.

39.

4A,

【精析】由于八工）在［0•□上连续，所以/（I85才|）在（-8.+8）连续，以“为周

期•且为偶函数•则根据周期函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质

可得

-

Z=2J/(|COSJT|)dx=2Jr/(|COSHI)djr=4J/(|COSJ|)d.r=4A.

40.

41.

o2JCOy4

【精析】lim/1+—\——lim/1+—)——e4.

7—>8\JCj8\JCj

42.

0

【精析】原式=「sin.rd(sinx)=《(sinw)?|=0.

J-f2-i

43.

2018!

/(0)=lim/(工)一/(。)=Iim(i+l)(z+2)…(z+2018)=2O18J.

jf*0/J-0

44.

oo

S2"7

w=0

【精析】由于7^二的幕级数展开式为4=£〃，故占-=2(I/)"=£2"•.Z".

11

I4“=01"„=0n=0

45.

~2

【精析】利用等价无穷小量代换，由于Zf0时，e'-l〜ln(l+工)〜工,

所以

r

1.e—1「工之1

hm]—71——=hm―二一年.

ln(l—2x)l。—lx2

46.

-xsinx-cosx+C

-xsinx-cosx+C

【评注】(cosx)=/(x)>BP/(jc)=-smx»

Jxf'(x^x=b"(x)=Mx)-J/(x>=-xsinx-cosx+C.

47.

.rln.r+C.

(Irur+1)di=[liLrdi+卜i=1•Inz—卜i+'/=.rlrur+C.

48.

r+1

由y=-r—1,得工=1，交换T,y的位置，得反函数为v=J-+1,.r6R.

49.

发散

OO8

因为linv%=lim=旌4>0).故»“与»上具有相同的敛散性,所

It-OO«t・OO1〃

n

oo

以X发散-

1

50.

［答案］(29)

［精析］y'=—.re"x•$=_e'—(e"J—_2c，=(.r—2),

9

令y"=0得①=2,即拐点为(2,£).

51.

【精析】令S(z)=2〃(〃+1)工"=工12〃(〃+1)才"1=叫＞(工),而

M=1rt=1

GOGQ02

夕(i)=£〃"+1)工1=£(产|)"=(E/1)”

«i=1w=ln=I

=(也力”=(土尸?em

于是故工）=叼（工）=卷万"G「I'D.

52.

【精析】方法一原式=[cos-l.cos/），

Jsin"a'

cosjri.]

.oclr十cot-Jd.r

JsimJ

■»,*

—dsin.z-+(esc2x-1)d.r

JsimJ

------------COtJf-7+C

sin.z-

,,1—2sin--y

方法二原式=-----------di

J2sin2j

=—cot——xC.

53.

.【精析】翌=yf'i•y=y~fz,

dJC

=2/z+y2[/I】•2j»+f22•

oJCOy'」

—2“2+2yi+jcy2f22.

54.

【精析】当工f。时，tanx〜"二hT为提型，故进行无穷小替换并使用洛必达

jrtanj0

法则求极限.

十一工一1一e’一工-1e'一11♦er1

rlim-------------=lim-------«-----=rlim-------=hm—=『

xtanj,l。JCL。LXL。LI

55.

J+J2H—X*J+J+—xf'

f*fy]

Q+f__________d(x—1)

29J+—(x—1)J

a1.,，i

-T---z-+arcsin(x—1)

oo+

1+工

13,

56.

t*

'Hj

【精析】arctanad.r=jarctanw——•；—；——丁dr

J1+xz

jarctan.z-----^-ln(1+x2)+C.

57.

【精析】Jarc,nea=_Jarctanerde-r=­e-Tarctaner+|J

J1+e"

=­e"arctane'+j(1-卢

=­ezarctaner+z----+//)+C・

58.

ri=(£/一,)[=

【精析】S=(J7—父2；d?y-y=y-

J0\oo/1o3oo

59.

、sirtr-xsinwJT

【精析】—)=hrm-r-：-----=hm―~\-----

xxsinxx-*oj^sm.r*一。x

—1jp-,

COSJT-1i.21

=Rlim—―；—=lim——=—=-

D31'E3》6

60.

1111a0233

解：增广矩阵(4。=1023301—1-2-2

(45322,000a-x)

10233、

当a=l时方程组有解，此时(4方)->01-1-2-2

1°0000>

玉+2再+3Z=3

同解方程组为《

3p42,

x2-x3-2x^-2'

则通解为仁为任意常数•

61.

1k4、’11k411k4

2

vAk1k0fc+14+14+公02k-28

-12-4,、0—22—左—800y(l+k\4-k)-4)

当上w-L左K4时，方程组有唯一解：当％=-1时，R(A)=2<R(A)=3,方程组无解;

当上=4时，R(4)=R(Z=2<3方程组有无穷多解;

门144、(1030

由02280114=H，

、0000,、0000

方程组的通解为：%=c(-3,-l,l)r+(0,4,0)r(c为任意常数).

玉+3x3=0,方程组通解为一*=-3七,(其中0为自由未知量)

或由H得同解方程组4

入2+丐=4,马=4-孙

62.

【精析】(1)税h利润为L(Q)=PQ—3Q—1—aQ=(7—0.2Q)Q—3Q—1—“Q

-0.2Q2I(4—a)Q—1,

J/(Q)=-0.4Q+4-a.

令L'(Q)=0.则Q=10-2.5a.

LW(Q)=-0.4<0.

故当销售量Q-10—2.5〃(吨)时.获利最大；

(2)税收总额TaQ=a(10—2.5a)=10a—2.5u2.T'10—5a.

令T'(a)=0.则a=2.『(2)=-5<0.

则当“二2万元时.征收税额最大.

63.

“

山

患

为

因

【精析】-石asinf_sin£

a<l—cos?)1—cost

d7

所以

cost----1-----------*1---------------

(1—cos?)"a(1cosz)

]

a(1—cosz)’

64.

解"(%)=Q+x)ln(l+x)=ln(l+x)+xln(l+x)

COOQfl+1

噎(W笳+?』西

00