2019年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

各省数学竞赛汇集

高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当％e[-3,3]时,函数/（无）=|之一3%|的最大值为_18—.

2、在AABC中，已知4。-5。=12,4。・衣4=—4,则4。=_4—.

3＞从集合｛3,4,5,6,7,8｝中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为

3

10,

4、已知。是实数，方程%2+（4+，）％+4+。/=0的一个实根是方（，是虚部单位），则

|a+bi|的值为____2A/2—.

22

5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：d——匕=1的右焦点为尸，一条过原点。且

124

倾斜角为锐角的直线/与双曲线。交于A,8两点.若AFAB的面积为86，则直线的斜

6、已知G是正实数，左=。电°的取值范围是一口,中力）.

7、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4该四面体的

体积为_____543.

8、已知等差数列｛与｝和等比数列｛4｝满足：

%+伪=3,%+"=7,q+b3=15,a4+b4=35,则an+bn=_3"T+2n—.

（九eN*）

9、将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，

则这样的排列有—144种.

10、三角形的周长为31,三边a,6,c均为整数，且则满足条件的三元数组

（a,b,c）的个数为_24—.

二、解答题（本题80分，每题20分）

n、在AABC中，角A,5,C对应的边分别为Q,Z?,C,证明:

(1)Z?cosC+ccosB=a

a+b

证明：（1）在△旗C中，由正弦定理导=导=虚=2火（其中R是△/3C外接圆的半径）,

得6cosc+ccos5=27fsinBcosC+27?sinCcos5

=27?sin(5+Q

=27?sinJ

故命题得证.10分

(2)由(1)知bcosC+c8sB=。，同理有acosC+cco~=b,

所以6cosC+ccosB+acosC+ccosA=a+b9

即c(cosB+cos^l)=(a+i)(1-cosC)=(a+b)•

cos^+cos5

所以•20分

12、已知a.b为实数，a>2,函数/(x)=|Inx-—|+b{x>0).若

/(l)=e+l,/(2)=|-ln2+l.

(1)求实数a,。；

(2)求函数/(%)的单调区间；

(3)若实数c,d满足c>d,cd=1,求证：/(c)</(J)

解：(1)由题设_/(l)=e+l,/(^奇一U12+1得同+6=e+l,|ln2—ln2+l,

.密_/7e

因为a>2,所以a>21n2,从而a+6=e+l,且1+6=5+1,

解得a=e,b=\.................................................................5分

(2)由(1)得危)=|lnx—1+l.

因为Inx,一1在(0,+8)上均单调递增，Ine—7=0.

xe

令8(X)=3一号所以有

当x>e时，g(x)>g(e)=0,从而危)=lnx—；+1单调递增；

当0Vx<e时，g(x)Vg(e)=0,从而危)=，-lnr+1单调递减.

故加)的单调递减区间为(0,e)；单调递增区间为(e,+8).

..................................15分

(3)因为c>d,cd=l,所以d=?c>\,

e1

于是次c)=1—lnc|+l,KZ)=/(1)=|ec+lnc|+l=ec+lnc+l.

又因为当c>l时，ec+Inc>Inc+->|lnc—

cc

t

所以人C)V>M)-

命题得证.......................................20分

13、如图，半径为1的圆。上有一定点M为圆。上的动点.在射线

OM上有一动点6,AB=1,O5>1.线段交圆。于另一点

C,。为线段的06中点.求线段CD长的取值范围.

解：设乙4。8="

因为。%=48,所以NOB力=&ZBAO=130°~2e.

又OA=OC,得/。。=180°—2仇于是N80C=180°—30.

因为。4=4B,O为线段08的中点，所以4O_L。，从而a)=04.cos6=cos。.

...................................5分

在△OCD中，由余弦定理得

齿支^+必一？oc-OD.cosZBOC

=1+cos2^—2cos^-cos(180°—30

=1+cos%+2cos。•cos36

=8cos'。-5cos2j+l

57

=8(COS2^—T7)2+TZ.

1032

.............10分

又/BOC=180。-30VZAOB=0,

ZOCA=lSO0-2e＞ZOBA=0,

得180。-3。〈仇180。-2。〉仇

所以45。＜。＜60。.....

从而|vcos2ev1.

于是看得斗孚，等号在cos6=乎时成立.

所以线段CD长的取值范围是相，挈.................................20分

O/

14、设是a,h,c,d正整数，Q3是方程％2—(d—c)%+cd=0的两个根.证明：存在边

长是整数且面积为ab的直角三角形.

证明：由题设可知a+b=d—ab=cd...............................5分

由于mb,c,d是正整数，所以a+b,a+c,b+c中任意两个数之和大于第三个数，

从而知存在以。+6,〃+c,b+c为边的三角形.

因为(a+c)2+(B+cP=J+62+2C2+2c(«+b)

=a2+i2+2c2+2c(d—c)

=a2~hb2~h2cd

=a2+fe2+2ab

=(a+b)2...............................15分

所以，这样的三角形是直角三角形，其直角边长为a+c,b+c,斜边长为a+b,且该三

角形的面积为

+c)(b+cy=^ab+c(a+b+c)]

=^ab+cd)

=ab.

故边长为〃+b,Q+C,5+c的三角形符合题设要求.

..........20分

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

(高一年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，

只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.已知集合A={x|x<a},_S={x|x>Z?},a,b£N,且An3nN={l},则a+人=1.

2.已知正项等比数列a}的公比qwl,且。2，%，%成等差数列，则

%+%+。7

。3+。6+。9

3函数i的值域为

1

4.3sin2a+2sin2[3=1,3(sina+cosa)2-2(sin+cos^)2=L贝!Ie2(a+/)=--

5.已知数列{4}满足：%为正整数，

.“为偶数

3an+1,明为奇数,

如果6+出+%=29,贝!jax-5

Fj

6.在△A3C中，角A,8,C的对边长“，"c满足a+c=2/j,且C=2A,则sinA=——

4

7.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.设。是△ABC的内心，^AO=pAB+qAC,

则义的值为3.

q2

8.设三,巧,巧是方程--x+l=O的三个根，则的值为-5.

二'解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.已知正项数列｛““｝满足,“网+1+%4+2=4痴4+1+%3+3也％且6=1,

〃2=8,求｛%｝的通项公式.

解在已知等式两边同时除以瓦丁，得』『=45^】+3,

即数列仍“｝是以4=4为首项,4为公比的等比

1n

以b„=b｛-4"-=4.

即=[(4"一1尸一1k

于是，当〃>1时,

22W22

册=[(4^-I)-1]^=[(4^-I)-1].[(4--l)-l]an_2

“一1"-1

212

=...=P([(4t-1-1)-i]Q1=n[(4*--1)-1],

左=1无=1

1,n=l,

n—\

因此a"=|P[[(4M-I)2-1],/?>2.

d=l

--------------------------------16分

10.已知正实数满足。2+82=1,且Q3+匕3+1=加(々+人+])3,求相的最小值.

JT

解令々=8$。*=51118,0<0<—,则

2

cos36+sii?0+1(cos+sin(cos26-cos6sin。+sin?6)+1

m=

(cos6+sine+l)3(cos9+sine+l)3

----------------5分

令％=cose+sin。，贝|%=J5sin6+M)£(l,J^］,且

4

丫2_1

c64s-----H-------------------------------------10分

2

于是

x2-l

A一?T)+2+3%一九32+x-x22-x31

m=------------=---------=--------=------=---------.-----------

(x+1)32(%+1)32(%+1)22(x+l)2(x+l)2

--------------15分

因为函数/(x)=--——工在(1,正］上单调递减，所以/(五)⑴.

2(%+1)2

因止匕，机的最小值为

/(收)=3能-4.--------------------------------------------20分

11.设/(x)=lo^(x-2tz)+log(x-3<2),其中〃>0且awl.若在区间［a+3,a+4］上

■工)恒成立，求〃的取值范围.

22

解于(x)=1oagx(-cu&\-a6=)

,IX-2«>0,,3II./5〃3,八

由《倚ZI=尤I>3a,由题思知a+3>3a，故a<一,从而(a+3)-------=—(a—2)>0,

［x-3a>0,222

q2

故函数g(x)=(X--)2--在区间［«+3,a+4］上单调递增.

24

----------------------------------------------5分

⑴若。<”1,则/(x)在区间［a+3,a+4］上单调递减，所以/(x)在区间［a+3,a+4］上

的最大值为/(。+3)=10&,(21-9〃+9).

在区间团+3,.+4］上不等式/(x)41恒成立，等价于不等式log。(2/-9a+9)41成立，

从而2/一9—,解得北必自或aV且也.

22

结合0<4<1得

0<a<l.----------------------------------------------10分

3

(2)^l<a<-,则/(x)在区间［a+3,a+4］上单调递增，所以/(x)在区间［a+3,a+4］

2

上的最大值为f(a+4)=lOga(2a-12a+16).

在区间［a+3,a+4］上不等式/(x)41恒成立，等价于不等式log,(2/-12+16)41成立,

从而24—1勿+164〃，即2“2—1%+1640,解得13―历13+历.

44

易知13一历,所以不符

42

合.-----------------------------15分

综上可知：。的取值范围为

(0,1).--------------------------------20分

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

(高二年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和。分两档；解答题的评阅，

只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.函数匚豆二的值域为_______________.

\x2+4X+7

2.已知3sIcmb2s彳尸n=l,3(sin6z+coscr)2-2(sin/7+cos^)2=1,则

C(2(CS+B)=.

3.已知数列{氏}满足：句为正整数，。用=%为偶数，如果生+&+%=29,

3an+1,凡为奇数，

则%=.

4.设集合S={1,2,3,…,12},A={“i，%，的}是S的子集，且满足见<a2<a3,a3-a2<5,

那么满足条件的子集A的个数为.

22

5.过原点。的直线/与椭圆C：j+==l(a>>>0)交于两点，尸是椭圆C上异

ab

于的任一点.若直线的斜率之积为-,，则椭圆C的离心率为

3

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.设。是△ABC的内心，若工3=pQ+q就,

则己的值为_______________

q

7.在长方体ABC。-A/1G2中，已知AC=1,坊。=后,4q=p,则长方体的体积最大

时，p为.

k

20122019+O

8.设印表示不超过x的最大整数，则Z[器]=-

k=02

二'解答题(本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分)

9.已知正项数列｛%｝满足J%7a,+I+64+2=4j%?a“+i+a3+3ja“%!+i且6=1,

a2=8,求｛%｝的通项公式.

10.已知正实数满足/+/=1,且〃+。3+1=%（°+匕+］）3,求机的取值范围.

11.已知点E（九"）为抛物线为=2pMp>0）内一定点,过E作斜率分别为配右的两条

直线交抛物线于A,民C,。，且M,N分别是线段AB,。的中点.

（1）当〃=0且占%=T时，求△EMN的面积的最小值；

（2）若占+七=2（4片0,2为常数），证明：直线MN过定点.

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

(高二年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和。分两档；解答题的评阅,

只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。)

I—x+1一的指十十%mV6,

i.函数y(x)=j—；------的值域为［(),■一］.

Vx2+4x+76

2.已知Bsil?a+2sin2f3=l,3(sincif+coscif)2-2(sin/？+cos^)2=1,贝2(a+/)=一；.

3.已知数列{0}满足：%为正整数，

a.1?，。〃为偶数，

3。“+1,〃〃为奇数，

如果％+〃2+%=29,贝!j氏=5.

4.设集合S={1,2,3,…,12},A={〃］，出,/}是S的子集，且满足％va2v“3，%-。2<5,

那么满足条件的子集A的个数为185.

22

5.过原点。的直线/与椭圆C：二+==l(a>>>0)交于两点，P是椭圆C上异

ab

于V,N的任一点.若直线的斜率之积为-』，则椭圆C的离心率为YG.

33

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.设。是△ABC的内心，^AO=pAB+qAC,

则义的值为3.

q2

7.在长方体ABCD-ABiGA中，已知4C=：l,31C=后,A旦=p,则长方体的体积最大

8.设［x］表示不超过x的最大整数，则\〔---百—1=2018.

k=02

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.已知正项数列｛%｝满足+“"4+2MA/a/Hi+a3+3J44+1且q=1,

。2=8,求｛%｝的通项公式.

解在已知等式两边同时除以,彳导1+-=41+也+3,

aa

V„+lVn

所以1+—+1=4(1+—+1).

V4+1Van

-----------------------------4分

令a=J1+今叱+1，贝Ia=4,勾+1=4%，

即数列｛〃｝是以仇=4为首项,4为公比的等比

1n

数列，所以bn=bt-4"-=4.

-----------------------------8分

所以J1+乎+1=4",

n2

即«H+i=[(4-D-iK.

-----------------------------12分

于是，当〃>1时，

22

4=[(4〃T-1)2_加1=[(4〃T-1)2_a[(4---I)-1]«„_2

n-\n-\

==n【dI-if一啊=n©I-1)2-1]，

上=1k=l

1,n=l,

因此，n-l

A"=|P[[(4M-1)2-1],n>2.

」二1

-----------------------------16分

10.已知正实数满足/+/=1,^.a3+b3+l=m(a+b+i)3,求机的取值范围.

77

解令〃=(：05。力=01118,0<0<—,贝!!

2

cos3^+sin36+1(cos6^+sin^)(cos26^-cos^sin^+sin26)+1

m=----------------=-----------------------------------------.--------------------

(cos6+sine+l)3(cos^+sin^+l)3

-----------5分

令x=cose+sin。，贝|x=V2sin(<9+—)G(1,V2],且

4

r2

c64s---H---------------------------------------10分

2

于是

x2-1

式1-2^+12+3x-x32+x-x22-x31

TYI=--------------=----------=---------=-------=-----------.-------------

(x+1)32(%+1)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

---------15分

因为函数/(x)=--——工在(1,正]上单调递减，所以/(V2)<777</(1).

2(x+l)2

又/⑴=1,/(扬=型|心,所以

42

11.已知点为抛物线,=2pHp>0)内一定点，过E作斜率分别为配右的两条

直线交抛物线于A,B,C,O,且M,N分别是线段AB,CD的中点.

(1)当〃=0且占次2=-1时，求△EMN的面积的最小值；

(2)若匕+七=2(4片0"为常数)，证明：直线MN过定点.

解所在直线的方程为x=/i(y-〃)+〃7,其中4=占，代入/=2内中，得

h

y2—Ipt^y+^pt^n—lpm-Q,

设A。,％),5(%,％)，则有力+为=2pr「从而

%+%=。(%+%—2")+2m=ti(2pti-2n)+2m.

则M(pt；—ntx+m,ptj.

1c

CD所在直线的方程为X=12(、-川)+机，其中,2=^-，同理可得N(p/2—加2+八夕’2),

■5分

2

(1)当〃=0时，E(m,0),M(pt；+m,p£),N(pt1+m,pt2),IEM|=|ptx\71+^,

2

]EN\=\pt2\^l+t2.

又占&=T，故.12=-1，于是的面积

>m=p1,

当且仅当1乙|=旧i=i时等号成立.

所以，△EMN的面积的最小值为p2.

-----------------------------10分

(2)k-'2)_J

p(G-t2)-n(tx-t2)«]+心)_二

12P

MN所在直线的方程为y-ptx=----------------[x-{pt^-ntx+根],

G+t2)—

p

即

y(t1+t2pt1t2=x-m.-----------------------------15分

P

+^2=—+—=2,BP乎2=&+/，代入上式，得+t2p-^—^=x-m,

GGXp2

即(,+?2)(y——■)=x-\———m.

4p

y_——P

当y-K=0时，有x+空一机=0,即"A为方程的一组解，

彳Px=m」

I2

所以直线MN恒过定点

z几20分

olr2012年全国高中数学联赛

月

泄

典陕西赛区预赛试卷

(（5月20日上午8：30-11；00）

r

微二试

DsR题号一试总成绩

一—二三四五

加

得分

赧评卷人

复核人

考生注意：

琮1.本试卷分两试,第一试共10小题，满分80分;第二试共5大题，满分120分.

拔

2.用蓝色(或黑色)钢笔、签字笔或圆珠笔作答.

3.解题书写不要超过装订线.

群

4.不能使用计算器.

第一试

用X

1

料得分评卷入填空题(每小题8分，共80分)

——

需

——本题共有10小题，要求直接将答案填在题中的横线上.

—

1.已知集合M={1,3,5,7,9},若非空集合4满足：4中各元素都加4后构成M

扁

的一个子集,4中各元素都减4后也构成朋的一个子集，则4=.

2.已知两条直线％H:y=4,设函数y=3"的图象与匕&分别交于点A、B,

阳

函数y=5,的图象与I1&分别交于点C、D,则直线AB与CD的交点坐标是_____.

)3.对于正整数n,若n=p*q(p2q,p、qeN,)，当p-q最小时，我们称p・q为n的

“最佳分解”，并规定加)=；例如,12的分解有12x1,6x2,4x3,其中4x3为12

的最佳分解，则/(12)=*关于/(“)，有下列四个判断：

4

颔4)=0；②f(7)=于额24)=不©(2012)=而

2/0J\JJ

5其中，所有正确判断的序号是_____.

4,已知AABC为等腰直角三角形，44=90。,且施=a+b,就=。-瓦若a=

(颇。加6)(6wR),则△ABC的面积等于_____.

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第1页(共6页)

(

凶

)

护

5.在正四面体ABCD中,40平面BCD,垂足为。.设M是线段40上一点，且满

足"MC=90。,则A券M=

6.如图1,上△48C的三个顶点都在给定的抛物线

x2=2py（p>0）上,且斜边AB//x轴，则斜边上的高|CD|

7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏

活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比

的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公

差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是

_____7E.

8.设p、g是两个不同的质数，则pi+q”】被pF除的余数是_.

9.定义在R上的函数/（工）满足/（1）=1,且对任意的,cR,都有了'（%）­.则

不等式/（勿g2%）>容2的解集为_____.

10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路

边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多

只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工地,则运输车总的行程最

小为m.

得分评卷人

一、（本题满分20分）

在中，已知48=2,4。=1,且如24+2s/W=l.

（1）求角A的大小和5c边的长；

（2）若点P在△ABC内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d.设点P到边

BCyCA的距离分别为%、y,试用7表示或并求d的取值范围.

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第2页（共6页）

得分评卷入

二、（本题满分20分）

在平面直角坐标系中，以点C（£,：）为圆心的圆经过坐标原点。，且分别与x轴、

,轴交于点（不同于原点0）.

（1）求证:A4OE的面积S为定值；

（2）设直线/：,=-2%+4与圆C相交于不同的两点M、N,且|。版|=|0押|,

求圆C的标准方程.

2012年全国高中数学联赛陕西赛友预赛试卷第3页（共6页）

得分评卷人

三、（本题满分20分）

如图2,锐角△ABC内接于圆。，过圆心0且垂直于半径OA

的直线分别交边四“C于点E、F.设圆。在B、C两点处的切线

相交于点P,求证:直线AP平分线段EF.

图2

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第4页（共6页）

得分评卷入

四、(本题满分30分)

已知数列｛册｝满足a[=24/+[+3a„+1(ne/V*).

(1)求数列I4｝的通项公式；

(2)若数列|6」满足乞=1+：(几wN：)，且对任意正整数兀(22),不等式

芝—T—r＞费恒成立，求整数m的最大值.

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第5页(共6页)

得分评卷人

五、（本题满分30分）

对于任意的正整数"，证明:

11117

fZ2+3r+21+3i^2l+**，+3,,+(-2Y

赛3-

阖

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第6页（共6页）

2018年上海市高中数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1.如图，正六边形A4Go耳片的边长为1，它的6条对角线又

围成一个正六边形&5G2与耳，如此继续下去，则所有这些_\_\FI

六边形的面积和是

a.3

2.已知正整数q,%,,%（）满足:上■>—/<，</V10,则《（）

a；2

的最小可能值是,

3.若tantz+tan，+tan/=-，cota+cot，+cot/=——,cot«cot/3

65

17

+cot/3coty+cotycota=---,贝！Itan(cr+#+7)=.

4.已知关于x的方程1g（区）=21g（x+l）仅有一个实数解，则实数人的

取值范围是.

5.如图，AA所是边长为x的正方形4BCO的内接三角形，已知

ZAEF=90°,AE=a,EF-b,a>b,贝1]x=.

6.方程2"-3"-3"M+2"=13的非负整数解(〃〃)=.

7.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一

个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率

是.（用数字作答）

8.数列｛%｝定义如下：%=1,%=2,4+2=I上产,〃=1,2,•若

ILI乙fII乙

金〉2+3，则正整数机的最小值为.

m2012

二、解答题

9.（本题满分14分）如图，在平行四边形A3CD中，AB=x,BC=1,对角线

AC与BD的夹角ZBOC=45°,记直线AB与CD的距离为/z（x）.

求/2（X）的表达式，并写出X的取值范围.

A

10.（本题满分14分）给定实数求函数/（x）=（"+sinx）（4+sinx）的最小

1+smx

值.

11.(本题满分16分)正实数％,y,z满足9盯z+盯+yz+zx=4,求证:

(/1.)、xy+yz+zx>4—；

(2)x+y+z>2.

12.（本题满分16分）给定整数3）,记/⑺为集合｛1,2,,2"-1｝的满足如下

两个条件的子集A的元素个数的最小值：

（a）leA,2n-leA；

。）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和.

（1）求”3）的值;

（2）求证：/（100）<108.

2018年上海市高中数学竞赛答案

9』

1、2、92

~T~

3、114、S，O）{4}

5、6、(3,O),(2,2)

-y/tz2+(a-t>)2

2

7、8、4025

9.解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

22222

OB+OC=1(AB+BC)=1(X+1).①

（2分）

在△03C中,由余弦定理

BC2=OB2+OC2-2OB-OCcosZBOC,

所以OB2+OC2-42OBOC=1,②

r2_1

由①，②得OBOC=—日.③

272

.(5分)

所以SABC万4ROBOSinZB

L