二次根式的概念和性质

关于二次根式的概念和性质

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是它本身0；

负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。思考第2页,共43页，2024年2月25日，星期天试一试：说出下列各式的意义；观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数

2、表示什么？表示非负数a的算术平方根第3页,共43页，2024年2月25日，星期天1.二次根式的概念第4页,共43页，2024年2月25日，星期天注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如

是不是二次根式?思考：不是,它是二次根式的代数式.定义：像,,

这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。第5页,共43页，2024年2月25日，星期天2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0

5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)第6页,共43页，2024年2月25日，星期天试一试（1）例1:判断，下列各式中那些是二次根式？定义：式子叫做二次根式.

不要忽略其中a叫做被开方式。第7页,共43页，2024年2月25日，星期天练习求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数≥零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。第8页,共43页，2024年2月25日，星期天练习：x取何值时,下列二次根式有意义?求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。第9页,共43页，2024年2月25日，星期天第10页,共43页，2024年2月25日，星期天正数0没有x≥2

第11页,共43页，2024年2月25日，星期天1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ的取值范围（１）（２）（３）练习与反馈第12页,共43页，2024年2月25日，星期天题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.当

_____时，

有意义。3.求下列二次根式中字母的取值范围解得-5≤x＜3解：①②说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）≤3有意义的条件是

.2.+第13页,共43页，2024年2月25日，星期天2．（１）

（２）当时，

（３），

则Ｘ的取值范围是＿＿＿

（４）若，

则Ｘ的取值范围是＿＿＿第14页,共43页，2024年2月25日，星期天求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下

?第15页,共43页，2024年2月25日，星期天比一比第16页,共43页，2024年2月25日，星期天二次根式的性质（１）第17页,共43页，2024年2月25日，星期天二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求x＋y的值解：∵≥０，≥０，＝０，＝０∴∴x＝１，y＝－３∴x＋y＝－２第18页,共43页，2024年2月25日，星期天初中阶段的三个非负数：≥０(a≥０)归纳：第19页,共43页，2024年2月25日，星期天题型:二次根式的非负性的应用.1.已知：+=0,求x-y的值.2.已知x,y为实数,且

+3(y-2)2=0,则x-y的值为(

)A.3B.-3C.1D.-1解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。第20页,共43页，2024年2月25日，星期天练习１.已知，求x、y的值.x=2，y=3a≥4２.已知，求a的值.a-4=9，则a=13第21页,共43页，2024年2月25日，星期天试试你的反应n≤12n=3，8，11，12第22页,共43页，2024年2月25日，星期天二次根式的性质（２）试一试（3）计算:

想一想等于什么?请举例验证.===3520.04性质２：第23页,共43页，2024年2月25日，星期天试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。

根据等式的定义，可得。我们已经得到:第24页,共43页，2024年2月25日，星期天面积性质一:5第25页,共43页，2024年2月25日，星期天a-a|a|02233二次根式的性质（３）第26页,共43页，2024年2月25日，星期天试一试1.计算下列各题:(1)(2)2.若,则x的取值范围为()A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数

与是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。√

a（）2第27页,共43页，2024年2月25日，星期天1、什么叫做二次根式？

2、二次根式有哪两个形式上的特点？

课堂小结第28页,共43页，2024年2月25日，星期天性质二:例2计算：第29页,共43页，2024年2月25日，星期天例3计算：第30页,共43页，2024年2月25日，星期天性质一:性质二:第31页,共43页，2024年2月25日，星期天补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：第32页,共43页，2024年2月25日，星期天∵x<0,∴4x＜0,例5:已知:x<0,化简:∴原式=-4x第33页,共43页，2024年2月25日，星期天练一练:第34页,共43页，2024年2月25日，星期天性质一:性质二:归纳小结：第35页,共43页，2024年2月25日，星期天二次根式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式1、2、加、减、乘、除知识结构--不要求，只需了解1、

3、=a22、第36页,共43页，2024年2月25日，星期天题型：最简二次根式：１、被开方数不含分数；２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式。练习1：把下列各式化为最简二次根式第37页,共43页，2024年2月25日，星期天化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。练习：把下列各式化成最简二次根式第38页,共43页，2024年2月25日，星期天题型：同类二次根式：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。、、是同类二次根式下列哪些是同类二次根式第39页,共43页，2024年2月25日，星期天由,可以得。

利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：

a0-a(a>0