福建省福州市长乐文武砂中学高三数学理期末试题含解析

福建省福州市长乐文武砂中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

ks5u参考答案：C2.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A.2

B.3

C.6

D.8参考答案：C3.如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为(

)参考答案：B4.设f（x）=（x﹣2）2ex+ae﹣x，g（x）=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（）A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】f（x）=g（x），即（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出结论．【解答】解：f（x）=g（x），即（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，①x=2，a=0时，x=2为函数的零点，不合题意；②x≠2，令t=|x﹣2|ex，则t2+a=2at，x＞2，t=（x﹣2）ex，t′=（x﹣1）ex，在（2，+∞）上单调递增；x＜2，t=（2﹣x）ex，t′=（1﹣x）ex，在（﹣∞，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，∵关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解，∴t∈（0，e），令y=t2﹣2at+a，则，∴1＜a＜．故选D．5.已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f（x）的图象和直线y=kx﹣有4个交点，数形结合可得点（1，0）在直线y=kx﹣的下方，由此可得k的范围．再求出直线y=kx﹣和y=lnx相切时k的值，数形结合求得k的范围．【解答】解：∵函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，∴f（x）的图象和直线y=kx﹣有4个交点．做出函数f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线y=kx﹣的下方，∴k?1﹣＞0，解得k＞．再根据当直线y=kx﹣和y=lnx相切时，设切点横坐标为m，则k==，∴m=，此时，k==，f（x）的图象和直线y=kx﹣有3个交点，不满足条件，故要求的k的范围是（，），故选：D．6.已知为等比数列，下列结论正确的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.若的三个内角A,B,C满足,则()

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形参考答案：C略8.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=(

)A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．9.八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，

3个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有

A．36种

B．30种

C．24种

D．20种参考答案：C略10.已知集合;,则中所含元素的个数为

(）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，是第四象限角，则

.参考答案：略12.给出下列四个结论：①“若则”的逆命题为真；②若为的极值，则；③函数（x）有3个零点；④对于任意实数x，有且x>0时,，则x<0时.其中正确结论的序号是

.（填上所有正确结论的序号）参考答案：④13.已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为．参考答案：16【考点】简单线性规划的应用．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=a+b，t=a﹣b，则P（a+b，a﹣b）为P（s，t）

由s=a+b，t=a﹣b可得2a=s+t，2b=s﹣t因为a，b是正数，且a+b≤4有，在直角坐标系上画出P（s，t）

s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为：=16．故答案为：16．14.点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最小值是

．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】求出平行于直线x﹣y﹣4=0且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：设P（x，y），则y′=2x﹣（x＞0）令2x﹣=1，则（x﹣1）（2x+1）=0，∵x＞0，∴x=1∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最小值d==．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．15.若，则的最小值是

。参考答案：4略16.已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是

参考答案：3略17.已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且?x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是

．参考答案：a＞c＞b【考点】函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得?x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题计12分）已知数列中，，前项和为，对于任意，且n2,总成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．、参考答案：19.如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明[]参考答案：略20.（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）略；（2）；（3）点满足时，有平面试题分析：（1）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（2）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为,，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明即可.（2）因为平面平面，且，所以平面，所以.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，，，，，，所以，平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，所以,即直线与平面所成角的正弦值为.考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．21.[选修4-5：不等式选讲]已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）解绝对值不等式可得不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），可得1是方程2mx=m2的解，由此求得m的值．（2）由题意可得不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，结合f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|∈（﹣1，3]，可得a+2＞3，a﹣5≤﹣1，由此求得a的范围．【解答】解：（1）由|x﹣m|＜|x|得|x﹣m|2＜|x|2，即2mx＞m2，而不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），∴1是方程2mx=m2的解，解得m=2（m=0舍去）．（2）∵m=2，∴不等式对x∈（0，+∞）恒成立，等价于不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立．设，则f（x）∈（﹣1，3]．∴a+2＞3，且a﹣5≤﹣1，∴1＜a≤4．22.已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答