内蒙古锦山蒙古族中学2023-2024学年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

内蒙古锦山蒙古族中学2023-2024学年高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（）A．4 B．5 C．6 D．72．在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面：④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．43．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（）A． B．C． D．4．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．5．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．6．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．在中，，，，为的外心，若，，，则（）A． B． C． D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A． B．C． D．9．已知，，，，则（）A． B． C． D．10．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．11．若集合，则=（）A． B． C． D．12．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某次足球比赛中，，，，四支球队进入了半决赛.半决赛中，对阵，对阵，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.14．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.15．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.16．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的最大值为，其中.（1）求实数的值；（2）若求证:.18．（12分）已知，.（1）求函数的单调递增区间；（2）的三个内角、、所对边分别为、、，若且，求面积的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.20．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.21．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.22．（10分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得：，故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.2、B【解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断是的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结，则，即与不垂直，又，①不正确；对于②，连结，，在中，，而，是的中点，所以，②正确；对于③由②可知，在中，，连结，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；，，，，，；，；异面直线与所成角为，，故．④不正确．故选：．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．3、B【解析】

利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.【详解】∵在R上单调递增，且，∴.∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，对A，当时，，故A错误；对C，当时，，故C错误；对D，当时，，故D错误；对B，对，则，故B正确.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.4、A【解析】

构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5、D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.6、B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.7、B【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，过分别做，的平行线，，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，，由题可知，所以，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.8、B【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图，执行循环前：，，，执行第一次循环时：，，所以：不成立．继续进行循环，…，当，时，成立，，由于不成立，执行下一次循环，，，成立，，成立，输出的的值为.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9、D【解析】

令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【详解】时，令，求导，，故单调递增：∴，当，设，，又，，即，故.故选：D【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.10、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.11、C【解析】

求出集合，然后与集合取交集即可．【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．12、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.18【解析】

根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知，胜C的概率为；若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为；若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为；由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为.故答案为：0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.14、【解析】

设：，：，利用点到直线的距离，列出式子，求出的值即可.【详解】解：由圆，可知圆心，半径为.设直线：，则：，圆心到直线的距离为，，.圆心到直线的距离为半径，即，并根据垂径定理的应用，可列式得到，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.15、1【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．【详解】9元的支付有两种情况，或者，①当9元采用方式支付时，200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；②当9元采用方式支付时：200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；所以总的支付方式共有种．故答案为：1．【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．16、【解析】

函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）当时，取得最大值.（2）证明:由（1）得，，，当且仅当时等号成立，令，则在上单调递减当时，.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可求得函数的单调递增区间；（2）由求得，利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】（1），解不等式，解得.因此，函数的单调递增区间为；（2）由题意，则，，，，解得.由余弦定理得，又，，当且仅当时取等号，所以，的面积.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1），分，，三种情况推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.【详解】（1）由，得.当时，方程的，因此在区间上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.又，所以函数在区间上恒成立；当时，方程有两个不等实根，且满足，所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；当时，在区间上，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.（2）由第（1）知：若时，.若，则，即成立.将换成，得成立，即，以此类推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.20、（1）见解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可；（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可.【详解】（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.②，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.（2）若选择①，.则.若，，成等比数列，则，即，整理，得，即，此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.若选则②，，则，若，，成等比数列，则，即，整理得，因为为正整数，所以.故存在正整数，使，，成等比数列.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.21、（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从市到市.见解析【解析】

（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【详解】（1）设事件：“在样本