几何建模第七章

几何建模第七章几何建模：将解析几何的方法用于数学建模过程的某一个或几个环节。

不同应用领域，使用几何模型的角度、深度和知识点不同，所以很难将几何建模进行分类。下面根据自己的理解做个粗糙的分类，仅供参考：1.利用几何形状建立几何模型进行求解和优化(，椅子在不平地面上放置问题，血管优化问题)。2.物体的几何变换，包括三维和二维(2008年A题)3.借助几何模型求解（消费者满意度）4.物体的几何形状定义与描述。

1.几何建模示例3椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意

,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;

对任意，f(

)•g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗造的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子

和f(

),g(

)的确定有的只需2D图形。特点是：描述简单、传递快速、节省空间，但没有真实感。实际设计构形时，思维中先有真实的几何形状/实物模型，再用视图形式表达设计结果。4.物体的几何形状定义与描述几何建模——以计算机能够表示的方式，对实体进行准确定义（即以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述），在计算机内部构造出实体的几何模型。几何模型整数维模型分数维模型

正则体模型非正则体模型

以欧氏几何方程表示的模型——用分形几何方法描述对象几何特性，以过程式模拟对象的模型表示形体的两大模型

4.1

几何模型基础

一、表示形体的坐标系造型坐标系MC（ModelingCoordinateSystem）右手直角坐标系。对于定义的每个形体或图素都有各自的坐标原点和长度单位，这样可以方便形体和图素的定义。是局部坐标系。坐标系造型坐标系用户坐标系观察坐标系规范设备坐标系设备坐标系直角坐标系仿射坐标系圆柱坐标系球坐标系极坐标系二、几何元素的定义

1.点

点是0维几何元素,如:端点、交点、切点和孤立点等。1）控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。2）型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。3）插值点：为了提供曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入一系列的点。

边是1维几何元素,由端点定界，是邻面交界线，具有方向。2.边

是2维几何元素,是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。面有方向，用其外法矢方向作为该面的正向。3.面

4.环

是有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。确定面的外界的环称为外环，逆时针方向排序。而把确定面中内孔边界的环称为内环，顺时针方向排序。左侧总在面内，右侧总在面外。3维几何元素，由封闭表面围成的空间。其边界是有限面的交集。5.实体的定义内点边界点取内点运算i

取闭包运算C

正则运算

r

几何体需要用正则集合的概念表示。正则集合的有关术语：为什么需要正则集合运算？——集合运算式构造复杂物体的有效方法——普通的集合运算会产生无效物体三、正则集合运算正则集合运算的定义正则并（∪*）正则交（∩*）正则差（－*）∪∩－四、特征表示用一组特征参数表示一组类似的物体特征包括形状特征、材料特征等适用于工业上标准件的表示4.2图形数据结构计算机所描述的形体包含两种信息（图形信息、非图形信息），如何将它们合理地组织起来？这就是数据结构问题。一、几何模型数据结构目的：节省存储空间，提高存储和处理速度，所以要有效组织。

基本要求：(1)可描述几何/拓扑/特性信息(2)便于动态操作(增删、修改等)(3)时空要求常用的有数组、链表、树、翼边结构等1.单链三表结构

单链用于表达模型几何元素（面、边、点）单向连接关系，是单向查询。

双链用于表达模型几何元素（体、面、点）双向连接关系，可双向查询。2.双链三表结构记录以边为核心的一组邻接信息，描述一条边与其相邻的两个顶点、四条邻边、两个邻面拓扑信息，方便查找各元素间的邻接关系。如遍历面上所有边、所有面。3.翼边数据结构存储：边与顶点、边与面、边与边邻接关系。

运算：边与边求交、边与面求交、删除旧边、增加新边、生成新面环等。4.3形体的数据模型

一、线框模型

由一组顶点和边（直边、曲边）构成表示对象的三维几何模型。线框模型就是使用该物体的棱边来表示其形体特征。E1E2E3E4E5E6V1V2V3V4V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8特征：数据结构：两表结构顶点表：几何信息（顶点号Vi（xi,yi,zi））

边表：拓扑信息（边号Ei——端点号VjVJ+1）四面体的线模型数据结构表边顶点二、表面模型

由一组顶点、边和面构成的三维几何模型。是在线框模型基础上增加面的信息，相当于在灯笼骨架外蒙上一张外皮。数据结构：三表结构顶点表——边表——面表Vi(xi,yi,zi)Ei(Vj,VJ+1)Fi(Ej,EK,El,…,En)拓扑信息几何信息特征：六面体的面模型数据结构表V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8构造方法

1）整体构造法（模线法）使用张量积的参数样条曲面/Coons曲面/Bezier曲面/B-Spline曲面等构造方法。张量积曲面输入n

m个型值点，分布在规则的矩形参数域上。

uwm点n个切面例如：（1）机身主体和座舱罩两部分，采用两张张量积曲面构成。

（2）形状复杂的曲面：方法：

（1）定义脊椎线（2）截面上定义轮廓线（截面在局部坐标系中反映真实轮廓外形）轮廓线脊椎线2）离散构造法该方法构造的物体表面基本上是由平面、圆柱面、球面和过渡圆角组成。从线框模型着手，先交互绘制各个面的轮廓线，再在封闭的内外轮廓线间填补平面或规则曲面。

P1P3P2C1C2C3S平面P1、P2、P3的骨架均为直线段柱面C1、C2、C3的骨架为圆弧、直线段球面S的骨架为三圆弧段若遇到线框骨架是由解析曲线（圆锥曲线）与自由曲线共同构成的，则蒙上曲面将变得困难。方法：用三次参数样条分段逼近各条边界曲线，后用统一的方法构造参数曲面片。特点：①具有更多的几何信息、拓扑信息，故能比较完整地定义三维立体的表面，且表面更复杂。②可实现自动消隐线、生成明暗图、计算表面积，产生表面数控加工走刀轨迹、生成有限之分析中的网格划分。

不足：描述的仅是实体外表面，无法表示其内部结构，难以确定物体的立体属性。例如：是一个实心物体？还是一个壳体？所以给物体的质量特性分析带来问题。

三、实体模型

由一组顶点、边、表面和体积构成的三维几何模型。是对对象的边界和内部均作定义的模型。其表面完全封闭、且有向。（面模型的面可以不封闭，面的上、下表面都可以有效）实体模型构造的基本思想：将形状规则、简单的几何体，通过集合运算组成所需要的复杂体。4.4实体的表示

一、基本体素引用法

（PurePrimitiveInstancing）基本体素：可通过函数或参数描述的形体方式：比例变换引用参数指定引用缺点：难于构造复杂形体二、空间位置枚举法

（SpatialOccupancyEnumeration）原理：用占有等分单位立方体的情况表示形体。占有形式：full，partial，empty用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应

当C[I][j][k]=1时，表示对应的小立方体被物体占据当C[I][j][k]=0时，表示对应的小立方体没有被物体占据缺点：占用大量的存储空间，如1024*1024*1024=1Gbits；没有边界信息，不适于图形显示；对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换；是物体的非精确表示；唯一性不好，易改变拓扑关系。优点：可以表示任何物体；容易实现物体间的集合运算；容易计算物体的整体性质，如体积等。三、四叉树和八叉树表示法空间位置枚举法的改进逐步均分时遇全空或全满单元不再分用层次式结构代替规则排列的单元阵列数据量小八叉树表示

对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：均匀分割自适应分割

八叉树建立过程八叉树的根节点对应整个物体空间；如果它完全被物体占据，将该节点标记为F，算法结束；如果它内部没有物体，将该节点标记为E，算法结束；如果它被物体部分占据，将该节点标记为P，并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理。优点：可以表示任何物体容易实现物体建的集合运算容易计算物体的整体性质，如体积等较空间位置枚举表示占用的存贮空间少缺点：没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难是物体的非精确表示四、单元分解法

CellularDecomposition

对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：单一体素多种体素原理：复杂形体分解成一些简单形体的组合

优点：表示简单容易实现几何变换基本体素可以按需选择，表示范围较广可以精确表示物体缺点：分解方法不唯一，故表示方法不唯一物体的有效性难以保证三种空间分割方法的比较：空间位置枚举表示——同样大小立方体粘合在一起表示物体八叉树表示——不同大小的立方体粘合在一起表示物体单元分解表示——多种体素粘合在一起表示物体五、扫描表示法

Sweeping将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体。两种基本类型：平行扫描旋转扫描3）在旋转或平移时作线性或非线性比例变换。4）旋转扫描时，旋转轴本身位置和方向作变化。复杂情况：1）某一区域沿一曲线移动，如一圆盘的中心沿一指定的曲线移动，移动时其法线方向始终与曲线的切线方向一致。2）某一区域绕一轴旋转的同时作平行于旋转轴方向的平移，或垂直于旋转轴方向的平移。

平移sweep——将一个二维区域沿着一个矢量方向推移旋转sweep——将一个二维区域绕旋转轴旋转一周广义sweep

任意物体沿着任意轨迹推移

推移过程中物体可以变形优点：表示简单、直观适合做图形输入手段缺点作几何变换困难对几何运算不封闭六、结构实体几何法

ConstructiveSolidGeometry-CSG原理：基本体素经布尔操作获得复杂形体操作：交、并、差基本体素定义：参数法将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树U-U-T1T2T3T4叶节点——基本体素，如立方体、圆柱体等中间节点——正则集合运算优点：表示简单、直观是物体的构造方法，可用作图形输入手段容易计算物体的整体性质物体的有效性自动得到保证缺点：表示不唯一不能直接用于显示求交计算麻烦七、边界表示法

BoundaryRepresentation一个实体通过它的曲面片或平面多边形的集合来表示。平面多边形、曲面片称为物体边界一个实体的边界表示必须满足一定的条件：定义一个实体的边界的面片的个数有限任意一个面片都是它的边界的子集。所有面片的并集定义该实体的边界一个面片是它的扩展曲面或平面的一部分。欧拉公式：V-e+f=2欧拉公式是必要条件广义欧拉公式：V-e+f-r=2(s-h)r:多面体表面上孔的个数s:相互分离的多面体数h:贯穿多面体的孔洞个数

优点：精确表示物体表示能力强几何变换容易适于显示处理

缺点：表示复杂有效性难以保证集合运算复杂八、特征造型

FeatureModeling实体模型虽描述了物体几何信息与拓扑信息，但明显缺乏工程含义，无法提取和识别工程信息。对于一个产品，设计人员不仅关心其结构形状、公称尺寸，还关心其公差、表面粗糙度、材料性能、技术要求等非几何信息，它们也是加工零件所需信息的组成部分。但这些却在实体造型中不能充分描述，后续系统需要重新输入产品设计信息。特征造型方法：面向整个产品设计过程和生产制造过程，不仅包含与生产有关的信息，而且还能描述这些信息之间的关系。通常，建立在实体造型基础上，在已有几何信息上附加，如“形位公差、表面粗糙度、材料性能”等制造信息。

特征造型提供了符合设计人员思维的人-机交互语言。特征定义

设计、加工、装配过程中关于零件形状和其它属性的信息。特征分类从生命周期看：设计特征、加工特征、分析特征、公差及检测特征、装配体特征。从功能上看：形状特征、精度特征、材料特征、技术特征。从设计方法上看：通道特征、挤压特征、提拉特征、过渡特征、表面特征、形变特征。4.5分形几何方法

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