刚体的平面运动

关于刚体的平面运动

刚体的平面运动是工程机械中较常见的一种运动，是一种较为复杂的运动。对它的研究是在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将其分解为上述两种基本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。§7.1刚体平面运动的描述刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。一．平面运动的定义

刚体的平面运动可以看作为平移与转动的合成，也可看作为绕不断运动的轴的转动。第2页,共79页，2024年2月25日，星期天例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB

杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。第3页,共79页，2024年2月25日，星期天

用一个平行于固定平面Ⅰ的平面Ⅱ截割刚体，得平面图形S。当刚体运动时，图形内任意一点始终在自身平面内运动。

于是，平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。二．平面运动的简化当刚体作平面运动时，直线A1A2作平移点A可代表直线A1A2的运动直线B1B2作平移点B可代表直线B1B2的运动B1BB2第4页,共79页，2024年2月25日，星期天

为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，只需确定平面图形内任意一条线段的位置．三．平面运动方程平面运动方程对于每一瞬时t

，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。任意线段

的位置可用

点的坐标和

与x轴夹角表示。因此图形S的位置决定于三个独立的参变量。所以第5页,共79页，2024年2月25日，星期天四．平面运动分解为平移和转动当图形S上

角不变时，则刚体作平移。当图形S上

点不动时，则刚体作定轴转动。故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成运动,即随同

的平移和绕

点的转动。第6页,共79页，2024年2月25日，星期天例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢（车轴）的平移和相对车厢（车轴）的转动的合成。车轮对于定系的平面运动（绝对运动）车厢（动系O‘

x

y

)相对定系的平移（牵连运动）车轮相对车厢（动系O'

x

y

）的转动（相对运动）

我们称动系上的原点O'为基点。第7页,共79页，2024年2月25日，星期天绕基点O'的转动车轮的平面运动

刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动。

结论：随基点

的平移第8页,共79页，2024年2月25日，星期天

例如:

平面图形Ｓ在

t时间内从位置I运动到位置II以A为基点:随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'因为：AB

A'B''

A''B'，所以：第9页,共79页，2024年2月25日，星期天

平面运动随基点平移的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关

(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的a,都是相同的）。基点的选取是任意的

(通常选取运动情况已知的点作为基点)。结论：第10页,共79页，2024年2月25日，星期天曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解A作圆周运动，B点作直线运动，若分别取两点为基点，则牵连运动规律不同，即平移的速度、加速度不同，但相对运动规律相同。第11页,共79页，2024年2月25日，星期天§7.2平面图形上各点的速度根据速度合成定理则M点速度为：一、基点法

则动点M的运动可视为随同基点O’点的平移（牵连运动）和绕基点O’点的圆周运动（相对运动）的合成。指向与

转向一致．

可取O'为基点,将动系固结于O'点,动系作平移。已知：图形S内一点O'的速度，图形角速度

，求：vO'vMO'vM第12页,共79页，2024年2月25日，星期天结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。取点A为基点，则点B的速度为根据这个结论，平面图形内任意两点的速度必存在一定的关系。其中方向垂直AB。

这种求解速度的方法称为基点法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。vBAvBvA第13页,共79页，2024年2月25日，星期天

同一平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。速度投影定理：这种求解速度的方法称为速度投影法．二．速度投影法由于A

，B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有，因此将上式在AB上投影，有vBAvBvA第14页,共79页，2024年2月25日，星期天机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。

研究AB，以A为基点，且方向如图示。（）[例1]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀

转动。求：当

=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．根据在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。1.基点法vAvBvBAvA解：第15页,共79页，2024年2月25日，星期天vAvBvBAvA根据速度投影定理不能求出

研究AB,

,方向

OA,方向沿BO直线2.速度投影法第16页,共79页，2024年2月25日，星期天解：尺AB作平面运动1.基点法例2

椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及尺AB的角速度。设尺AB的角速度为w，则所以yABoxjvAwvAvBAvBj根据速度投影定理不能求出2.速度投影法

研究AB，以A为基点。所以则第17页,共79页，2024年2月25日，星期天例3

如图所示四连杆机构OABO1中，,曲柄OA的角速度ω＝3rad/s。试求当φ＝90°而曲柄O1B重合于O1O的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。机构中,OA、O1B作定轴转动，AB作平面运动。

研究AB，以A为基点，速度分析如图示。在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。解：α

O1φABOωvAvBAvBαvA各方向如图示（）（）第18页,共79页，2024年2月25日，星期天例4：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。求此瞬时点E的速度。第19页,共79页，2024年2月25日，星期天vDvBvAvE30º解：杆OA绕O轴转动由速度投影定理，得摇杆CD绕C轴转动，有由速度投影定理，得第20页,共79页，2024年2月25日，星期天如何解释这种现象？三、速度瞬心法（2）若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．那么，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？1.问题的提出（1）图片第21页,共79页，2024年2月25日，星期天点C—称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。2.

定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。vAAωMCvAvAvMAvCA证明：过点A作vA的垂线AN。N随着点M在AN上的位置不同，vM的大小也不同。因此可找到一点C,该点的瞬时速度等于零。如令取点A为基点，则AN上点M的速度为第22页,共79页，2024年2月25日，星期天3.平面图形内各点速度及其分布DACB点C为速度瞬心，即

vC=0。取点C为基点，则A,B,D各点的速度由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心瞬时转动的速度。vAvBvD

平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。第23页,共79页，2024年2月25日，星期天4.几种确定速度瞬心位置的方法

（1）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点C为速度瞬心．(a)w(b)w（2）已知某瞬时A、B两点速度大小,且，则瞬心必在AB的连线与两速度矢的端点连线的交点上。第24页,共79页，2024年2月25日，星期天（3）已知某瞬时平面图形上A,B两点速度的方向，且.过A,B两点分别作速度的垂线,交点C即为该瞬间的速度瞬心.Cw（4）已知某瞬时A,B两点的速度相等，即。此时,瞬心在无穷远处,图形的角速度

=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平移.(此时各点的加速度不相等)第25页,共79页，2024年2月25日，星期天例如:

曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC的运动设匀角速度

，则而的方向沿AC，此时连杆BC的图形角速度。为瞬时平移．vBvCaBBC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．aC第26页,共79页，2024年2月25日，星期天（1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。（2）速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动（3）刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平移。5.注意的问题第27页,共79页，2024年2月25日，星期天[例5]

沿直线轨道作纯滚动的车轮已知:车轮半径为R，轮心O点的速度为。求:轮缘上点B、C

、D的速度。解：车轮作平面运动。

接触点A为速度瞬心。车轮的角速度为（1）计算简便（2）速度分布直观瞬心法第28页,共79页，2024年2月25日，星期天现在，你能解释这种现象了吗？第29页,共79页，2024年2月25日，星期天机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。

[例6]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀

转动。求：当

=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．解：vAvBCwAB

研究AB，已知的方向，因此可确定出C点为速度瞬心3.速度瞬心法2.速度投影法1.基点法第30页,共79页，2024年2月25日，星期天解：尺AB作平面运动1.基点法[例7]

椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及尺AB的角速度。yABoxjvAvB2.速度瞬心法已知A、B两点速度的方位，分别作A、B两点的速度垂线，用瞬心法可以求图形内任意点的速度两条直线交于点C，C点就是AB尺的速度瞬心。wCwDvD第31页,共79页，2024年2月25日，星期天[例8]

图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD//AE,杆AB角速度为w=5rad/s。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。ABDEC60o60ow解：AB杆，DE杆分别绕A、E轴作定轴转动，BD杆作平面运动。研究BD杆，其速度瞬心为PvBvDvCDE杆的角速度为：则BD杆的角速度为：P所以C点的速度为：wDEwBD第32页,共79页，2024年2月25日，星期天[例9]

曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及第33页,共79页，2024年2月25日，星期天第34页,共79页，2024年2月25日，星期天

BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD解：OA,BC作定轴转动,AB,BD均作平面运动根据题意：研究AB杆,P1为其速度瞬心vAvBP1P2vDwABwBD研究BD,P2为其速度瞬心,62第35页,共79页，2024年2月25日，星期天§7.3平面图形上各点的加速度于是,由牵连平动时加速度合成定理

可得如下公式．取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．已知：图形S内一点A的加速度和图形的

,α（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。α一、求各点加速度第36页,共79页，2024年2月25日，星期天其中：，方向

AB，指向与α

一致；，方向沿AB，指向A点。

即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。第37页,共79页，2024年2月25日，星期天38分析：

大小？√Ｒα

Ｒ

2

方向？√√√故应先求出

α

．（）

[例10]

半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度。解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，（）第38页,共79页，2024年2月25日，星期天39

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心。

以O为基点，有（与等值反向）其中：做出加速度矢量图，由图中看出：第39页,共79页，2024年2月25日，星期天解：(a)AB作平动，[例11]

已知O1A=O2B,图示瞬时O1A/O2B

试问(a),(b)两种情况下

1和

2，α1和α2是否相等？第40页,共79页，2024年2月25日，星期天(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动以A为基点，作B点的加速度矢量图如右向AB连线投影，注意到：Bφ并由此看出：AB作瞬时平移第41页,共79页，2024年2月25日，星期天

滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当

=60º时(OA

AB),滚轮的

Ｂ，αＢ．

[例12]曲柄滚轮机构。第42页,共79页，2024年2月25日，星期天

解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：（）P1为其速度瞬心分析:要想求出滚轮的

Ｂ,αＢ先要求出vB,

aBP2P1vB第43页,共79页，2024年2月25日，星期天取A为基点，指向O点大小？√？√方向

√√√√作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心第44页,共79页，2024年2月25日，星期天[例13]在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O轴转动，OD=AD=BD=l。求当φ=60º时，AB的角加速度和点A的加速度。第45页,共79页，2024年2月25日，星期天aDaDatADanADaACηξ解：杆OD定轴转动，AB平面运动。研究AB杆，取点D为基点，求点A的加速度其中(1)vAvDωAB大小？√

√？方向

√√√√第46页,共79页，2024年2月25日，星期天aDaDatADanADaACηξvAvDωAB将(1)式分别在ξ和η轴上投影(1)解得：则：第47页,共79页，2024年2月25日，星期天

工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过联接点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，要计算有关联接点的速度和加速度。为分析某点的运动，如能找出其位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析方法求其运动全过程的速度和加速度。当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度的联系。二、运动学综合应用举例第48页,共79页，2024年2月25日，星期天

平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度联系。当两个刚体相接触而有相对滑动时，则需用合成运动的理论分析这两个不同刚体上相重合一点的速度和加速度联系。两物体间有相互运动，虽不接触，其重合点的运动也符合合成运动的关系。复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用有关理论。第49页,共79页，2024年2月25日，星期天分析：BE杆作平面运动，BD杆平移，点B连同滑块在OA杆上滑动，并带动杆OA转动，滑块E平移。可先对BE杆用平面运动理论求出点B的速度和加速度，再按合成运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。[例14]

如图所示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为

。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为45◦。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。v第50页,共79页，2024年2月25日，星期天BE杆作平面运动，由v及vB方向可知此瞬时点O为BE的速度瞬心，因此vvB解：（1）用平面运动理论求点B的速度和加速度以E为基点，点B的加速度为aEaBEtaBEnaBB大小：?0?√方向：√√√√加速度矢量图如右，其中(a)将(a)式向ζ轴上投影得：ζ则得：第51页,共79页，2024年2月25日，星期天（2）用点的合成运动理论求OA杆的角速度和角加速度vvavrve取滑块B为动点，动系固结于OA杆上由速度合成定理各速度矢量如图所示，显然有：即：则OA杆的角速度为：作加速度矢量如图所示，由加速度合成定理大小：aB?√？0方向：√√√√√将(b)式向水平方向投影得：(b)即：故：方向如图示方向如图示B其中第52页,共79页，2024年2月25日，星期天[例15]杆AB以不变的速度v沿水平方向运动，套筒B与杆AB的端点铰接，并套在绕O轴转动的杆OC上,可沿该杆滑动。已知AB和OE两平行线间的距离为b。求在图示位置(γ=60º，β=30º，OD=BD)时，杆OC的角速度和角加速度、滑块E的速度和加速度。第53页,共79页，2024年2月25日，星期天解：(1)速度分析vevDωDEvavrvEC取杆AB上的点B为动点，动系固连于杆OC上。ωOC研究DE杆，点C为其速度瞬心由速度合成定理第54页,共79页，2024年2月25日，星期天αOCatearaneac(2)加速度分析取杆AB上的点B为动点，动系固连于杆OC上。其中:将上式在n轴上投影，得:n大小：√

?√？√方向：√√√√√第55页,共79页，2024年2月25日，星期天αOCatearaneacatDanEDatEDaEanDatDanD杆DE作平面运动。取点D为基点，求点E的加速度其中：将上式在DE上投影，得大小：?√

√?√方向：√√

√√√第56页,共79页，2024年2月25日，星期天57第七章刚体平面运动习题课1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动。

3.刚体平面运动的分解分解为

4.基点

可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点。随基点的平移（平移规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）一．概念与内容第57页,共79页，2024年2月25日，星期天585.瞬心（速度瞬心）

（1）任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点。

（2）瞬心位置随时间改变。（3）每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转。这种绕瞬心的瞬时转动与定轴转动不同。（4）

=0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平移,瞬时平移与平移不同。6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。7.求平面图形上任一点速度的方法（1）基点法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。第58页,共79页，2024年2月25日，星期天59

8.求平面图形上一点加速度的方法 基点法：，A为基点,是最常用的方法9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件

（1）平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系。（2）合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递。第59页,共79页，2024年2月25日，星期天601.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(角速度)问题的方法,用基点法求加速度(角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

基点法:

恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；

速度投影法:

不能求出图形

;

速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。二．解题步骤和要点第60页,共79页，2024年2月25日，星期天[例1]行星齿轮机构已知:R,r,

o

轮A作纯滚动，求第61页,共79页，2024年2月25日，星期天解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(第62页,共79页，2024年2月25日，星期天[例2]

平面机构中,楔块M:

=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动。求圆盘的

及轴O的速度和B点速度。第63页,共79页，2024年2月25日，星期天解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,

圆盘作平面运动，P为速度瞬心）(第64页,共79页，2024年2月25日，星期天（1）比较[例1]和[例2]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,

接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心。

（2）

每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其它刚体上。例如,[例9]中AB的瞬心在P1

点,BD的瞬心在P2点,而且P1也不是CB杆上的点。34第65页,共79页，2024年2月25日，星期天解:OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,滑块B和C均作平动(1)求取AB杆为研究对象，[例3]

已知：配气机构中，OA=r,以等

o转动,在某瞬时

=60º

AB

BC,AB=6r,BC=。求该瞬时滑块C的速度和加速度。P1为其速度瞬心，方向如图示方向如图示第66页,共79页，2024年2月25日，星期天取BC杆为研究对象，P2为其速度瞬心，方向如图示方向如图示第67页,共79页，2024年2月25日，星期天(2)求先以A为基点求B点加速度：作加速度矢量图,

并将上式沿BA方向投影大小：？√？√方向：√√√√其中：方向如图示第68页,共79页，2024年2月25日，星期天再以B为基点,

求将上式向BC方向投影作加速度矢量图,大小：？√？√方向：√√√√其中：方向如图示第69页,共79页，2024年2月25日，星期天[例4]