统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数

第2讲基本初等函数、函数与方程考点一考点二考点三考点一基本初等函数的图象与性质——对比学习，类比应用

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2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为________，当0<a<1时，两函数在定义域内都为________．增函数减函数答案：B答案：C答案：C归纳总结基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数；(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断；(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．对点训练1.[2023·内蒙古赤峰市八校高三联考]纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则(1614)和纳皮尔算筹(1617)，而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

)A．3.048分钟B．4.048分钟C．5.048分钟D．6.048分钟答案：C答案：B

考点二函数的零点——“零点”“实根”相互转化考点二函数的零点——“零点”“实根”相互转化1．函数的零点及其方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2

解析：当x≤0时，x2－1＝0，解得：x＝－1，当x>0时，f（x）＝x－2＋lnx单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln1＝－1<0，f（2）＝2－2＋ln2>0，f（1）f（2）<0，所以在区间（1，2）内必有一个零点，所以零点个数为2个．(2)[2023·河南省高三上学期考试]已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．（－1，0）解析：

由对数函数的性质，可得f（x）为单调递增函数，且函数f（x）在（2，3）上有且仅有一个零点，所以f（2）·f（3）<0，即a·（a＋1）<0，解得－1<a<0，所以实数a的取值范围是（－1，0）.归纳总结1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．

答案：D

归纳总结利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法

答案：B

答案：D

考点三函数模型的应用——提取信息，合理建模

答案：C归纳总结解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问