《统计学原理》第5章-动态数列

1第五章动态数列

本章要点……1.动态数列的概念、种类2.动态数列的水平分析法3.动态数列的速度分析法4.动态数列的趋势分析法5.动态数列的季节变动分析法2第一节动态数列的概念、种类一、概念二、种类三、编制原那么3一、概念1.同一现象在不同时间上开展变化的数值按时间先后顺序排列而成的数列.如历年的国民收入、人口数、劳动生产率等。2.有两个构成要素：〔1〕时间〔2〕指标值3.时间可以是年、季、月度等。4.反映现象开展变动的趋势5.用于现象开展的动态分析4根据组成数列的指标不同分为以下三种：1.绝对数动态数列：由总量指标组成〔1〕时期数列：由时期指标组成〔2〕时点数列：由时点指标组成2.相对数动态数列：由相对指标组成3.平均数动态数列：由平均指标组成二、种类5二、动态数列的种类动态数列绝对数动态数列〔总量指标〕相对数动态数列：销售利润率平均数动态数列：平均本钱时点数列：人口数时期数列：GDP绝对数的动态数列是计算相对数和平均数数列的根底6不同种类的动态数列年份1995199619971998GDP（亿元）58478.167884.674772.479552.8人口自然增长率（%）1.0551.0421.0060.953上海市民平均期望寿命（岁）75.476.1177.277.03表5---1789四、编制原那么1.时期数列中，时期长短应一致2.总体范围应一致3.指标的经济内容应一致4.指标的计算口径应一致10第2节动态分析的水平指标一、开展水平、平均开展水平二、增长量、平均增长量11一、开展水平1.动态数列的各项指标值称为开展水平2.反映现象在不同时期上开展所到达的水平3.是计算其它动态指标的根底4.分为：〔1〕最初水平a0〔2〕最末水平an〔3〕基期水平ai〔4〕报告期水平ai+1例：表5--2时间199819992000200120022003产量（吨）10611820420923025712二、平均开展水平1.反映现象在相当长时期内，一定的数量表现在该时期内每一阶段开展的一般水平2.消除了现象在不同阶段的开展水平的差异3.是动态平均数，又称序时平均数。上一章介绍的平均数是静态平均数，是根据变量数列计算的。4.是根据动态数列计算的平均数5.不同种类的动态数列计算平均开展水平的方法有所不同。除了静态平均数使用的所有方法外，还有其独有的方法—高次方程法。13〔一〕绝对数动态数列的平均开展水平1.时期数列平均开展水平〔〕的计算：设为一动态数列，用简单算术平均法计该数列的平均开展水平。表5--3年份1995199619971998GDP（亿元）58478.167884.674772.479552.8------公式〔1〕142.时点数列平均开展水平的计算时点数列分为：〔1〕连续间隔相等的时点数列〔2〕连续间隔不等的时点数列〔3〕间断间隔相等的时点数列〔4〕间断间隔不等的时点数列15四种时点数列的平均开展水平的计算1、某企业2004年8月份每天的人口数如下：表5-48.18.28.3……8.308.31129127128……1391308.18.108.15……8.248.31129127128……1391302、某企业2004年8月份每天的人口数如下：表5--5时点连续间隔相等按日统计逐日登记时点不连续间隔不等非逐日统计、登记资料163、某企业8月份每日的人口数如下表：日期1--1011--1617--2526--31人数1281291321264、某企业2003年每月的产品库存额如下表：万元间隔相等时点不连续在规定时间统计、登记时点连续间隔不等按日统计非逐日登记日期1.12.1…12.112.31库存额110105…10095表5--6表5--7171〕连续间隔相等的时点数列平均开展水平的计算设为一间隔相等且连续的时点数列，那么2〕连续间隔不等德时点数列平均开展水平的计算设为一间隔不等的连续时点数列，f1、f2、、、fn为各项指标值连续的时间长度，那么：------公式〔2〕------公式〔3〕18例题1某企业4月1日有职工300人，4月11日新进厂9人，4月16日离厂4人，那么该企业4月份平均每天的职工人数为：3〕间断间隔相等的时点数列平均开展水平的计算设为间隔相等的间断时点数列，先计算两两相邻时点指标值的平均数，将其变为间隔相等的连续时点数列，再用简单算术平均法计算其平均发展水平。即19

例题2某企业2002年第三季度各月末商品库存额资料如下表所示：试计算其平均商品库存额。表5--8该企业第三季度平均商品库存额为：日期单位6月末7月末8月末9月末月末库存额万元10086104114------公式〔4〕204〕间断间隔不等的时点数列平均开展水平的计算设为间隔不等间断时点数列，f1、f2、、、、fn-1为各时点间隔的时间长度，先计算两两相邻时点的平均数，将其变为连续时点数列，再用加权算术平均法计算平均开展水平。即

例题3设产品2001年各统计时点的库存额如下表：试计算该产品2001年的年平均库存额。表5--9统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日库存额（万元）15.214.217.616.315.8------公式〔5〕21该产品库存额时点数列为间断间隔不等的时点数列，根据公式，先分别计算1、2两月的平均库存额〔15.2+14.2〕/2=14.73、4、5、6四个月的平均库存额〔14.2+17.6〕/2=15.97、8、9三个月的平均库存额=〔17.6+16.3〕/2=16.9510、11、12三个月的平均库存额=〔16.3+15.8〕=16.05该产品的年平均库存额为：上述平均数再加权算术平均22(二)相对数或平均数动态数列的平均开展水平1.相对数动态数列或平均数动态数列的每一项指标都是相对指标或平均指标：2.不同时期或时点上的相对指标或平均指标不具有可加性3.不能直接计算它们的平均开展水平4.计算原那么：C=a/b------公式〔6〕23例1.某企业2001年各季度的销售额和销售利润率资料如下表：试计算年平均利润率表5--10季度销售额（万元）(b)销售利润率（%）(c)130030240032336033441034年平均利润率由公式〔6〕和公式〔1〕得--公式〔7〕24例2.某企业2001年各季度的销售额和销售利润率资料如下表：试计算年平均利润率表5--11季度销售利润（万元）(a)销售利润率（%）(c)13030240323363344134由公式〔6〕和公式〔1〕得年平均利润率25例3.某企业生产工人和全体职工人数资料如下表：试计算该工厂第一季度生产工人占全体职工的平均百分比。表5—12生产工人比例%80.1281.1183.7383.14日期1月1日2月1日3月1日4月1日全体职工人数（人）805826830854生产工人数（人）645670695710第一季度生产工人=平均比例由公式〔6〕与公式〔4〕得--公式〔8〕26例4某公司第三季度各月的商品销售额与月初商品库存额如下：分子是时期数列，而分母是时点数列时间7月8月9月商品销售额（万元）a80150240时间7月1日8月1日9月1日10月1日月初商品库存额（万元）b35455565计算三季度平均商品周转次数1、计算三季度各月平均商品销售额=采用公式〔1〕〔80+150+240〕/3=470/3=156.67万元。2、三季度各月平均库存额=〔35/2+45+55+65/2〕/3=150/3=50万元。由公式〔6〕与公式〔1〕、〔4〕得3、三季度商品平均周转次数=156.67/50=3.13次。大家能否帮助计算各月的商品周转次数是多少？277月份的平均库存额=〔35+45〕/2=40万元销售额为80万元，故商品流转次数=80/40=2次8月份的平均库存额=〔45+55〕/2=50万元销售额为150万元，故商品流转次数=150/50=3次9月份的平均库存额=〔55+65〕/2=60万元销售额为240万元，故商品流转次数=240/60=4次第三季度商品流转次数=〔80+150+240〕/50=470/50=9.4不是2+3+4=9次。是何缘故？商品流转次数是相对指标，故不能直接相加.而9.40/3=3.13次，就是第三季度各月商品平均流转次数28三、增减量1.说明现象在一段时期内增减的绝对数2.增减量=报告期水平-基期水平3.累计增减量=报告期水平-最初水平4.逐期增减量=报告期水平-前期水平5.累计增减量=逐期增长量之和6.年距增减量〔同比增长〕=本期水平-去年同期水平29四、平均增减量1.说明现象在更长时期内各阶段平均增减的绝对数2.消除了偶然性因素对现象开展的影响3.也一种是动态平均数4.计算方法30第三节动态分析的速度指标1.开展速度〔即动态相对指标〕2.增长速度3.平均开展速度4.平均增长速度31一、开展速度1.说明现象在一段时期内开展变动的相对程度2.是动态相对指标3.设、、、、是一动态数列，那么〔1〕〔2〕32〔3〕两种开展速度之间存在的数量关系：定基开展速度=环比开展速度的连乘积环比开展速度=相邻两期定基开展速度之商〔4〕33二、增长〔减〕速度1.说明现象在一段时期内增减的相对程度2.小于100%，那么为降低速度。343.4.5.35三、平均速度指标1.说明现象在较长的时间内各阶段平均变化的程度2.消除可能存在的偶然因素的影响3.平均速度有：平均开展速度和平均增长速度4.平均增长速度=平均开展速度-1〔100%〕5.平均开展速度的计算方法有：〔1〕几何平均法〔2〕方程法36〔一〕几何平均法1.用几何平均数的原理计算平均开展速度2.平均开展速度是各期环比开展速度的几何平均数3.因为只关注最末实际水平，故又称为“水平法”4.设X1、X2、、、Xn为动态数列各期环比开展速度，为平均开展速度，那么

37例题

某企业1993年的工业总产值为40.25万元，由于生产的开展，1999年工业总产值到达65.71万元，试计算这段时间内，该企业工业总产值平均每年开展的速度和平均每年增长的速度。，，n=638〔二〕高次方程法1.理论依据：最初水平，最末水平。按照这一条件开展，现象每年开展的理论水平可不等于实际水平，但是，各期开展的理论水平之和应等于实际开展水平之和。据此，建立关于平均开展速度的方程，解此方程即得平均开展速度。2.“累计法”。39〔三〕几何法与方程法的比较1.关注焦点不同：几何法注重开展期最末水平，方程法注重整个开展时期的累计总水平2.同样的数据资料使用两种方法计算的结果存在有一定的差异。累计法结果小于水平法。3.根据统计分析的要求，选择采用正确的公式。时期指标可以采用两种方法计算其平均开展速度，而时点指标只有选择几何平均法40第四节长期开展趋势分析1.现象在相当长的时期内所具有的开展变化的趋势2.影响开展水平变化的因素：〔1〕长期趋势T〔2〕季节变动S〔3〕循环变动C〔4〕不规那么变动I3..变动模型：〔1〕乘法模型：Y=T×S×C×I〔2〕加法模型：Y=T+S+C+I41一、长期趋势1.影响现象开展变动的最根本因素，有决定性作用2.反映了现象开展变化的根本规律和特征3.对长期趋势进行研究有助于探求现象开展的规律4.可用于预测未来开展趋势的长期趋势的测定方法有：〔1〕时距扩大法〔2〕移动平均法〔3〕最小平方法〔长期趋势数量模型法〕42〔一〕时距扩大法1.短时期内，现象受偶然因素的影响较大，其开展呈现出剧烈的波动性，而隐藏其长期趋势。2.将数列指标值的时期延长，可消除偶然因素的影响，使现象开展变化的规律呈现出来。3.时期扩大后的指标值为原数列中相应时期内的指标值之和。4.该种方法只适合于时期数列。43例题下表是某工厂2005年各月份完成的总产值，表5--12月份123456总产值（万元）49.2435250.549.152.5月份789101112总产值（万元）5055.35456.25558该厂12个月的产值出现“曲折”，是呈增长趋势吗？44

图5--1从图像上看有“微弱”的“攀升”趋势，事实是这样？45将时期扩大为季度后的序列某工厂1999年各季度完成的总产值如下表：

由按月排列的数据，调整为按季排列的数据后，数列呈现明显的“逐季增长”趋势。即使长期趋势得以显现。表5--12季度1234总产值（万元）144.2152.1159.3169.246

图5--2图像所呈现的结果与此前的判断，完全一致。47二、移动平均法1.逐期移动计算序时平均数2.消除了短期内偶然因素的影响3.对原数列中存在的波动进行修匀4.反映现象开展的变动趋势5.设，i=1、2、、、n为一动态数列，移动间隔长度为K〔n＞K＞1〕，那么移动平均数序列为：

又称为移动均趋势值48例题我国1981——1998年，即18年的汽车产量如下表，分别计算3年和5年移动平均值。并作图与原数列比较。表5--13年份产量（万辆）年份产量（万辆）年份产量198117.56198747.181993129.85198219.63198864.471994136.69198323.98198958.351995145.27198431.64199051.401996147.52198543.72199171.421997158.25198636.981992106.671998163.0049汽车产量三项移动平均趋势值年份产量（万辆）年份产量（万辆年份产量1981——198749.541993124.40198220.39198856.671994137.27198325.08198958.071995143.16198433.11199060.391996150.35198537.45199176.501997156.26198642.631992102.651998——经过三项移动平均后。原数列项数减少了两项！表5--1450汽车产量五项移动平均趋势值年份产量（万辆）年份产量（万辆）年份产量（万辆）1981——198750.141993117.981982——198851.681994133.20198327.31198958.561995143.52198431.19199070.461996150.15198536.7199183.541997——198644.80199299.211998——5像移动平均后，原数列更是减少了4项！有规律？表5--1551图5--352应注意的问题1.移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置2.移动平均只能消除原数列中的短期波动，无法给出趋势线的数学表达式3.移动的间隔应适中4.多用奇数项移动平均，而不用偶数项移动平均5.移动平均后的项数=原项数-移动平均项数+1=n-K+153三、最小平方法〔最小二乘法〕1.测定现象趋势的一种科学方法2.可以找出趋势线的数学方程式，即数量模型。3.理论依据：趋势值与实际值偏差的平方和最小设Y为实际值，Yc为趋势值，那么，使得趋势值是最好的

4.既可用于测定直线趋势，也可用于测定非直线趋势。也称“趋势模型法”54〔一〕直线趋势的测定1.逐期增长量大致相等或散点大致分布在一条直线上，现象具有直线趋势2.趋势线方程为：3.利用最小平方法可估计出a、b，即得趋势线方程4.利用趋势线方程进行预测55求解a、b的标准方程式根据最小二乘法得：或解出a、b的值56实际应用时t的处理1.当数列为奇数项时，使2.当数列为偶数项时，使3.上述公式简化为

57例题

利用表5--13汽车产量的数据资料，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，并预测2000、2002年汽车的产量。根据前面的公式：汽车产量的趋势模型=58汽车产量的趋势图图5—4592000、2002汽车产量的预测值1.2000年的预测值〔t=20〕：2.2002年的预测值〔t=22〕：

〔利用表5—1318年的汽车产量统计数据，到1998年t=18〕60〔二〕非直线趋势的测定1.实际应用中，非直线趋势更加常见2.要通过科学的方法测定出趋势线的形式3.将趋势线的方程表示出来4.利用最小平方法求出其中的未知数，即得趋势线方程5.用趋势线方程进行预测6.常见的非直线趋势有：〔1〕抛物线〔2〕指数曲线〔3〕修正指数曲线61指数趋势线的测定1.描述以几何级数递增或递减的现象的变动2.当现象的环比开展速度大致相等时，其变动趋势符合指数趋势3.指数趋势线可表述为：

b＞1时，为递增趋势，b＜1时，为递减趋势62求解a、b的标准方程式

根据最小平方法，先将指数趋势线调整成直线趋势形式再按照直线趋势的方法，得到求解㏒a、㏒b的标准方程如下：∑㏒y=n㏒a+㏒b∑t∑t㏒y=㏒a∑t+㏒b∑t2当取时间序列的中点为原点时，∑t=0,上式简化为：∑㏒y=n㏒a求出㏒a、㏒b后，再求出a、b∑t㏒y=㏒b∑t2㏒yt=㏒a+t㏒b63例题

根据前例汽车产量数据，确定1981——1998年我国汽车产量的指数曲线方程，并预测2000年的汽车产量。根据标准方程有：32.459896=18㏒a+171㏒b337.223286=171㏒a+2109㏒ba=17.2805，b=1.14698汽车产量的指数趋线方程为：yt=17.2805(1.14698)t2000年汽车的产量为：y2000=17.2805(1.14698)20=268.33(万辆)直线趋势模型所得出的2000年汽车产量预测值180.5万辆有明显的差异！64〔三〕趋势线的选择对于给定的动态数列，应选取适合现象变动特征的趋势线：1.根据观察值的变化规律及其散点图的形态确定适当的趋势线类型2.按以下标准选择趋势线：〔1〕假设逐期增长量大致相等，可配合直线趋势模型〔2〕假设逐期增长量的增长量大致相等，可配合二次曲线〔3〕假设对数值的逐期增长量大致相等，可配合指数曲线〔4〕假设逐期增长量的环比值大致相等，可配合修正指数曲线65第五节季节变动分析一、季节变动二、季节变动分析的方法1.按月平均法2.移动平均趋势剔除法66一、季节变动1.现象随季节的变化而呈现出的有规律的变动2.根据过去的历史资料，研究现象随季节变化而变动的规律特征3.找出现象一年之中的“旺季”和“淡季”，根据现象的变化规律，组织相应的生产经营和管理4.通过计算季节指数反映季节变动的规律和程度5.用于预测现象未来的数量特征与水平67二、按月平均法1.根据原时间序列通过简单平均计算季节指数的一种常用方法2.必须三年以上的按月历史资料3.不考虑长期趋势的影响4.5.季节指数＜100%，相应的季或月为“淡季”季节指数＞100%，相应的季或月为“旺季”68〔一〕按月平均法计算步骤月份12……12合计第一年a11a12……a112∑a1j第二年a21a22……a212∑a2j………………aij…………第n年an1an2……an12∑anj合计∑ai1∑ai2……∑ai12∑∑aij691.计算各年同月份的平均数2.计算各年总月份平均数3.计算季节指数，70例题我国1978——1983年各季度的农业生产资料零售额数据如下表，试用按季平均法计算各季的季节指数。年份销售额（亿元）1季度2季度3季度4季度197862.688.079.164.0197971.595.388.568.7198074.8106.396.468.519