2020-2021学年邵阳市邵阳县高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年邵阳市邵阳县高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

y

1.已知集合/={%EZ||一一4x|v4},8={yE/V+|（|）>记card/为集合4的元素个数，则

下列说法不正确的是（）

A.cardA—5B.cardB—3

C.card{AnB）=2D,card^AUB）=5

2.已知命题p：3x0e/?,sinx0<1,则命题p的否定是（）

A.Vx6/?,sinx>1B.3%6/?,sinx>1

C.3xe/?,sinx>1D.VxE/?,sinx<1

3.在一360。〜0。范围内与角1250。终边相同的角是（）

A.-210°B.-150°C.-190°D,-170°

4.已知集合国，区，则区=()

A.回B.区］C.叵1,或叵1D.叵］,或区］

5.函数/(%)=等的图象大致是()

B'o|/\\

D.\/,

6.圆心角为135。，弧长为3的扇形的面积为(）

A.-B.-C.-D.-

7T7Tnn

7.如图所示，角。的终边与单位圆交于点P(-学），则COS（7T-。）3P'

的值为()

7

B--T

C.在

5

D.逆

5

8.8.下列命题为真命题的是

A.已知3beR,则“三巴《一2"是''4>0且5<0”的充分不必要条件

ab

B.已知数列沁.｝为等比数列，则“%<知”是“叫〈飞”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面ct,B，若两条异面直线加，犬满足桁二a,若u#且微〃§,k//a,则

a//P

D.e（-8,0）,使3必<』心成立

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知幕函数y=x«aeR）的图象过点（3,27）,下列说法正确的是（）

A.函数y=的图象过原点B.函数y=是奇函数

C.函数丁=x。是单调减函数D.函数y=x。的值域为R

10.已知a>0,b>0,且a+b=l,则下列结论正确的是（）

A.a2+h2>|B.log2a+log2b>-2

82

+>18

---

C.Va4-Vb<2ad

11.已知函数f（x）=sinx（si?ix-COST）,下列叙述不正确的是（）

A./（x）的最小正周期是27rB./（%）在［一?,三上单调递增

OO

C./（无）图象关于直线久=W对称D./（X）的图象关于点（一，》对称

12.函数f（x）=/一2/+3%-6的零点所在的区间可能是（）

A.（0,|）B.（|,4）C.（1,；）D.6|）

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.计算：1那普病-觥广署醺宽带队第=

14.满足sin二sinx+cos—cosx=」的锐角久=___.

R耳2

rx+2,%<—1

15.已知函数/。)=卜2,一1<X<2,若/(b)贝必=.

\2x,x>2

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.若正实数a,b满足ab=2a+3b,则ab的最小值为_(1)_；a+b的最小值为_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知4={x\x2—4=0),B={x\ax2—(2a+l)x+2=0}.

(1)若a=：,求4nB；

(2)若4nB=B,求实数a的取值集合.

18.已知s讥a=',aG贝lJsin(a+3)=,cos2a=

2x22

19.定义在R上的函数/(%)满足/'(x)=-e~+x-2/(0)%,g(x)=/(|)-+Q-a)x+

a.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数g(x)的单调区间；

(3)如果s、t、r满足|s—r|W|t—r|,那么称s比t更靠近r.当a22且久21时，试比较(和e"i+a哪

个更靠近mx,并说明理由.

20.己知函数f(x)=Acos(3x+河+8(/>0,3>0,3|<今的部分图象，如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)先将函数“X)图象上所有点的横坐标缩短到原来的“纵坐标不变)，再向右平移擀个单位后得到函

数g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调减区间和在区间［0币上的最值.

21.已知函/(x)是偶函数，而且在(0,+8)上是增函数，判断f(x)在(-8,0)上是增函数还是减函数,

并证明你的判断.

22.已知函数/'(%)=Asin(a>x+⑴)，(4>0,3>0,|勿<eR)图象的一部分如图所示，

(1)求函数f(x)的解析式：

(2)求函数y=/(x+2)+人为的单调递减区间.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：集合/={%6Z\\x2-4%|<4]=[%6Z|-4<x2-4%<4}={%6Z\x02月.2-2A/2<

%<2+2&}={0，1,3,4),

B=(y&N+I(5y>M={yGN+\y<3}={1,2,3},力nB={1,3},AUB={0,1,2,3,4}；

则cardA=3,cardB=3,card^ACB)=2,card(^AUB)=5；

所以说法不正确的是

故选：A.

化简集合4、B,求出AflB与4UB,求出集合A、B与4。8和4^18,即可得出结论.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目.

2.答案：A

解析：解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以命题p：3x0eR,sinx0<1,

则命题p的否定是"：uVx6R,sinx>r.

故选：4

根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题p的否定命题即可.

本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题.

3.答案：C

解析：解：与1250。终边相同的角的集合为{困戊=1250。+/£-360。,/£62},

取k=-4,得a=1250°-14400=-190°.

・•・在一360。〜0。范围内与角1250。终边相同的角是一190。.

故选：C.

写出与1250。终边相同的角的集合{a|a=1250°+k-360°,/cGZ},取k=一4得答案.

本题考查终边相同角的概念，是基础的计算题.

4.答案：A

解析：试题分析：解叵]得区，叵]，故选A.

考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.

5.答案：4

解析：解：根据题意，/。)=詈，其定义域为(0,+8),

当#6(0,1)时，Inx<0,/(丫)=多竺<0,函数图象在x轴下方，

当x6(1,+8)时，Inx>0,/(%)=>0,函数图象在%轴上方，

当X-+8时，f(x)-0,函数图象靠近x轴，

分析选项可得4符合；

故选：A.

根据题意，由函数的解析式分析：在(0,1)上，函数图象在x轴下方，在(L+8)上，函数图象在x轴上

方，当％T+8时，/•(%)T0,函数图象靠近%轴，据此分析选项可得答案.

本题考查函数的图象分析，注意分析函数值的符号，属于基础题.

6.答案：C

34

解析：解：弧长为3,圆心角为135。的扇形，所以扇形的半径为豆=>

4

所以扇形的面积为：S=；x3x-=-.

2nn

故选：C.

通过弧长求出扇形的半径，利用扇形的面积公式求解即可.

此题考查的目的理解掌握扇形面积公式及应用，属于基础题.

7.答案：C

解析：

本题考查任意角的三角函数，考查诱导公式的应用，属于基础题.

由于cos。=卡=_立，利用诱导公式即可求得cos(兀—。)的值.

15

解：・.•|OP|=J(_g)2+(等)2=1(0为单位圆的圆心)，

*V5

:.COSO=-y-=—

・・・C0S(7T-0)=-COS0=y.

故选c.

8.答案：C

解析:

选项,4中，^=+2=9+")：。0=°6<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分条件，所以乂错；

选项B中，由得，/I0或<f<°,，可以推出。4<。5：但若。4<。5，贝I」该

[q>l[0<9<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此时推不出外<%<生，

4x044

所以8错；选项。中，当x0<0时，—=(-)x«>(-)0=l«3Xa>4XS所以。错.

故答案为C.

9.答案：ABD

解析：

根据幕函数的定义和性质分别判断即可.

本题考查了零函数的定义和性质，考查幕函数的基础知识，是一道基础题.

解：因为塞函数图象过(3,27),

则有27=3。，a=3,即y=%3,

故函数是奇函数，图象过原点，函数在R单调递增，值域是R,

故A,B,。正确，C错误；

故选ABD.

10.答案：ACD

解析：解：对于4a>0,b>0,且a+b=l,

对于4a2+b2>^^=l，故A正确；

对于8：a>0,6>0,J3.a+h=1,所以a+b=1N

整理得：abS；,

故logzQ+log2b=log2a&<-2,故B错误；

对于C：由于abw；,所以(G+VF)2=a+b+2&Fs2,

所以G+VFW或<2,故C正确;

对于D：?+：=(a+b)《+》210+2&5而=18,故。正确.

故选：ACD.

直接利用不等式的性质，基本不等式的应用，对数的运算和关系式的恒等变换的应用判断力、B、C、

。的结论.

本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，对数的运算，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：ABC

解析：解：/(%)=sinxQsinx—cosx)=sin2x—sinxcosx=广了;_=|—ysin(2x+?)，T=

y=7r,所以A不对;

令xe［-弟t=2x+*［一建］,S讥t单调递增，f(x)单减.8不对;

x=即寸，/'(x)不是最大值或最小值，所以C不对；

函数y=-日sin(2x+$关于点(一标)对称，“X)的图象关于点(常,；)对称，。正确.

故选：ABC.

先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了二倍角及辅助角公式，正弦函数的性质，属于中档题.

12.答案：AD

解析：

本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.

利用函数的解析式，求解函数值的符号，结合零点存在性定理，判断选项即可.

解：函数/'(x)=/一2/+3X—6是连续函数，

由于/(0)<0,/⑴<0,/(4)>0,/(|)>0,%)<0,

所以零点在区间6|),(0,|)内.

故选：AD.

13.答案：3

解析：试题分析：1n病一电铲"胆然外轴酷=1.出4-咻界，魏5#，趣悬=川舟公=箪

考点：对数运算.

14.答案：*

解析：原式可化为cos(x—?)=：,

x---=i—+2/CTT(/C6Z).

•••X为锐角，X=/.

15.答案:-1或土当

rx+2,x<-1

解析：解：/(%)=jx2,-l<%<2,若/(b)=5

\2xtx>2

当bw—1时，6+2=1，解得。=一|,满足题意.当一l<b<2时，b2=p解得b=土争满足

题意.

当622时，2b=3解得b=；,不满足题意.

24

综上：b=—|或土日.

故答案为：-,或士业.

乙2

直接利用分段函数的表达式以及已知条件列出方程求解即可.

本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.

16.答案：24

5+2V6

解析：解：••,两个正数a,b满足2a+3b=

:.①2a+3b=ab>276ab=>ab>24•当且仅当a=4,b=6时取等号；

即ab的最小值为24.

(2)vab=2a+3b；

.・・b=>0,

a-3

a-3>0,

・•・Q+b=Q+=Q+"a-=a+2+=Q-3++5>2I(a—3)-+5=5+2显，

a—3CL—3ci—3ci—3、a—3

当且仅当a=3+遍时取等号，

故a+b的最小值是5+2历；

故答案为：24,5+2V6.

两个正数a,力满足2Q+3b=ab,可得6=二>0,即。一3>0,因此a+b=Q-3++5,利

a—3a—3

用基本不等式即可得出.

本题考查了基本不等式的性质，属于基础题.

17.答案：解：X={x|x2-4=0]={-2,2),

B-{x\ax2—(2a+l)x+2=0}={x|(ax—l)(x—2)=0}：

(l)a=[时，B={2},故AnB={2}；

(2)由4nB=B得BcA,

由上述分析可得800.

①a=0时，B={2},符合题意；

②aH0时，B={x|(ax—1)(%—2)=0},

所以工=2或工=-2,

aa

解得a=g或一'

故a的取值集合为{0,—

解析：本题考查了集合的运算，考查方程问题以及分类讨论思想.

(1)代入a的值，求出4B的交集即可；

(2)通过讨论a的范围，结合B是4的子集，得到关于a的方程，解出即可.

18.答案:立一卷

解析：解：••,sinan'a6(pTr),cosa=-V1-sin2a=

则sin(Q4--)=sinacos-+cos-sina=,

'4，44522v5710

cos2a=1—2sin2a=1—2x—,

2525

故答案为：立；—

1025

利用同角三角函数的基本关系求得cosa的值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得sin(a+

1)和cos2a的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题.

19.答案：解：(l)[(x)=r(l)e2x-2+2x-2f(0),

所以f'(l)=/(1)+2—2/(0),

即/(O)=1.

又-0)=等-e-2，

所以/'(l)=2e2,

所以f(%)=e2x4-%2-2x.

(2)•・•/(%)=e2x—2%+%2,

x1

•••g(x)=/(2)—产+(1-a)x+a

=ex+i%2—x—:%2+(1—d)x+a=ex-a(%—1),

・'•"(%)=ex—a.

①当aWO时，g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增；

②当Q>0时，由g'(x)=ex—a=0得％=Ina,

・•・当%e(-8,右Q)时,g")<0,g(x)单调递减；

当%6(ma,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

综上，当QW0时，函数0(%)的单调递增区间为(-8,+8);

当a>0时，函数g(%)的单调递增区间为(ma,+8),

单调递减区间为(一8,"a).

(3)解：设p(%)=^-lnx,q(x)=ex~r+a-Inx,

・・•p'a)=-4~-<o,

「、/X2X

・•・p(x)在xe[1,+8)上为减函数，

又p(e)=0,

・,•当1<x<e时,p(%)>0,

当%>e时，p(x)<0.

令Q(X)=q'(X)=e*-i—

则Q'(x)="一】+?>0,

・•・q'(x)在xe[L+8)上为增函数，

又q'(l)=0，

・・・工€[1,+8)时，q/(x)>0,

・•・q(x)在％6[1,+8)上为增函数，

二当%>1时,q(x)>q(l)=Q+1>0.

x1

①当1<%<e时,|p(%)ITq(%)l=p(%)-q(<=^-e--af

设?n(%)=1—e%T—a,

则m'(X)=—专—e*T<0,

・•・m(%)在％e[1,+8)上为减函数，

,当%>1时，m(x)<m(l)=e—1—a,

va>2,

:.m(x)<0,

・•.|pQ)|V|q(x)b

・・・(比e-i+Q更靠近)工.

②当%>e时，|p(x)|—|q(x)|=—p(x)—q(x)=—:+2/nx—ex~r—a<2lnx—ex~r—a,

设?i(%)=2lnx—e"T—a,

则"(x)=|—e"T,

令N(x)="(%)=£—ex-1,M(x)=-捺-ex-1<0,

：•n'(x)在x>e时为减函数，

二当x>e时，"(%)<n'(e)=--ee-1<0,

n(x)在x>e时为减函数，

二当x>e时，n(x)<n(e)=2-a—ee-1<0,

•1•IPWI<IQWI-

(比e"T+a更靠近mx.

综上：在a22,时，?比e*T+a更靠近mx.

解析：本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况.考

查分类讨论思想的应用.

(1)求出函数的导数，利用赋值法，求出((1)=f(l)+2-2/(0),得到f(0)=1.然后求解((1),

即可求出函数的解析式.

(2)求出函数的导数9'(%)=蜡+小结合aNO,a<0,分求解函数的单调区间即可.

(3)构造p(x)=f-lnx,q(x)=1一1+a-\nx,通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1<%<

e时，推出|p(x)|<|q(x)|,说明:比e"i+a更靠近齿比.当尤>e时，通过作差，构造新函数，判断函

数的单调性，证明(比靖-i+a更靠近仇x.

20.答案：解：(1)由函数/Q)=4COS(3“+9)+8(4>0,3>0,|如<乡的部分图象可知，

4=9=2,B=S=—1,

22

f-i~i.、］.77T77r—7T

因为鼻=2=GF，

所以3=2,

所以/'(%)=2cos(2x+0)-1,

把点(看,1)代入可得，cos/+s)=1,

所以g+8=2kn,k€Z,

o

又因为mi<a

所以勿=一±

o

故/'(x)=2cos(2x-^)-1；

D

(2)先将fQ)的图象横坐标缩短到原来的可得y=2cos(4x-1的图象，

再向右平移沙单位，可得g(x)=2cos(4x-坐-1的图象，

由2卜兀W4x一吵W2/C7T+兀，k&Z,

6

解得2/CTT4--4x<2/CTTH——,kEZ,

66

ni./cTt157r,,kn,lln.一„

224224

故函数的减区间是年+弟程+詈］,kwz,

因为工€［0,g,4%-Y6

所以g(x)在［0,曲上单调递增,在隹币上单调递减，

故当工=詈时，即4x-乎=0时，g(x)有最大值为1；

而g(0)=_V5-l,g(^)=V3-1,

故当x=0时，g(x)有最小值为一百一1.

解析：Q)利用函数的最值求解4B,求出函数的周期，利用周期的计算公式求解3,再利用特殊点

的坐标求解3的值，即可得到答案；

(2)先利用三角函数的图象变换求出g(x)的解析式，然后由整体代换以及余弦函数的单调性列式求解

g(%)的单调递减区间，再由x的范围，求出软-?€[-?勺，由余弦函数的性质求解最值即可.