第11讲 一次函数的图像与性质（19大考点）（解析版）

第11讲一次函数的图像与性质（19大考点）考点考点考向变量与常量：（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．函数的有关概念：（1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．（2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．（3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．（4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．（5）函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．（6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．一次函数与正比例函数（1）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．（2）正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．4.一次函数的图象与性质：（1）正比例函数图象的性质正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（2）一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．（3）一次函数的图象：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．考点考点精讲一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•青田县期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（）A．∠BAC的度数 B．AB的长度 C．BC的长度 D．△ABC的面积【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可．【解答】解：把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，常量为AB的长度，故选：B．【点评】此题考查的是常量与变量，掌握它们的概念是解决此题关键．二．函数的概念（共2小题）2．（2021秋•绿园区校级期中）下列各图能表示y是x的函数是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．3．（2021秋•诸暨市校级月考）“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化．【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．【解答】解：“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化．故答案为：气温，时间．【点评】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式（共4小题）4．（2021秋•余杭区月考）一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150km，则汽车距乙地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数解析式是（）A．s＝150+50t（t≥0） B．s＝150﹣50t（t≤3） C．s＝150﹣50t（0＜t＜3） D．s＝150﹣50t（0≤t≤3）【分析】根据路程、时间、速度之间的关系可得s＝150﹣50t，根据路程和速度计算出t的取值范围即可．【解答】解：由题意得：汽车t小时行驶的路程为50t，因此汽车距乙地的距离s＝150﹣50t（0≤t≤3），故选：D．【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．5．（2021秋•鄞州区校级月考）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）【分析】容易知道y大于100，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按9折优惠．应付货款y（元）＝100+超过100的部分．【解答】解：∵x＞2，∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），故选：B．【点评】此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．6．（2021秋•长兴县月考）已知直角三角形两锐角的度数分别是x，y，则y与x的函数关系式是y＝90﹣x．【分析】直接利用互余两角的定义得出x+y＝90，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：x+y＝90，则y＝90﹣x．故答案为：y＝90﹣x．【点评】此题主要考查了函数关系式以及互余两角的关系，正确得出x+y＝90是解题关键．7．（2021秋•鄞州区校级月考）将一些长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为2cm．（1）求5张白纸黏合后的长度；（2）设x张白纸黏合后的纸条总长度ycm，写出y关于x的函数关系式．（3）当x﹣20张时，y的值是多少？【分析】（1）根据题意求值即可；（2）根据题意x张白纸黏合时会有（x﹣1）个黏合处，然后列相应数量关系式即可；（3）根据题意已知自变量值求出函数值即可．【解答】解：（1）5张纸黏合在一起有4个黏合处，30×5﹣4×2＝142（cm）；（2）x张白纸黏合后有（x﹣1）个黏合处，∴y＝30x﹣2（x﹣1）即y＝28x+2．（3）当x＝20时，y＝28×20+2＝562．【点评】本题考查了一次函数的解析式与求函数式的值，做题关键要掌握待定系数法求一次函数解析式．四．函数自变量的取值范围（共4小题）8．（2021秋•缙云县期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（2021秋•诸暨市期末）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠3的一切实数．【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x﹣3≠0，解得x的范围．【解答】解：x﹣3≠0，解得：x≠3．【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（2022秋•鄞州区校级期中）函数y＝中自变量x的取值范围是x≠2．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．11．（2021秋•莲都区期末）函数自变量x的取值范围是x≠0．【分析】根据分母不等于0列式即可．【解答】解：根据题意得，x≠0．故答案为：x≠0．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．五．函数值（共1小题）12．（2021春•福田区校级期中）根据图中的程序计算y的值，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．﹣5 B．5 C． D．4【分析】根据函数值的定义即可求解．【解答】解：∵输入的x值为3，∵3＞2，∴代入的函数式是为：y＝2x﹣1，∴输出的y值为：2×3﹣1＝5，故选：B．【点评】本题考查了函数值的性质，本题的解题关键是确定当输入的x值为3时代入的函数式，即可得出答案．六．函数的图象（共2小题）13．（2022秋•鄞州区校级期中）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．【解答】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．14．（2021秋•上虞区期末）早上8点，妈妈把小明送到游泳馆训练，之后马上回家准备午饭，烧好饭后去游泳馆等小明训练结束接其回家，妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同．8点开始，妈妈离家的距离y关于时间x的函数图象如图所示，则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻（即图象中CD中点G所在的时刻）为（）A．9点 B．9点10分 C．9点20分 D．9点30分【分析】根据妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，得到用的时间也相同，所以点B的横坐标为﹣2＝，又因为在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同，BC＝DE，所以图象中CD中点G的横坐标为+＝，即可求出图象中CD中点G所在的时刻为8+＝9点10分．【解答】解：∵妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，∴用的时间也相同，∴点B的横坐标为﹣2＝，∵在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同，∴BC＝DE，∴图象中CD中点G的横坐标为+＝，∴图象中CD中点G所在的时刻为8+＝9点10分．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象，利用函数图象获取正确信息是解题关键．七．动点问题的函数图象（共5小题）15．（2021秋•东阳市期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（）A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4【分析】由图象可知：面积最大时，S等于，再根据三角形的面积计算公式可得关于BC的方程，解得BC的长，最后根据三角形三边关系可得AB和AC的长．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AC＝BC，AB＝2BC，由图象可知：面积最大时，S＝S△ACD＝S△ABC＝AC×BC＝，∴•BC•BC＝，解得BC＝2（负值舍去），∴AC＝2，AB＝4，∴△ABC的周长为2+4+2＝6+2，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键．16．（2021秋•西湖区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴△ABC的面积是：×4×5＝10．故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键．17．（2021秋•嵊州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝x﹣3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m．图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（）A．2 B．6 C．8 D．12【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝x﹣3的平行线，交CD、AB于点E、F．由图象和题意可得AD＝7﹣5＝2，BE＝DF＝，则AF＝＝＝1，∴BF＝（11﹣7）×＝2，∴AB＝AF+BF＝1+2＝3，∴矩形ABCD的面积为AB•AD＝3×2＝6．故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．（2021秋•开化县期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P从点C出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度顺时针运动一周，点P运动时线段CP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系如图2所示，若点M的坐标为（11，5），则点P运动一周所需要的时间为24秒．【分析】图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，所以CA＝6，由点M的坐标为（11，5）可得，AC+AP＝11，CP＝5，过点P作PE⊥AC于点E，则△AEP∽△ACB，由比例可得AB＝10，BC＝8，进而可得三角形ABC的周长，即可得出运动时间．【解答】解：图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，由图象可得，CA＝6，假设点P运动到如图所示位置，对应图2中的点M（11，5），∴CA+AP＝11，CP＝5，∴AP＝5，过点P作PE⊥AC于点E，∴∠AEP＝∠ACB＝90°，∵AP＝CP，∴点E是AC的中点，∴AE＝CE＝3，∴EP＝4，又∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∴EP∥CB，∴AE：AC＝AP：AB＝EP：BC，即3：6＝5：AB＝4：BC，∴AB＝10，BC＝8，∴△ABC的周长为：6+8+10＝24，∴运动时间为24÷1＝24（s），故答案为：24．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是理解图2中的点M（11，5），在图1中找到对应的位置求出△ABC的周长．19．（2021秋•湖州期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是12+2．【分析】分别研究直线l在直线a的位置、直线l经过a后平移到b的位置、直线l到达直线c的位置三种情况，线段l与四边形ABCD的位置，进而求解．【解答】解：过A、C、D分别作直线l的平行线a，b．c，延长BC交直线c于点G，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，①当直线l在直线a的位置时，AM＝EF＝2，BM＝4，则∠B＝30°，则AB＝2，∴∠BMA＝60°＝∠DGC；直线l经过a后平移到b处时，MC＝6﹣4＝2＝AN，即BC＝MB+MC＝4+2＝6，当直线l到达直线c的位置时，CG＝8﹣6＝2＝ND，则AD＝AN+ND＝2+2＝4，此时，∠DCG＝60°，CG＝DG＝2，故△CDG为等边三角形，即CD＝2，四边形ABCD的周长＝AB+AD+BC+CD＝2+4+6+2＝12+2，故答案为12+2【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．八．函数的表示方法（共1小题）20．（2021秋•定海区期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x＝127时，y的值为（）A．63 B．59 C．53 D．43【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把x＝127代入求y的值即可．【解答】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，，解得：，则y＝﹣x+180，当x＝127时，y＝﹣127+180＝53．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的表示方法，根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．九．一次函数的定义（共1小题）21．（2021秋•青田县期末）一次函数y＝10﹣2x的比例系数是﹣2．【分析】先化为标准形式，再根据一次函数的定义解答．【解答】解：一次函数变形为：y＝10﹣2x＝﹣2x+10，故其比例系数k是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．一十．正比例函数的定义（共3小题）22．（2021秋•杭州期末）正比例函数y＝3x的比例系数是3．【分析】根据正比例函数的定义判断即可．【解答】解：正比例函数y＝3x的比例系数是：3，故答案为：3．【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．23．（2022秋•南湖区校级期中）若y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，侧k＝﹣1．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，∴k2﹣1＝0，且k﹣1≠0，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键．24．（2021秋•柯桥区期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则点（1﹣m，1+m）在第二象限．【分析】直接利用“关联数”的定义得出m的值，进而判断得出答案．【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，故点（1﹣m，1+m）在第二象限．故答案为：二．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出m的值是解题关键．一十一．一次函数的图象（共2小题）25．（2021秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】一次函数解析式为y＝kx﹣2k，易得其图象与x轴的交点为（2，0），分析选项可得答案．【解答】解：函数的解析式为y＝kx﹣2k即函数图象与x轴的交点为（2，0），分析可得，B选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象，要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标．26．（2021秋•西湖区期末）当b＞0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．【解答】解：∵一次函数y＝x+b中k＝1＞0，b＞0，∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故选：B．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．一十二．正比例函数的图象（共1小题）27．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．解法二：本题还可用矛盾分析法来解决A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．一十三．一次函数的性质（共5小题）28．（2021秋•湖州期末）若一次函数y＝3x+2的图象经过点（﹣1，y1），（1，y2），则y1＜y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由k＝3＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜1，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，又∵一次函数y＝3x+2的图象经过点（﹣1，y1），（1，y2），且﹣1＜1，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．29．（2021秋•钱塘区期末）已知点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1与y2的大小是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜2，可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且﹣1＜2，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．30．（2021秋•武义县期末）关于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．经过第一、三、四象限 C．与y轴交于（0，2） D．与x轴交于（2，0）【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵一次函数y＝x+2，∴y随x的增大而增大，故选项A不符题意；图象经过第一、三、二象限，故选项B不符题意；与x轴交于点（﹣2，0），故选项D不符题意；与y轴交于点（0，2），故选项C符合题意；故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．31．（2022秋•镇海区校级期中）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数y＝bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，因而k＜0；图象与y轴的正半轴相交则b＞0，因而一次函数y＝bx﹣k的一次项系数b＞0，y随x的增大而增大，经过一三象限，常数项k＜0，则函数与y轴负半轴相交，因而一定经过一三四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y＝kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y＝kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y＝kx+b图象过原点⇔b＝0．32．（2021秋•诸暨市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【分析】先求得A的坐标，设点B的坐标为（m，0），分AO＝OB及AO＝AB两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：分AO＝OB及AO＝AB两种情况求出点b的坐标．一十四．正比例函数的性质（共3小题）33．（2021秋•钱塘区期末）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不可能；C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，故此选项有可能；D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．34．（2021秋•义乌市期末）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】由于正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，可得k＜0，然后，判断一次函数y＝kx+k的图象经过象限即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，k＜0，∴一次函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限．35．（2022秋•鄞州区校级期中）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+6，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为．【分析】求出y值的最大值的点，联立两直线解析式解方程组即可得解．【解答】解：y的最大值在三条直线的公共部分所在的区域，∵y2与y3的交点最高，∴y2＝x+1，y3＝﹣x+5的交点的y值最大，联立得：，解得，∴y的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了两直线相交的问题，正确理解题意是解题关键．一十五．一次函数图象与系数的关系（共3小题）36．（2021秋•莲都区期末）若一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2【分析】根据一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，可得m﹣1＞0且m﹣2≤0，进一步求解即可确定m的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，∴m﹣1＞0且m﹣2≤0，解得1＜m≤2，故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．37．（2021秋•鄞州区期末）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．【解答】解：由题意：由题意：，解得﹣2＜x＜3故选：C．【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系，不等式组的解集等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．38．（2021秋•北仑区期末）若一次函数y＝（k﹣1）x+（2k﹣6）的图象经过第一，三，四象限，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到，然后求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+（2k﹣6）的图象经过第一，三，四象限，∴，解得1＜k＜3．故答案为：1＜k＜3．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限．一十六．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）39．（2022秋•鄞州区校级期中）已知（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是直线y＝﹣x+2上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜﹣1＜，即可得出y1＞y2＞y3．【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵（﹣3，y1）（﹣1，y2），（，y3）是直线y＝﹣x+2上的三个点，﹣3＜﹣1＜，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．40．（2021秋•莲都区期末）已知正比例函数y＝2x，下列各点在该函数图象上的是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，） D．（﹣，1）【分析】代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论．【解答】解：A．当x＝1时，y＝2×1＝2，∴点（1，2）在正比例函数y＝2x的图象上，选项A符合题意；B．当x＝2时，y＝2×2＝4≠1，∴点（2，1）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项B不符合题意；C．当x＝1时，y＝2×1＝2≠，∴点（1，）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项C不符合题意；D．当x＝﹣时，y＝2×（﹣）＝﹣1≠1，∴点（﹣，1）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．一十七．一次函数图象与几何变换（共3小题）41．（2021秋•普陀区期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） C．函数的图象不经过第三象限 D．图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象【分析】根据一次函数的性质，平移的规律以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．【解答】解：A、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，不符合题意．B、当y＝0时，x＝2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B结论错误，符合题意；C、函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C结论正确，不符合题意．D、函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x+4﹣4＝﹣2x，故D结论正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．42．（2021秋•湖州期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点A（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，∵一次函数的图象经过点A（1，2），∴2＝1+b，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）如图，令y＝0，则x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴S△AOB＝×1×2＝1，∴△AOB的面积为1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．43．（2021秋•吴兴区期末）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：x…﹣3﹣2﹣10123…y1＝3|x|…9630369…在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为（2，0）．（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．①用m表示最低点P的坐标为（m，2）；②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．【分析】（1）由图象可得A（2，0）；（2）通过观察图象可得；（3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可．【解答】解：（1）由图象可得A（2，0），故答案为：（2，0）；（2）将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图：当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P．①最低点P的坐标为（m，2），故答案为（m，2）；②若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y4有最小值5，∴3×|﹣1﹣m|+2＝5∴m＝0（舍），或m＝﹣2若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去．若m＞2，当x＝2时，y4有最小值5，∴3×|2﹣m|+2＝5∴m＝1（舍），或m＝3综上所述，m＝﹣2或m＝3．【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想的运用是解题的关键．一十八．待定系数法求一次函数解析式（共7小题）44．（2021秋•海曙区期末）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为4．x123y3a5【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将（1，3），（3，5）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2．当x＝2时，y＝2+2＝4，∴a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．45．（2021秋•青田县期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（）A．y＝x+3 B．y＝x+6 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+6【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为6，可得到x、y之间的关系式．【解答】解：设过点P的垂线在x轴、y轴上垂足分别是D、C，如图：设P点坐标为（x，y），∵P点在第一象限，∴PD＝y，PC＝x，∵矩形PDOC的周长为6，∴2（x+y）＝6，∴x+y＝3，即该直线的函数表达式是y＝﹣x+3，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．46．（2021秋•龙泉市期末）已知一次函数的图象经过点A（0，3），B（2，﹣3）．（1）求函数的表达式．（2）若P（1，y1），Q（3，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用（1）中的解析式分别计算出自变量为1和3对应的函数值，从而得到y1与y2的大小关系．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把A（0，3），B（2，﹣3）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y＝﹣3x+3；（2）当x＝1时，y1＝﹣3×1+3＝0；当x＝3时，y2＝﹣3×3+3＝﹣6，所以y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．47．（2021秋•青田县期末）已知y是x的一次函数，当x＝﹣3时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣14．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣2时，求函数y的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出x＝2对应的函数值，然后根据一次函数的性质确定x＞﹣2时，函数y的取值范围．【解答】解：（1）设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），把x＝﹣3，y＝1；x＝2时，y＝﹣14代入得，解得，∴这个一次函数表达式是y＝﹣3x﹣8；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3x﹣8＝﹣3×（﹣2）﹣8＝﹣2，，∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞﹣2时，y＜﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．48．（2021秋•新昌县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出其图象．（2）当y≤0时，求x的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后两点确定一条直线画出一次函数图象；（2）通过解不等式2x+2≤0得到x的范围．【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x+2；一次函数y＝2x+2的图象为：（2）∵y≤0，∴2x+2≤0，解得x≤﹣1，∴当y≤0时，x的取值范围为x≤﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．49．（2021秋•海曙区期末）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＝时，求函数y的值；（3）当﹣3＜y≤2时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用（1）的解析式计算自变量为所对应的函数值即可；（3）利用（1）中解析式分别计算函数值为﹣3和2对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把x＝﹣4，y＝9；x＝6，y＝﹣1分别代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；（2）当x＝时，y＝﹣x+5＝﹣+5＝；（3）当y＝﹣3时，﹣x+5＝﹣3，解得x＝8；当y＝2时，﹣x+5＝2，解得x＝3，∴当﹣3＜y≤2时，自变量x的取值范围为3≤x＜8．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．50．（2021秋•海曙区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣4）和B（2，0）．（1）求该函数的表达式．（2）若点P是x轴上一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；（2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x﹣2|，再根据面积公式列等式，计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣4）和B（2，0），进而得，解得k＝1，b＝﹣2，∴该函数的表达式：y＝x﹣2；（2）∵点P是x轴上一点，∴设P（x，0），∴BP＝|x﹣2|，∵△ABP的面积为10，∴×4×|x﹣2|＝10，∴|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得x1＝﹣3或x2＝7，∴点P的坐标（﹣3，0）或（7，0）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．一十九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）51．（2021秋•金华期末）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，6），则k＝3．【分析】把（2，6）代入解析式即可解得k．【解答】解：正比例函数y＝kx的图象经过点（2，6），把（2，6）代入解析式得到：2k＝6，解得k＝3．故填3．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．52．（2021秋•余姚市期末）已知y与x成正比例，当x＝3时，y＝6，则当时，y＝﹣．【分析】根据正比例函数的定义，设y＝kx，把x＝3，y＝6，代入求出k，然后把代入求得的解析式中可计算出对应的函数值．【解答】解：设y＝kx，把x＝3，y＝6代入得6＝3k，解得k＝2，∴y＝2x，当x＝﹣时，y＝2×（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江绍兴·八年级期中）在圆周长计算公式中，对半径不同的圆，变量有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，进而得出答案．【详解】解：在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有：C，r．故选：A．【点睛】此题主要考查了常量与变量，正确把握变量的定义是解题关键．2．（2020·浙江浙江·八年级期末）在①；②；③；④；⑤，一次函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．【详解】解：①y=-8x属于一次函数；②y=属于反比例函数；③y=+1不属于一次函数；④y=-8x2+6属于二次函数；⑤y=-0.5x-1属于一次函数，∴一次函数有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．3．（2021·浙江莲都·八年级期末）若一次函数y=（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＞ C．m＜ D．m＞【答案】D【分析】由“当x1＜x2时，y1＞y2”，利用一次函数的性质可得出4﹣3m＜0，解之即可得出m的取值范围．【详解】解：∵一次函数y=（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，∴4﹣3m＜0，∴m＞．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．4．（2021·浙江新昌·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是()．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日售票量x(张)3154222452385048746564262761512714售票收入y(元)3154200224520038540004874600564260027615001271400A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入【答案】A【分析】结合题意，根据变量和常量的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意，10月1日到10月7日的数据计算，得票价均为100元∴常量是票价故选：A．【点睛】本题考查了函数的基础知识；解题的关键是熟练掌握变量和常量的性质，从而完成求解．5．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知一辆汽车行驶的速度为，它行驶的路程（单位：千米）与行驶的时间（单位：小时）之间的关系是，其中常量是（）A． B． C． D．和【答案】B【分析】根据常量的定义即可得答案．【详解】∵汽车行驶的速度为，是不变的量，∴关系式中，常量是50，故选：B．【点睛】此题主要考查了常量与变量，正确理解常量与变量的定义是解题关键．6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级月考）在下列各备选答案中，不是函数关系的是（）A．y=2x2-3x+5B．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的关系．月份m123456789101112平均气温T（℃）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3C．下图中的图象表示骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的关系．D．

【答案】D【分析】在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，就说变量是变量的函数，其中是自变量，是因变量，利用函数的定义逐一判断即可得到答案.【详解】解：，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，故不符合题意；对于月平均气温的每一个值，月份都有唯一的数值与之对应，符合函数定义，故不符合题意；由图象可得：骑车时对于身体质量x（千克）的每一个值，热量消耗W（焦）都有唯一的值与之对应，符合函数定义，故不符合题意；由图象可得：对于变量x的每一个值，变量的值不一定唯一，不符合函数定义，所以不是的函数，故符合题意.故选：【点睛】本题考查的是函数的定义，理解函数的定义是解题的关键.7．（2020·浙江浙江·八年级期末）若点在同一个正比例函数图象上，则的值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），将A，B两点代入可计算ab的值，再将原式化简后代入即可求解．【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），∵点A（-2，a），B（b，）都在该函数图象上，∴a=-2k，bk=，即k=a，∴ab=，∴ab=-3，∴原式=，故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解ab的值是解题的关键．8．（2021·浙江平阳·八年级期中）直线y=x+2与y轴的交点坐标是（）A．(0，2) B．(2，0) C．(-2，0) D．(0，-2)【答案】A【分析】令x=0即可求出直线与y轴的交点坐标．【详解】令直线y=x+2中x=0解得y=2∴直线与y轴的交点坐标为(0，2)故选A．【点睛】此题主要考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟知一次函数的性质．9．（2020·浙江浙江·八年级期中）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“平衡点”，例如：，都是平衡点．当-2⩽x⩽4时，直线上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A．0⩽m⩽4 B．-【答案】B【分析】根据x＝y，可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵x＝y，∴x＝2x＋m，即x＝−m．∵，∴−2≤−m≤4，∴−4≤m≤2．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题10．（2021·浙江温岭·八年级期末）将直线向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为______．【答案】【分析】一次函数图象的平移规律：上加下减，根据平移规律直接得到答案.【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为：．故答案是：．【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，对于一次函数，向上平移个单位得到向下平移个单位得到熟悉平移规律是解题的关键.11．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知点在直线上，则_______．【答案】0【分析】将x=1代入求出a值即可．【详解】解：当x=1时，a=-3×1+3=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．12．（2021·浙江温岭·八年级期末）一次函数，当时，有最大值为5，则______．【答案】1或．【分析】根据题意，结合一次函数的性质，分，两种情况讨论，结合题意进而求得的值．【详解】解：当时，一次函数中，随值的增大而增大，当时，函数有最大值，，当时，一次函数中，随值的增大而减小，当时，函数有最大值，，的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．13．（2021·浙江衢江·八年级期末）甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）b＝___米；（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过___分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．【答案】30；3.5或6.5．【分析】（1）根据路程与时间求出乙登山速度，再求2分钟路程即可；（2）先求甲速度，再求出乙提速后得速度，再用待定系数法求AB与CD解析式，根据解析式组成方程组求出相遇时间，利用两函数之差=70建构方程求出相遇后相差70米的时间或乙到终点相距70米的时间即可．【详解】解：（1）乙开始登山速度为：15÷1=15米/分，∴b=15×2=30米，故答案为30；（2）甲登山速度为（300-100）÷20=10米/分，∴乙速度为10×3=30米/分，乙到300米时间t=2+（300-30）÷30=2+9=11分，设AB解析式为，代入坐标得，，解得，∴AB解析式为，设CD解析式为，代入坐标得，，解得，CD解析式为，∴甲、乙两人相遇时间满足方程组，解得，∴他们俩距离地面的高度差为70米列方程得：或300-=70解得，分，300-=70解得13-6.5=6.5分甲、乙两人相遇后，再经过3.5或6.5分钟，他们俩距离地面的高度差为70米故答案为3.5或6.5．【点睛】本题考查一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解法，利用两者间距离建构方程，掌握一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解法，利用两者间距离建构方程是解题关键．三、解答题14．（2021·浙江莲都·八年级期末）在国内投寄平信应付邮资如表：信件质量x（克）0＜x≤2020＜x≤4040＜x≤60邮资y（元/封）1.202.403.60（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？（2）结合表格解答：①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义．②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？【答案】（1）y是x的函数；（2）①3.60，实际意义见解析；②大于20克，且不超过40克【分析】（1）根据函数的定义判断即可．（2）①②利用表格求出对应的函数值即可．【详解】解：（1）y是x的函数，理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应；（2）①当x=48时，