专题03 动点、折叠与旋转中的角度问题基础巩固+技能提升（解析版）

专题03基础巩固+技能提升【基础巩固】1.（2019·江苏苏州市期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠BFM的度数为_______【答案】36°.【解析】解：由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，

∵∠BFM=∠EFM，设∠BFM=x°，则∠MFE=∠EFC=2x°，

∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，

∴x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴∠BFM=36°．

故答案为：36°．2．（2020·山东省日照市月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG=50°，则∠DEG=_________度．【答案】100.【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFG=50°，

由折叠知，∠DEF=∠FEG=50°，

∴∠DEG=50°+50°=100°，

故答案为：100．3．（2020·山西大同市期末）学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（）①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【答案】D.【解析】解：由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定CD∥a，故答案为：D．4.（2020·江西九江市期末）将如图1的长方形纸片沿折叠得到图2，折叠后与相交于点．如果则的度数为____．【答案】55°.【解析】解：∵AE∥BF，

∴∠AEP=∠FPE=70°．设∠PEF=x，∠AEP+2∠PEF=180°，

70°+2x=180°，x=55°．即∠PEF=55°，

故答案为：55°．5.（2019·河北邯郸市期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．⑴若∠PEF＝48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,则∠EFP的度数为．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．【答案】⑴42°或66°⑵35°或63°.【解析】解：（1）当Q落在CD上时，∠EFP=∠PFQ=（180－48）÷2=66°当Q落在AB上时，∠FPQ=∠FPQ=90°，∠EFP=90°－48°=42°，故答案为：42°或66°.（2）①当点Q在平行线之间时,设∠PFQ=x，则∠EFP=x由∠PFC=2∠CFQ，知∠CFQ=x，∵AB∥CD∴75+x+x+x=180即x=35，∠EFP=35°.②当点Q在CD的下方时,设∠CFQ=x，则∠PFC=2x，∠PFQ=3x，∠PFE=3x，∵AB∥CD∴2x+3x+75=180，解得x=21即∠EFP=63°.6.（2020·达州市期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°.【解析】解：（1）如图，过点P作PE∥MN∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可证：∠CPE=25°，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）过点P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°−80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=50°，∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=25°，∵MN∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）过点P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，∴∠PCA=65°，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°－∠PCA＝115°，∴∠BPC＝40°+115°＝155°．7.（2020·湖南益阳市期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角)．(1)求与的和；(2)当点在直线上运动时，试说明；(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）见解析；（3）30°.【解析】解：（1）过点D作EF∥MN∵MN∥OP∴EF∥OP∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°∴∠NAD＋∠PBD=90°.（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°∴∠PBD=90°－∠NAD∵∠OBD＋∠PBD=180°，∴∠OBD＋90°－∠NAD=180°即∠OBD－∠NAD=90°；（3）∵AD平分∠NAB，AB平分∠OBD，∴∠NAD=∠DAB=α，∠NAB=2α，∠OBD=2∠OBA∵MN∥OP∴∠OBA=∠NAB=2α∴∠OBD=4α由（2）知∠OBD－∠NAD=90°即4α－α=90解得：α=30.8.（2019·吉林长春市期末）探究:如图①，，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．图1图2图3解:∵．(已知)∴．（）同理可证，．∵，∴．（）应用:如图②，，点在之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小为_____________度．拓展:如图③，直线在直线之间，且，点分别在直线上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连结．若，则=________度．【答案】探究：两直线平行，内错角相等；等量代换；应用：60；拓展：70或290．【解析】应用：由探究可知：∠EFG＝∠AMF＋∠CNF，∵∠EFG＝115°，∠AMF＝∠EMB＝55°，∴∠DNG＝∠CNF＝∠EFG－∠AMF＝115°−55°＝60°，故答案为：60；拓展：如图，当点Q在直线GH的右侧时，∠AGQ＋∠EHQ，＝180°－∠BGQ＋180°－∠FHQ，＝360°－（∠BGQ+∠FHQ），＝360°－∠GQH，＝290°，当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′＋∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°，故答案为：70或290．9.（2019·山西期中）如图，射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E.(1)当P在线段AC上运动时（如图1）,即∠APC=180,则∠AEC＝______；(2)当P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC的关系，并说明理由；(3)当P运动到图3的位置时,（2）中的结论还成立吗?(不要求说明理由)【答案】（1）90°；（2）∠AEC=∠APC；（3）∠AEC=180°-∠APC．【解析】解：（1）过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于E，

∴∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，

∴∠BAE+∠CEF=90°；

∴∠AEC=180°，∠AEC=90°；

（2）作EM∥BA，PN∥BA，

∴∠BAE=∠AEM，∠MEC=∠ECD，

∠APN=∠BAP，∠NPC=∠PCD，

∵∠BAE=∠EAP，∠PCE=∠ECD，

∵∠AEC=∠AEM+∠MEC，∠APC=∠APN+∠NPC，

∴∠AEC=∠APC；

（3）作EW∥AB，EP∥AB，

同理得：2∠AEC=360°-∠APC，

∴∠AEC=180°-∠APC．10.（2020·山东德州市期末）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝，b＝；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.【解析】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案为：5，1；（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t+5t＝90，∴t＝15（s）；（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．①如图，∠QBQ'＝t°，∠M'AM’’＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM’’＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM’’时，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得：t＝15；②∠QBQ'＝t°，∠NAM’’＝5t°﹣90°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM’’时，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得：t＝22.5.11.（2019·河北邯郸期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=发现：(1)如图2，当AB与DE重合时，∠CDF=(2)如图3，将图2中ΔABC绕B点顺时针旋转一定角度使得∠CEF=156∘拓展：(3)如图4，继续旋转，使得AC⊥DE于点①此时AC与EF平行吗？请说明理由.②求∠AED的度数探究：(4)如图5、图6，继续旋转，使得AC∥DF，求∠【答案】(1)105∘；(2)24∘；(3)①平行，垂直于同一条直线的两条直线平行；②∠AED=60∘【解析】解：（1）∵∠CAB=60°，∠EDF=45°，∴∠CDF=∠CAB+∠EDF=105°，（2）∵∠CEF=156∘，∠∴∠CBA+∠AEB=∠CBA+∠DEF-∠AED=90°+90°-∠AED=156°，∴∠AED=180°-156°=24°.（3）①平行，理由如下：∵AC⊥DE，∠∴AC//EF.②∵AC⊥DE，∠∴∠CED=90°-30°=60°，∵∠CBA=90°，∴∠AED=90°-60°=30°，（4）在图5中，∵AC//EF，∴∠DHE=∠A=60°，∵∠D=45°，∴∠AED=180°-60°-45°=75°，在图6中，过过E作EG//AC，∵AC//DF，EG//AC，∴EG//DF，∴∠DEG=∠D=45°，∠AEG=∠A=60°，∴∠AED=45°+60°=105°.12.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°（1）求的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．【答案】（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒；（3）2∠BAC=3∠BCD.【解析】解：（1）由非负性知，a-3=0，b-1=0即a=3，b=1.（2）设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,①3t=（20+t）×1，解得t=10;②3t-3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85;③3t-360=t+20，解得t=190＞160,（不合题意）综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行;（3）设A灯转动时间为t秒，∠CAN=180°-3t,∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°,∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，又∠ACD=90°,∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，∴∠BAC：∠BCD=3：2,即2∠BAC=3∠BCD.13.（2020·吉林四平市期末）将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．（1）求证：∠ACE=∠BCD；（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．【答案】（1）见解析;（2）∠ACB+∠ECD=180°;（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB.【解析】解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，即∠ACE=∠BCD．（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：∵∠ACB=∠ACD+∠DCB∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由如下：①如图，当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．②如图，当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.【拓展提升】1.（2020·山东潍坊市期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点，则图中与互补的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C.【解析】∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EFD’，∠FEC与∠FCB互补∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补∴∠EFD’与∠EFD也互补故答案为：C.2．（2020·湖北省武汉市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF的度数为_____．【答案】45°或135°【解析】解：①如图过M作MN∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥MN∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠PFC又∠EMN+∠NMF=90°，同理，∠P=∠PEA+∠PFC=（∠EMN+∠NMF）=45°②如图，同理，得：2∠P+∠EMF=360°，∴∠P=135°故答案为：45°或135°．3.（2020·广东汕尾市期末）已知：直线，点分别在直线上，点是平面内一个动点，且满足，过点作射线，使得．（1）如图1所示，当射线与重合，时，则；（2）如图2所示，当射线与不重合，时，求的度数．（用含的代数式表示）（3）在点运动的过程中，请直接写出与之间的数量关系．【答案】（1）25°；（2）α；（3）∠AMP=∠QND.【解析】解：（1）过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠AMP=∠MPE，∠CNP=∠EPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=50°，

∴∠PNC=65°，

∴∠AMP=90°-65°=25°．

故答案为：25°；

（2）过P作PF∥AB，

∵AB∥CD，

∴PF∥CD，

∴∠AMP=∠MPF，∠CNP=∠FPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=α，

∴∠PNC=90°−α，

∴∠AMP=90°−90°+α=α．

故答案为α；（3）由(1)（2）可知：在点P运动的过程中，∠AMP=∠QND.4.（2020·山西期中）如图1．已知直线．点为，内部的一个动点，连接，，作的平分线交直线于点，作的平分线交直线于点，和交于点．（1）若，猜想和的位置关系，并证明；（2）如图2，在（1）的基础上连接，则在点的运动过程中，当满足且时，求的度数．【答案】（1）平行；（2）108°.【解析】解：（1）AD∥CB．证明如下：∵AB∥DE，∴∠EDF=∠DAB，∵DF平分∠EDC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠FDC=∠DAB，∵∠FDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC．（2）设∠DCF=x，则∠CFB=1.5x，，∵CF∥AB∴∠ABF=∠CFB=1.5x∵BE平分∠ABC∴∠ABC=2∠ABF=3x，∵AD∥BC∴∠FDC+∠BCD=180°∵∠FDC+∠ABC=180°∴∠BCD=∠ABC=3x，∠BCF=2x，由CF∥AB，知∠ABC+∠BCF=180°∴3x+2x=180x=36故∠BCD=108°.5.中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．（1）求∠BAD的度数；（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t.【答案】（1）45；（2）t=20秒或68秒.【解析】解：（1）∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，∴∠BAC：∠BAD=3：1，∴∠BAD=180°×=45°，故答案为：45.（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①如图，∵CD∥EF，∴∠EBE'=∠BE'A，∵BE'∥AC'，∴∠BE'A=∠CAC'，∴∠EBE'=∠CAC'，∴3t=2（10+t），解得：t=20.②如图∵CD∥EF，∴∠EBE'+∠BE'D=180°，∵AC'∥BE'，∴∠BE'D=∠C'AD，∴∠EBE'+∠C'AD=180°，∴2（10+t）+（3t-180）=180，解得：

t=68，综上所述，当t=20秒或68秒时，两灯的光束互相平行.6．如图,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方,将如图中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．(1)几秒后ON与OC重合?(2)如图，经过t秒后，MN∥AB，求此时t的值．(3)若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合?请画图并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由．【答案】（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒；（4）秒.【解析】解：(1)∵30÷3=10，∴10秒后ON与OC重合；(2)∵MN∥AB∴∠BOM＝∠M＝30°∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON＝60°，∴t=60÷3=20∴经过20秒后，MN∥AB；（3）如图：∵∠AON+∠BOM=90∘，∠BOC=∠BOM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∵OC与OM重合∵∠AOC+∠BOC=180°可得：（30°+6t）+（90°−3t）＝180°解得：t=20秒；(4)如图：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∴∠BOC=∠COM=(90°−3t)，∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°−(30°+6t)=(90°−3t)，解得：t=秒.7．（2020·浙江杭州）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是4度/秒，灯B转动的速度是1度/秒．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）若两灯同时转动，经过42秒，两灯射出的光束交于C，求此时∠ACB的度数；（2）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（直接写出答案）【答案】（1）∠ACB＝54°；（2）t＝或t＝70或t＝或t＝142.【解析】解：（1）t＝42时，∠PBC＝42°，∠MAC＝168°，∵PQ∥MN，∴∠ACB＝54°，（3）由题意得：①4t＝10+7，解得t＝；②360﹣