江苏省南通市崇川区田家炳中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知是关于x的二次函数，那么m的值为(

)A. B.2 C. D.02.抛物线的顶点坐标是(

)A. B. C. D.3.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线为(

)A. B. C. D.4.二次函数的图象与x轴的交点情况是(

)A.有1个交点 B.有2个交点 C.无交点 D.无法确定5.二次函数的图象大致为(

)A. B.

C. D.6.如图，四边形ABCD是的内接四边形，点D是的中点，点E是上一点，若

，则(

)A.

B.

C.

D.7.下列命题中，正确的命题是(

)A.相等的圆心角所对的弧相等

B.平分弦的直径垂直于弦

C.经过三点一定可以作圆

D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等8.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：

①；②；③；④；⑤，

其中所有正确结论的序号是(

)A.①②

B.①③④

C.①②③⑤

D.①②③④⑤9.抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则t的取值范围是(

)A. B. C. D.10.如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿的方向运动，点Q以的速度沿的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动.设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(

)

A. B.

C. D.二、填空题：本题共8小题，共30分。11.抛物线与y轴的交点坐标是______.12.已知二次函数的图象的顶点在y轴上，则m的值为______.13.一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间秒与滑下的路程米之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程y为______米.14.如图，已知矩形ABCD的边，，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是______.

15.某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径OA的长为______.

16.已知，是抛物线上两点，则______.17.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为______.18.已知实数a、b满足，则代数式的最小值是______.三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题10分

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式.

已知抛物线顶点为，且过点；

已知抛物线与x轴交于点，，且经过点20.本小题10分

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若，

求AC的长；

若大圆半径为10cm，求小圆的半径.21.本小题10分

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线是常数

求该抛物线的顶点坐标用含m代数式表示；

如果点，都在该抛物线上，比较与大小.22.本小题12分

如图，AB是的直径，P、C是圆周上的点，，弦PC交AB于点

求证：；

若，求的度数．23.本小题10分

如图，抛物线与x轴交于、，交y轴于

求抛物线的表达式；

是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，当四边形OBPC的面积S最大时，求出面积的最大值及P点的坐标.24.本小题12分

在平面直角坐标系内，设二次函数为常数

若函数y的图象经过点，求函数y的表达式；

若二次函数在时，y有最小值2，求a的值.25.本小题13分

某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件每件售价不能低于50元且不得高于65元，设每件商品的售价上涨x元，为正整数每个月的销售量为y件.

则y与x的函数关系式为：______；

每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围.26.本小题13分

在平面直角坐标系xOy中，我们定义：点的“变换点”为Q，且规定：当时，点Q为当点Q为

分别写出各点的“变换点”；______；______；______；

当点的“交换点“在函数的图象上，求a的值；

已知直线l与坐标轴交于，两点，将直线l上所有的“变换点“组成一新的图形，记为当抛物线与图形M的交点个数2个或3个时，求出应c的取值范围.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的定义、绝对值的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题关键．根据形如是二次函数，可得答案．

【解答】

解：由是y关于x的二次函数，

得且

解得

故选2.【答案】D

【解析】解：，

抛物线顶点坐标为，

故选：

由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．3.【答案】B

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，

向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的图象的顶点坐标为，

所以，所得图象的解析式为，

故选：

先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．

本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.【答案】B

【解析】解：，

，

，

，

二次函数的图象与x轴有两个交点，

故选：

根据判别式，得出结论．

本题考查抛物线与x轴的交点，关键是抛物线与x轴交点个数与判别式的关系．5.【答案】C

【解析】解：根据题意，，则该二次函数图象开口向下，

且当时，，故其过原点，

分析选项可得，只有C符合，

故选：

根据题意，，则该二次函数图象开口向下，且当时，，故其过原点，由此分析选项可得答案．

解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质如开口方向、对称轴、顶点坐标等与系数的关系．6.【答案】B

【解析】解：连接BD，如图所示，

，，

，

点D是的中点，

，

，

，

，

，

故选：

根据圆周角定理和的度数，可以求得的度数，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得到的度数，然后即可得到的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求得的度数．

本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．7.【答案】D

【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原命题缺少条件，不是正确的命题；

B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，原命题，没有排除直径，不是正确的命题；

C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题缺少条件，不是正确的命题；

D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是正确的命题．

故选：

根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可．

本题考查了命题与定理的知识，涉及了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识，解答本题一定要死扣定义、定理内容，一些限制条件是必不可少的．8.【答案】C

【解析】解：①当时，，故①正确；

②当时，，故②正确；

③由抛物线的开口向下知，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

，对称轴为，得，

、b同号，即，

，故③正确；

④对称轴为，

点的对称点为，

当时，，故④错误；

⑤时，，又，即，

，故⑤正确．

故选：

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当、和时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式9.【答案】C

【解析】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．

根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，再由的范围确定y的取值范围即可求解．

【解答】解：抛物线的对称轴为直线，

，

，

一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，

方程在的范围内有实数根，

当时，；

当时，；

函数在时有最大值4；

故选：10.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形性质．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的解析式是解题的关键．

先证明、都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解．

【解答】

解：四边形ABCD为菱形，

，

、都是等边三角形，

如图1所示，

当时，，，

作于E，

，

，

故D选项不正确；

如图2，

当时，，，

作于点F，

，

，

故B选项不正确；

如图3，

当时，，，

，

作于点G，

，

故C选项不正确，

只有选项A符合题意.11.【答案】

【解析】解：抛物线，

当时，，

抛物线与y轴的交点坐标是

故答案为：

由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0，把当然抛物线的解析式中即可求出纵坐标．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．12.【答案】2

【解析】解：二次函数的图象的顶点在y轴上，

，

解得，

故答案为：

根据二次函数的图象的顶点在y轴上，可知该函数图象顶点的横坐标为0，然后即可求得m的值．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确在y轴上的点的横坐标都为13.【答案】75

【解析】解：当时，，

即滑下的路程y为75米．

故答案为：

把代入即可得到答案．

本题考查了求函数值，准确计算是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：如图，连结AC，BD，

四边形ABCD是矩形，

，

，

以点A为圆心作圆，如果

B、C、D至少有一点在圆内，

，

至少有一点在圆外，

，

半径r的取值范围是：

故答案为：

根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．

本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．15.【答案】13

【解析】解：且CD经过点O，

，

，

，

在中根据勾股定理可得，

，

解得

故答案为：

根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案．

本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是关键．16.【答案】2020

【解析】解：、是抛物线上两点，

，，

当时，，

故答案为

由、是抛物线上两点，可得，，当时，

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的常考题目．17.【答案】24

【解析】解：直线，

，

有无数个值，

，，解得，，

直线必过点，

最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

点D的坐标是，

，

以原点O为圆心的圆过点，

圆的半径为13，

，

，

，OD经过圆心

，

，

的长的最小值为

故答案为：

根据直线必过点，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点，求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

此题考查了垂径定理，一次函数的性质，勾股定理，圆的有关性质等知识，关键是求出BC最短时的位置．18.【答案】6

【解析】解：，

，

原式

，

，

，

，

当时，原式的值随着a的增大而增大，

当时，原式取最小值为6，

故答案为：

根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．

本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．19.【答案】解：由题意，抛物线的顶点为，

可设二次函数解析式为

又图象经过点，

二次函数解析式为

由题意，设二次函数的解析式为，

又图象经过点，

二次函数解析式为

【解析】依据题意，由抛物线的顶点为，从而可设二次函数解析式为，又图象经过点，从而求出a，即可得解；

依据题意，设二次函数的解析式为，又图象经过点，从而，解方程求得a，进而可以得解．

本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握运用待定系数法求二次函数的解析式．20.【答案】解：作，垂足为E，

由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点，

，，

；

连接OA，OC，

在中，，，

，

在中，，，

【解析】根据垂径定理及线段的和差求解即可；

根据勾股定理求解即可．

此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．21.【答案】解：，

抛物线顶点坐标为；

，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

点，都在该抛物线上，且，

【解析】将抛物线解析式化为顶点式求解．

由得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由，可得

本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．22.【答案】证明：如图，连接

，

在与中，

≌

；

设，则

，

在中，

【解析】连接OP，构造全等三角形≌，由该全等三角形的性质证得结论；

设，利用圆周角定理和三角形内角和定理列出方程，由方程思想解答．

考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．23.【答案】解：由题意，抛物线与x轴交于、，交y轴于，

抛物线的表达式为

由题意，设直线BC的表达式为：，

又

是直线BC上方的抛物线上的一个动点，

一定，

当最大时，最大．

又当过P点平行于BC的直线与抛物线相切时最大，

可设过P的直线为

当时，

的解为；过P的直线为

当时，

此时

【解析】依据题意，根据待定系数法建立方程组可求抛物线的表达式；

依据题意，将四边形OBPC分割成两个三角形PBC和三角形OBC，从而将四边形OBPC的面积S最大时，转化为三角形PBC最大进行分析可以得解．

本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．24.【答案】解：把代入得：，

解得或，

函数y的表达式为；

抛物线开口向上，对称轴是直线，

当时，时y取最小值2，

，解得舍去或；

当时，时y取最小值2，

，

解得，

当时，时y取最小值2，

，方程无实数解，

综上所述，二次函数在时，y有最小值2，a的值为或

【解析】用待定系数法可得答案；

分三种情况讨论即可；

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．25.【答案】

【解析】解：由题意得：

，

故答案为：；

设月利润为w，依题意得：

且x为正整数，

，

当时，w有最大值，

且x为正整数，

当时，，元，

当时，，元，

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

由题意得：，

函数图象的对称轴为：直线，

售价每件不低于58元时，

，

又且x为整数，

，且x为整数，w随x的增大而减小，

，

解得，

的取值范围为

根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件列出关系式，即可得出答案；

根据得出的函数关系式，再进行配方得出，当或6时y有最大值，从而得出答案；

首先求得二次函数