2024届新疆部分地区高三高考素养调研第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2新疆部分地区2024届高三高考素养调研第二次模拟考试数学试题第I卷一､单项选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由得，所以复数对应的点的坐标为，其位于第四象限.故选：D3.使“”成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集，由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.故选：B.4.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.5.设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为()A. B. C. D.6〖答案〗B〖解析〗由椭圆定义知，∴的周长为，∴当最小时，最大．当轴，即AB为通径时，最小，此时，∴的最大值为．故选：B.6.函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值()A.恒大于0 B.恒小于0C等于0 D.无法判断〖答案〗A〖解析〗函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x2015；当m＝－1时，f(x)＝x－4.又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足，所以函数f(x)是增函数，所以函数的〖解析〗式为f(x)＝x2015，函数f(x)＝x2015是奇函数且是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.7.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数是上的减函数，所以，即.又因为函数在上的单调递增，所以，即.又因为函数是上的增函数，所以，即，故.故选：D.8.斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，则下列说法正确的是（）A.记为数列的前项和，则B.在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为C.D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，，，所以A错误；对于B，斐波那契数列数列中不大于34的数依次是，其中偶数有3个，所以任取一个数字，取到的偶数的概率为，所以B正确；对于C，由，，，，，上式相加得：，所以C错误；对于D，由，得，则，，，，，上式相加得：，所以D错误.故选：B.二､多项选择题9.坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（）参考数据：，A.配重的平均数为B.C.D.1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人〖答案〗BC〖解析〗对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故,故B项正确；对于C项，显然正确；对于D项，因,故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.故选：BC.10.如图，在中，内角的对边分别为，若，且是外一点，，则下列说法正确的是（）A.是等边三角形B.若，则四点共圆C.四边形面积的最小值为D.四边形面积的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗，根据正弦定理得，即，，显然，则，根据题意，有，又，可得为等边三角形，故A正确；，在中，，当时，，即共圆，B正确.又四边形面积，，则，所以四边形的面积没有最小值，C错误.当，即时，四边形面积取最大值，故D正确.故选：ABD.11.已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为4B.的图象只关于直线对称C.当时，函数有5个零点D.当时，函数的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由得，，故函数的周期为4，A正确；由可得，所以函数的图象关于直线对称，且关于直线对称（周期性），B不正确；作出函数在上的大致图象如图所示，由图可知，当时，函数有5个零点，C正确；当时，函数的最小值为，D错误.故选：AC.第II卷（非选择题）三､填空题12._________．〖答案〗4〖解析〗．故〖答案〗为：．13.在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则__________.〖答案〗〖解析〗如图，取的中点，连接，则由题意可得，且.，.故〖答案〗为：.14.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_______．〖答案〗〖解析〗在中，设，，，,，因为点，点分别是，的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为的正三角形，所以，又因为，所以，由，解得，所以．又因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，，两两垂直，则球为以为棱的正方体的外接球，则外接球直径为，所以球的体积为,故〖答案〗为.四､解答题15.给定函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）求出方程的解的个数．解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，函数在单调递减，所以为函数的极小值点，所以的极小值为：，无极大值.综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.（2）易知当时，，当时，，当时，，再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；当时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；当或时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.16.水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数个10254025（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.解：（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，故恰好抽到2个礼品果的概率为；（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，则，所以的分布列为：012故的数学期望.17.在斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,侧面底面.（1）证明：；（2）为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取的中点，连结，在中，，所以，平面平面，平面平面平面，平面平面，在等边三角形中，，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，即，故；（2）解：，设平面的法向量为，则有，令，设平面的法向量为，则有，所以，令，则，设平面与平面夹角为，则.18.已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．（1）解：动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，所以，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，所以，可直接得到曲线C的方程为y2＝4x（2）证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，Δ＝16(k－1)2>0，已知此方程一个根为1，∴＝＝，即＝，同理＝＝，∴＝，＝，＝k·－2k＝，∴kAB＝＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.19.已知为等差数列，前项和为，若.（1）求；（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为.①求；②记的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设的公差为由可得，即①，又由可得即②联立①②解得：；（2）①，即，.②由①得易知是等比数列，首项为2，公比为，故，由得：，，，，时，解得（舍）；时，解得（舍）；时，解得；所以存在这样的，满足所给的条件，.新疆部分地区2024届高三高考素养调研第二次模拟考试数学试题第I卷一､单项选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由得，所以复数对应的点的坐标为，其位于第四象限.故选：D3.使“”成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集，由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.故选：B.4.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.5.设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为()A. B. C. D.6〖答案〗B〖解析〗由椭圆定义知，∴的周长为，∴当最小时，最大．当轴，即AB为通径时，最小，此时，∴的最大值为．故选：B.6.函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值()A.恒大于0 B.恒小于0C等于0 D.无法判断〖答案〗A〖解析〗函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x2015；当m＝－1时，f(x)＝x－4.又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足，所以函数f(x)是增函数，所以函数的〖解析〗式为f(x)＝x2015，函数f(x)＝x2015是奇函数且是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.7.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数是上的减函数，所以，即.又因为函数在上的单调递增，所以，即.又因为函数是上的增函数，所以，即，故.故选：D.8.斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，则下列说法正确的是（）A.记为数列的前项和，则B.在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为C.D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，，，所以A错误；对于B，斐波那契数列数列中不大于34的数依次是，其中偶数有3个，所以任取一个数字，取到的偶数的概率为，所以B正确；对于C，由，，，，，上式相加得：，所以C错误；对于D，由，得，则，，，，，上式相加得：，所以D错误.故选：B.二､多项选择题9.坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（）参考数据：，A.配重的平均数为B.C.D.1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人〖答案〗BC〖解析〗对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故,故B项正确；对于C项，显然正确；对于D项，因,故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.故选：BC.10.如图，在中，内角的对边分别为，若，且是外一点，，则下列说法正确的是（）A.是等边三角形B.若，则四点共圆C.四边形面积的最小值为D.四边形面积的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗，根据正弦定理得，即，，显然，则，根据题意，有，又，可得为等边三角形，故A正确；，在中，，当时，，即共圆，B正确.又四边形面积，，则，所以四边形的面积没有最小值，C错误.当，即时，四边形面积取最大值，故D正确.故选：ABD.11.已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为4B.的图象只关于直线对称C.当时，函数有5个零点D.当时，函数的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由得，，故函数的周期为4，A正确；由可得，所以函数的图象关于直线对称，且关于直线对称（周期性），B不正确；作出函数在上的大致图象如图所示，由图可知，当时，函数有5个零点，C正确；当时，函数的最小值为，D错误.故选：AC.第II卷（非选择题）三､填空题12._________．〖答案〗4〖解析〗．故〖答案〗为：．13.在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则__________.〖答案〗〖解析〗如图，取的中点，连接，则由题意可得，且.，.故〖答案〗为：.14.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_______．〖答案〗〖解析〗在中，设，，，,，因为点，点分别是，的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为的正三角形，所以，又因为，所以，由，解得，所以．又因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，，两两垂直，则球为以为棱的正方体的外接球，则外接球直径为，所以球的体积为,故〖答案〗为.四､解答题15.给定函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）求出方程的解的个数．解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，函数在单调递减，所以为函数的极小值点，所以的极小值为：，无极大值.综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.（2）易知当时，，当时，，当时，，再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；当时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；当或时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.16.水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数个10254025（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.解：（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，故恰好抽到2个礼品果的概率为；（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，则，所以的分布列为：012故的数学期望.17.在斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,侧面底面.（