2024届四川省成都市高三下学期第二次诊断性检测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测数学试题（理）第I卷（选择题）一､选择题1.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，所以.故选：.2.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗由命题“，”，可知其否定为“，”，故选：C.3.如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，即阴影部分表示的集合为，故选：B.4.对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A.变量与呈现正相关，且 B.变量与呈现负相关，且C.变量与呈现正相关，且 D.变量与呈现负相关，且〖答案〗C〖解析〗由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关；再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数.故选：C.5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为终边经过点，所以，，则，所以有，，所以.故选：A.6.已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒〖答案〗D〖解析〗假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图，由已知可得，所以，处劣弧时高度不低于米，转动的角速度为/每秒，所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，故选：D.8.现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.故选：C.9.已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点的广义坐标分别为，则“"是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗根据题意得：，.因为，所以，则，即因为向量是平面内的一组基向量，所以.故“"是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.10.已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴的距离之和的范围是，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，由椭圆的对称性，不妨设点位于第一象限或轴正半轴上，由题意，，结合椭圆性质有且，其中；所以，解得，椭圆的离心率为.故选：D.11.在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，由，可得；由直四棱柱的性质可得，平面，所以；因为，所以.在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分,即图中圆弧.因为，所以，因为点的轨迹长度为，所以，即.四棱柱的表面积为.故选：A.12.已知是抛物线上任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，，则劣弧长度的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，当劣弧长度的最小时，最小，即最小，即最大，即取的最小值，设，则，则，当时，取最小值为，即，即，，即，即劣弧长度的最小值为，故选：D.第Ⅱ卷：（非选择题）二､填空题13.一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是___________.（写出一个你认为正确的〖答案〗即可）〖答案〗三棱柱（〖答案〗不唯一）〖解析〗由三视图可知，正视图是三角形的几何体可以是三棱柱，三棱锥，圆锥等.故〖答案〗为：三棱柱（〖答案〗不唯一）14.已知函数，若，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以在上单调递增，不等式，即，等价于，解得或，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：15.平面四边形中，，则的最大值为__________．〖答案〗4〖解析〗如图所示，因为，设，且，在中，可得，即，可得，在中，可得，所以，当时，即时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知函数．给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④对于任意的，都有．其中所有正确结论的序号是__________．〖答案〗②③④〖解析〗因，所以，，因为，，所以，故①错误；若，则，即，，即，令，因为，所以存在，使得，即，所以存在，使得，故②正确，因为，因为在上单调递减，所以也单调递减，所以，，因为在上单调递增，所以也单调递增，所以，即，即对于任意的，都有，故③正确；由②可知，存在，使得，结合③可知当，，，即，可知当，，，即，因为，，得，即，当，有，因为，所以，所以，所以，即，当，有，因为，所以，所以，即，所以对于任意，都有，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三､解答题17.记.（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；（2）记是的导函数，求.解：（1）当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以（2）①②①-②得，18.某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若，有，解：（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得．即，解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．（2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974．抽取1名化学成绩在之外概率为0.0026．随机变量服从二项分布，即．．的数学期望为．19.如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．（1）证明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值．（1）证明：取的中点为，连接．四面体为正四面体，为正三角形．又为的中点，．同理可得．平面，平面．又平面．（2）解：取的中点为，连接，设．由（1）得平面．平面．为二面角的平面角，为二面角的平面角，为二面角的平面角．由图形对称性可判断．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等于．20.已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.（1）解：设，，，在双曲线上，，解得，双曲线的标准方程为；（2）证明：设，直线，由，消去得，，，直线，令，解得，同理可得，以为直径的圆的方程为，令，得，，，解得或，以为直径的圆恒过点.21.已知函数．（1）当时，判断的零点个数并说明理由；（2）若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，．，令，则，当时，，函数在上单调递增．由，，使得．当时，单调递减；当时，单调递增．又，有两个零点．（2）存在，使得当时，，即存在，使得当时，．设．（i）当时，设．．在上单调递增，又，在上单调递增．又，在上恒成立．．当时，．取，当时，恒成立．当时满足题意．（ii）当时，设．．在上恒成立，在上单调递增．又在上恒成立．设．在上恒成立，在上单调递减．又在上恒成立．故恒成立，不合题意．综上，的取值范围为．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若为曲线上任意一点，将逆时针旋转得到，求线段中点的轨迹的极坐标方程.（1）解：曲线的参数方程为（为参数）可得，平方相加，可得，所以曲线的普通方程为.（2）解：曲线的极坐标方程为.设，因为，可得，所以，所以点的轨迹的极坐标方程为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）函数的最小值为,若正实数满足,求的最小值.解：（1），易知，.的解集为，，解得.（2）由（1）得，的最小值为1，即.，当且仅当时，等号成立.的最小值为4.四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测数学试题（理）第I卷（选择题）一､选择题1.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，所以.故选：.2.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗由命题“，”，可知其否定为“，”，故选：C.3.如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，即阴影部分表示的集合为，故选：B.4.对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A.变量与呈现正相关，且 B.变量与呈现负相关，且C.变量与呈现正相关，且 D.变量与呈现负相关，且〖答案〗C〖解析〗由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关；再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数.故选：C.5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为终边经过点，所以，，则，所以有，，所以.故选：A.6.已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒〖答案〗D〖解析〗假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图，由已知可得，所以，处劣弧时高度不低于米，转动的角速度为/每秒，所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，故选：D.8.现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.故选：C.9.已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点的广义坐标分别为，则“"是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗根据题意得：，.因为，所以，则，即因为向量是平面内的一组基向量，所以.故“"是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.10.已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴的距离之和的范围是，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，由椭圆的对称性，不妨设点位于第一象限或轴正半轴上，由题意，，结合椭圆性质有且，其中；所以，解得，椭圆的离心率为.故选：D.11.在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，由，可得；由直四棱柱的性质可得，平面，所以；因为，所以.在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分,即图中圆弧.因为，所以，因为点的轨迹长度为，所以，即.四棱柱的表面积为.故选：A.12.已知是抛物线上任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，，则劣弧长度的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，当劣弧长度的最小时，最小，即最小，即最大，即取的最小值，设，则，则，当时，取最小值为，即，即，，即，即劣弧长度的最小值为，故选：D.第Ⅱ卷：（非选择题）二､填空题13.一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是___________.（写出一个你认为正确的〖答案〗即可）〖答案〗三棱柱（〖答案〗不唯一）〖解析〗由三视图可知，正视图是三角形的几何体可以是三棱柱，三棱锥，圆锥等.故〖答案〗为：三棱柱（〖答案〗不唯一）14.已知函数，若，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以在上单调递增，不等式，即，等价于，解得或，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：15.平面四边形中，，则的最大值为__________．〖答案〗4〖解析〗如图所示，因为，设，且，在中，可得，即，可得，在中，可得，所以，当时，即时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知函数．给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④对于任意的，都有．其中所有正确结论的序号是__________．〖答案〗②③④〖解析〗因，所以，，因为，，所以，故①错误；若，则，即，，即，令，因为，所以存在，使得，即，所以存在，使得，故②正确，因为，因为在上单调递减，所以也单调递减，所以，，因为在上单调递增，所以也单调递增，所以，即，即对于任意的，都有，故③正确；由②可知，存在，使得，结合③可知当，，，即，可知当，，，即，因为，，得，即，当，有，因为，所以，所以，所以，即，当，有，因为，所以，所以，即，所以对于任意，都有，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三､解答题17.记.（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；（2）记是的导函数，求.解：（1）当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以（2）①②①-②得，18.某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若，有，解：（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得．即，解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．（2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974．抽取1名化学成绩在之外概率为0.0026．随机变量服从二项分布，即．．的数学期望为．19.如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．（1）证明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值．（1）证明：取的中点为，连接．四面体为正四面体，为正三角形．又为的中点，．同理可得．平面，平面．又平面．（2）解：取的中点为，连接，设．由（1）得平面．平面．为二面角的平面角，为二面角的平面角，为二面角的平面角．由图形对称性可判断．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等