2024届江苏省苏锡常镇高三下学期教学情况调研（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷一､选择题1已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题可得：或，则.故选：D.2.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，；令，则；.故选：C.3.已知平面向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知平面向量满足，故，所以，所以，所以，则，，故，故选：B.4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人〖答案〗A〖解析〗因为，，所以则，所以样本中身高不低于的约有人.故选：A.5.函数在区间内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗令，得，则；故，，所以在共有4个零点，故选：C.6.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故选：B.7.莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.8.已知正项数列满足，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗时，时，，故选：D.二､多选题9.已知复数，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗选项A，，则，故A正确；选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.证明：设，，若，则有，故有，即，两式相乘变形得，，则有，或，或，①当时，，即；②当，且时，则，又因为不同时为，所以，即；③当，且时，则，同理可得，故；综上所述，命题“若，则，或”成立.下面我们应用刚证明的结论推证选项C，，，，或，即或，故C正确；选项D，令，则，但，不为，故D错误.故选：.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称C.不等式无解 D.的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于选项A:不是的周期，故A错误;对于选项B:关于对称，故B正确；对于选项C:有解，故C错误；对于选项D:，若，则，若则，当且仅当，即时，原式取等，故D正确.故选:BD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（）A.当时，平面B.任意，三棱锥的体积是定值C.存在，使得与平面所成的角为D.当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示建系，，所以，从而，所以，又面，所以面，时，与重合，平面为平面，因为面，平面，A对.不与平面平行，到面的距离不为定值，三棱锥的体积不为定值，B错.设面的法向量为，则，令，解得，即可取，而，所以与平面所成角的正弦值为，又，所以，所以，又面，所以面，当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于，当在时，与平面所成角为，所以存在使与平面所成角为，C正确.，设平面的法向量为，不妨设，则.，则，平面法向量，显然球心，到面的距离，外接球半径，截面圆半径平方为，所以，D对.故选：ACD.三､填空题12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为__________.567893.54566.5〖答案〗7.4〖解析〗由已知得，即样本点中心，因为经验回归直线方程过样本点的中心，所以，解得.所以，当时，.故〖答案〗为：.13.已知，，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，即，所以，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时取得.故〖答案〗为：14.在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为__________；的值为__________.〖答案〗25〖解析〗令，，，线段的中点为联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即，由于抛物线中，，所以.故〖答案〗为：2；5.四､解答题15.记的内角的对边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求周长.（1）证明：因为或（舍），.（2）解：由，结合（1）知，则，得，，，由正弦定理得的周长为.16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）当二面角为时，求.（1）证明：因为平面，平面，所以，又，以为坐标原点，所在直线分别为轴，，建立空间直角坐标系，设，∵，，设平面的一个法向量为，则，令得，故，故平面；（2）解：平面的一个法向量，，.17.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.解：（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为，.的分布列如下：0123.（2）击中一次被扑灭的概率为击中两次被火扑灭的概率为击中三次被火扑灭的概率为所求概率.18.在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，.（1）求的值；（2）若，求和的值.解：（1）由题意得，直线的方程为，联立，解得或，代入，得，由得，，解得，；（2）由（1）知椭圆方程为，联立，得，解得或，即，则，即，同理可得，则，，由于，故，故，即三点共线，又，故，又，，故，解得，由于，故.19.已知函数，函数.（1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点.①求的值；②当两点不重合时，求线段的长；（2）若，使得不等式成立，求的最小值.解：（1）①，设，切点.方程，即，联立，由，可得或1；②当时，，此时重合，舍去.当时，，此时，此时.（2）令，，则，所以在上单调递增，若对，均有成立，即恒成立，或，对，当时，设，若，即时，，若，即时，，均有.因为，均有的否定为，使得不等式成立，所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情况，而时，单调递增，注意到在上递减，在上递增，成立，符合.综上：的最小值为1.江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷一､选择题1已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题可得：或，则.故选：D.2.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，；令，则；.故选：C.3.已知平面向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知平面向量满足，故，所以，所以，所以，则，，故，故选：B.4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人〖答案〗A〖解析〗因为，，所以则，所以样本中身高不低于的约有人.故选：A.5.函数在区间内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗令，得，则；故，，所以在共有4个零点，故选：C.6.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故选：B.7.莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.8.已知正项数列满足，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗时，时，，故选：D.二､多选题9.已知复数，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗选项A，，则，故A正确；选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.证明：设，，若，则有，故有，即，两式相乘变形得，，则有，或，或，①当时，，即；②当，且时，则，又因为不同时为，所以，即；③当，且时，则，同理可得，故；综上所述，命题“若，则，或”成立.下面我们应用刚证明的结论推证选项C，，，，或，即或，故C正确；选项D，令，则，但，不为，故D错误.故选：.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称C.不等式无解 D.的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于选项A:不是的周期，故A错误;对于选项B:关于对称，故B正确；对于选项C:有解，故C错误；对于选项D:，若，则，若则，当且仅当，即时，原式取等，故D正确.故选:BD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（）A.当时，平面B.任意，三棱锥的体积是定值C.存在，使得与平面所成的角为D.当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示建系，，所以，从而，所以，又面，所以面，时，与重合，平面为平面，因为面，平面，A对.不与平面平行，到面的距离不为定值，三棱锥的体积不为定值，B错.设面的法向量为，则，令，解得，即可取，而，所以与平面所成角的正弦值为，又，所以，所以，又面，所以面，当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于，当在时，与平面所成角为，所以存在使与平面所成角为，C正确.，设平面的法向量为，不妨设，则.，则，平面法向量，显然球心，到面的距离，外接球半径，截面圆半径平方为，所以，D对.故选：ACD.三､填空题12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为__________.567893.54566.5〖答案〗7.4〖解析〗由已知得，即样本点中心，因为经验回归直线方程过样本点的中心，所以，解得.所以，当时，.故〖答案〗为：.13.已知，，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，即，所以，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时取得.故〖答案〗为：14.在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为__________；的值为__________.〖答案〗25〖解析〗令，，，线段的中点为联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即，由于抛物线中，，所以.故〖答案〗为：2；5.四､解答题15.记的内角的对边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求周长.（1）证明：因为或（舍），.（2）解：由，结合（1）知，则，得，，，由正弦定理得的周长为.16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）当二面角为时，求.（1）证明：因为平面，平面，所以，又，以为坐标原点，所在直线分别为轴，，建立空间直角坐标系，设，∵，，设平面的一个法向量为，则，令得，故，故平面；（2）解：平面的一个法向量，，.17.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中